Caída libre

Suelta a la vez unas llaves y una hoja de papel. Las llaves tintinean contra el suelo casi enseguida; el papel todavía se balancea un rato por el aire. ¿Caen más deprisa las cosas más pesadas? Eso es justo lo que pensó durante casi dos mil años la mayoría de los sabios, empezando por Aristóteles. Hasta que Galileo Galilei, entre los siglos XVI y XVII, descubrió que la diferencia la causa el aire. Si no lo hubiera, caerían igual de deprisa una piedra, un martillo y la pluma de un ave.

Según la leyenda, Galileo, para demostrárselo a sus alumnos, dejó caer desde la torre inclinada de Pisa dos bolas de distinto peso. Es una bonita historia, pero la conocemos solo por un discípulo y biógrafo suyo, y los historiadores dudan de que ocurriera realmente. En realidad, Galileo llegó a esa conclusión con experimentos más pacientes, de los que hablaremos más adelante.

El martillo y la pluma en la Luna

En la Tierra cuesta mostrarlo, porque el aire está por todas partes a nuestro alrededor. Pero en la Luna no hay. En 1971, el astronauta David Scott, de la misión Apolo 15, dejó caer allí delante de la cámara de televisión, desde la misma altura, un martillo de geólogo y una pluma de halcón. La pluma no se eligió al azar: el módulo de aterrizaje de la misión se llamaba Falcon, que en español es «halcón». Ambos objetos cayeron igual de deprisa y los dos tocaron el polvo en el mismo instante. Scott añadió con sequedad que el señor Galileo tenía razón.

A la izquierda está la Luna y a la derecha, para comparar, la Tierra con aire.

El movimiento de un cuerpo que soltamos desde el reposo y que luego cae solo porque lo atrae la Tierra (o la Luna), sin ninguna resistencia del aire, se llama caída libre. En la Luna caen en caída libre tanto las plumas como los martillos. En la Tierra se le acercan mucho una piedra que cae, unas llaves o una manzana, al menos mientras no caigan desde mucha altura. La pluma y el papel no caen en caída libre: el aire los frena demasiado.

Se cae con aceleración g

Galileo descubrió otra cosa más. La velocidad de un cuerpo que cae crece de manera uniforme, cada segundo aumenta lo mismo. La caída libre es, por tanto, un movimiento uniformemente acelerado desde el reposo. Su aceleración es la misma para todos los cuerpos en un mismo lugar, se llama aceleración de la gravedad y se designa g. Suena raro, porque el martillo es mucho más pesado que la pluma. La Tierra lo atrae, sí, con más fuerza, pero también se resiste más a ponerse en movimiento, y ambas cosas se compensan exactamente. Por qué es así lo mostrarán las fuerzas. En nuestras latitudes

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Una piedra en caída libre gana cada segundo 9,81 m/s de velocidad. El valor exacto varía algo de un lugar a otro: en el ecuador la aceleración de la gravedad es de unos 9,78 m/s² y en los polos, 9,83 m/s². Para una estimación mental basta con 10 m/s². En la Luna es unas seis veces menor, y por eso el martillo y la pluma de Scott cayeron en la Luna apreciablemente más despacio que una piedra en la Tierra.

El cuerpo cae a lo largo de una recta vertical, así que elegimos como sentido positivo el de arriba hacia abajo. La aceleración y la velocidad salen entonces positivas. Las fórmulas del movimiento uniformemente acelerado v = v₀ + a · t y $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ se simplifican aquí. El cuerpo parte del reposo, por lo que la velocidad inicial es v₀ = 0, y la aceleración es a = g. La distancia la designaremos h, como altura, porque dice cuántos metros ha caído el cuerpo. Queda:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

El tiempo t lo medimos desde que se suelta, v es la velocidad en ese instante y h, la altura que ha descendido el cuerpo en ese tiempo. En el primer segundo la piedra alcanza una velocidad de 9,81 m/s y ha caído 4,9 m. A los dos segundos lleva 19,6 m/s y ha caído 19,6 m; a los tres lleva 29,4 m/s y está ya 44,1 m por debajo del punto desde el que la soltamos.

Quizá se te ocurra calcular la altura como velocidad por tiempo. Pero la velocidad de 19,6 m/s la tiene la piedra solo al final del segundo segundo; antes caía más despacio, y el resultado saldría el doble de grande. Por eso en la fórmula aparece la mitad.

Marcas a intervalos iguales

En la figura cae una bolita, a cámara lenta para que se pueda ver algo, y tras cada intervalo de tiempo igual, por ejemplo una décima de segundo, deja una marca naranja. Las marcas se separan cada vez más, porque la bolita va cada instante más deprisa. En una unidad de tiempo la bolita desciende una unidad de distancia; en dos unidades de tiempo, 2² = 4 unidades; en tres, 3² = 9, y en cuatro, 4² = 16 unidades. Los tramos entre las marcas miden entonces 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 y 16 − 9 = 7 unidades. Los cuadrados consecutivos se diferencian en los números impares.

La caída libre era demasiado rápida para los relojes de entonces, así que Galileo soltaba bolitas por un canal ligeramente inclinado, donde todo ocurre más despacio. Encontró exactamente estos números impares, 1 : 3 : 5 : 7.

¿Qué profundidad tiene el pozo?

En la casa del pueblo tienes un pozo antiguo y quieres saber a qué profundidad está el agua. Dejas caer una piedra y con el cronómetro mides que chapotea a los 2 s. Primero anotamos lo que sabemos de la caída:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

La piedra cae desde el reposo, así que sustituimos directamente en la fórmula de la altura:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Los segundos al cuadrado se simplifican y quedan metros. El agua está a unos 19,6 m por debajo del brocal, bastante profundo. Como comprobación rápida tomamos, redondeando, g ≈ 10 m/s²: la mitad de diez por cuatro son veinte metros. Cuadra.

El tiempo que tarda el sonido del chapoteo en subir hasta arriba lo hemos despreciado. El sonido recorre veinte metros en unas seis centésimas de segundo, y eso, frente a dos segundos, apenas se nota. Tampoco la resistencia del aire frena demasiado la piedra en veinte metros.

La velocidad de la piedra forma en la gráfica una recta que sube 9,81 m/s cada segundo. Su pendiente es la aceleración de la gravedad g. La distancia la hallamos como el área bajo la gráfica, aquí como el triángulo rojo de catetos 2 s y 19,6 m/s. Su área es $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, exactamente lo que obtuvimos con la fórmula.

Un salto desde la plataforma de diez metros

La plataforma más alta de saltos está a diez metros sobre el agua. ¿Cuánto tarda el saltador en caer y a qué velocidad choca con el agua? En realidad se impulsa desde la plataforma y gira en el aire, pero lo simplificamos: cae desde el reposo, sin más, como una piedra.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Esta vez conocemos la altura y buscamos el tiempo, y este hay que despejarlo de la fórmula de la altura. Primero multiplicamos ambos miembros por dos, con lo que desaparece la fracción. Después los dividimos entre la aceleración de la gravedad y en el segundo miembro queda solo el tiempo al cuadrado:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Por ahora tenemos el tiempo al cuadrado, pero necesitamos el tiempo en sí. Ayuda la raíz cuadrada: extraemos la raíz de ambos miembros. El resultado negativo no nos interesa, el tiempo desde que se suelta es positivo:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Sustituimos:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Los metros se simplifican y los segundos al cuadrado pasan del denominador al numerador. La raíz de ellos da segundos. La velocidad de llegada sale entonces de la fórmula de la velocidad:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

El saltador cae algo menos de un segundo y medio y choca con el agua a unos 14 m/s, o sea, aproximadamente 50 km/h. Es la velocidad a la que van los coches por la ciudad.

La velocidad de llegada se puede averiguar también sin el tiempo. De la relación $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$, con velocidad inicial nula, aceleración g y distancia h, sale $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Sustituyendo tenemos $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, lo mismo que antes.

Ojo con una trampa. Desde el doble de altura el saltador no cae el doble de tiempo. La altura está en la fórmula bajo la raíz, así que desde veinte metros caería solo unos 2,02 s. Concuerda con el pozo: en dos segundos la piedra cayó casi veinte metros.

La misma fórmula sirve para un experimento divertido. Un amigo sujeta una regla en vertical y tú tienes el pulgar y el índice abiertos alrededor de su extremo inferior. El amigo la suelta sin avisar y tú intentas atraparla lo más deprisa posible. Si a la regla le da tiempo a caer 20 cm, ha estado cayendo $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, y ese es tu tiempo de reacción.

Resistencia del aire y paracaidista

Si no hubiera aire, un paracaidista tendría tras quince segundos de caída una velocidad v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, más de 500 km/h, y seguiría acelerando. Pero nunca cae tan deprisa, porque el aire opone resistencia al cuerpo que cae, y tanto mayor cuanto más rápido se mueve.

Justo después de saltar del avión, el paracaidista es lento, la resistencia del aire es pequeña y cae casi en caída libre. Pero con la velocidad la resistencia aumenta, la velocidad crece cada vez más despacio, hasta que deja de crecer del todo. El paracaidista cae entonces con velocidad constante, que se llama velocidad límite. Tumbado boca abajo con los brazos extendidos alcanza unos 200 km/h. El paracaídas abierto aumenta la resistencia bruscamente y la velocidad baja a unos pocos metros por segundo, con los que se puede aterrizar con seguridad.

El aire viene bien también cuando llueve. Una gota de una nube a dos kilómetros de altura llegaría sin resistencia del aire a una velocidad de $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, más de 700 km/h, la velocidad de un avión. En realidad, incluso las gotas grandes caen solo a unos 9 m/s.

La pluma y la hoja de papel tienen una velocidad límite muy pequeña, la alcanzan casi al instante, y por eso descienden tan despacio. Por qué importan tanto la forma y la masa lo mostrará la dinámica. La piedra del pozo o el saltador de la plataforma alcanzan como mucho unos setenta kilómetros por hora, y a esas velocidades la resistencia del aire todavía es pequeña, así que las fórmulas de la caída libre funcionan bien.

Calculadora de la caída libre

Introduce el tiempo de caída y la calculadora te dirá desde qué altura cayó el cuerpo y a qué velocidad llegó. Calcula con g = 9,81 m/s² y sin resistencia del aire.

Y al revés: introduce la altura y la calculadora determinará cuánto tiempo cae el cuerpo y a qué velocidad llega.

Una piedra que cae realiza un único movimiento, en vertical hacia abajo. Pero a menudo un cuerpo realiza varios movimientos a la vez: una barquita que se dirige a la orilla opuesta es arrastrada por la corriente, y las gotas de lluvia, que caen en vertical, vistas desde un coche en marcha vuelan en diagonal. Adónde llega la barquita y cómo tiene que apuntar para llegar justo enfrente, lo calcularemos en el siguiente artículo, Composición de movimientos.