Frit fald

Slip en nøglering og et stykke papir fra hånden på samme tid. Nøglerne klirrer mod gulvet næsten med det samme, papiret svæver stadig et stykke tid gennem luften. Falder tungere ting så hurtigere? Det mente de fleste lærde i næsten to tusinde år, begyndende med Aristoteles. Først Galileo Galilei opdagede i overgangen mellem 1500-tallet og 1600-tallet, at forskellen skyldes luften. Hvis der ingen luft var, ville en sten, en hammer og en lille fjer falde lige hurtigt.

Ifølge overleveringen lod Galileo for at bevise det to forskelligt tunge kugler falde fra det skæve tårn i Pisa. Det er en fin historie, men vi kender den først fra hans elev og biograf, og historikerne tvivler på, at det virkelig skete. Galileo kom i virkeligheden til sin opdagelse gennem mere tålmodige forsøg, som vi vender tilbage til.

Hammer og fjer på Månen

På Jorden er det svært at vise, for luften er overalt omkring os. På Månen er der ingen. I 1971 slap astronauten David Scott fra missionen Apollo 15 foran fjernsynskameraet en geologihammer og en falkefjer fra samme højde. Fjeren var ikke valgt tilfældigt: missionens landingsfartøj hed Falcon, på dansk falk. Begge faldt lige hurtigt og ramte støvet i samme øjeblik. Scott tilføjede tørt, at hr. Galileo havde haft ret.

Til venstre er Månen, til højre til sammenligning Jorden med luft.

Bevægelsen af et legeme, som vi slipper fra hvile, og som derefter kun falder, fordi Jorden (eller Månen) tiltrækker det, uden nogen luftmodstand, kalder vi frit fald. På Månen falder både fjer og hammer frit. På Jorden kommer en faldende sten, nøgler eller et æble tæt på, i hvert fald så længe de ikke falder fra stor højde. Fjeren og papiret falder ikke frit, dem bremser luften alt for meget.

Faldet har accelerationen g

Galileo opdagede endnu en ting. Hastigheden af et faldende legeme vokser jævnt, hvert sekund kommer der lige meget til. Frit fald er altså en jævnt accelereret bevægelse fra hvile. Accelerationen er den samme for alle legemer på samme sted, den hedder tyngdeaccelerationen og betegnes g. Det lyder mærkeligt, hammeren er jo meget tungere end fjeren. Jorden tiltrækker den rigtignok kraftigere, men den gør også tilsvarende mere modstand mod at blive sat i bevægelse, og de to ting udligner hinanden nøjagtigt. Hvorfor det er sådan, ser vi først, når vi kommer til kræfterne. Hos os er

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

En sten i frit fald bliver hvert sekund 9,81 m/s hurtigere. Den præcise værdi varierer lidt fra sted til sted: ved ækvator er tyngdeaccelerationen omkring 9,78 m/s², ved polerne 9,83 m/s². Til et overslag i hovedet er 10 m/s² nok. På Månen er den cirka seks gange mindre, og Scotts hammer og fjer faldt derfor mærkbart langsommere end en sten på Jorden.

Legemet falder langs en lodret linje, og som positiv retning vælger vi derfor nedad. Både acceleration og hastighed bliver så positive. Formlerne for jævnt accelereret bevægelse v = v₀ + a · t og $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ bliver her enklere. Legemet starter fra hvile, begyndelseshastigheden er derfor v₀ = 0, og accelerationen er a = g. Strækningen betegner vi h som højde, for den fortæller, hvor mange meter legemet falder. Tilbage er:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Tiden t måler vi fra slippet, v er hastigheden i det øjeblik, og h den højde, legemet er faldet i den tid. Efter det første sekund har stenen hastigheden 9,81 m/s og er faldet 4,9 m. Efter to sekunder har den 19,6 m/s og er faldet 19,6 m, efter tre har den 29,4 m/s og er allerede 44,1 m under det sted, hvor vi slap den.

Du får måske lyst til at beregne højden som hastighed gange tid. Men hastigheden 19,6 m/s har stenen først ved slutningen af det andet sekund, før det faldt den langsommere, og resultatet ville blive dobbelt så stort. Netop derfor står der en halv i formlen.

Spor med samme tidsafstand

På figuren falder en kugle, i slowmotion, så der er noget at se, og efter hvert lige langt tidsrum, for eksempel en tiendedel sekund, efterlader den et orange spor. Sporene kommer længere og længere fra hinanden, for kuglen bliver hurtigere for hvert øjeblik. På én tidsenhed falder kuglen én længdeenhed, på to tidsenheder 2² = 4 enheder, på tre 3² = 9 og på fire 4² = 16 enheder. Stykkerne mellem sporene måler så 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 og 16 − 9 = 7 enheder. Nabokvadrater adskiller sig med ulige tal.

Frit fald var for hurtigt for datidens ure, og derfor lod Galileo kugler rulle ned ad en let skrå rende, hvor alt foregår langsommere. Han fandt netop disse ulige tal, 1 : 3 : 5 : 7.

Hvor dyb er brønden?

Ved sommerhuset har du en gammel brønd, og du vil vide, hvor dybt vandet står. Du slipper en sten ned i den og måler med et stopur, at det plasker efter 2 s. Først skriver vi op, hvad vi ved om faldet:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Stenen falder fra hvile, så vi sætter direkte ind i formlen for højden:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Sekunderne i anden forkortes, og meter bliver tilbage. Vandet står cirka 19,6 m under brøndens rand, rigtig dybt. Som hurtig kontrol bruger vi det afrundede g ≈ 10 m/s²: halvdelen af ti gange fire er tyve meter. Det passer.

Den tid, det tager lyden af plasket at komme op igen, har vi set bort fra. Lyden tilbagelægger tyve meter på cirka seks hundrededele sekund, og det kan næsten ikke mærkes ved siden af to sekunder. Heller ikke luftmodstanden bremser stenen særlig meget på tyve meter.

Stenens hastighed danner i grafen en ret linje, der stiger med 9,81 m/s hvert sekund. Dens hældning er tyngdeaccelerationen g. Strækningen finder vi som arealet under grafen, her som den røde trekant med kateterne 2 s og 19,6 m/s. Dens areal er $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, præcis som vi fik ud fra formlen.

Spring fra tårnet på ti meter

Den højeste platform til udspring er ti meter over vandet. Hvor længe falder udspringeren, og med hvilken hastighed rammer hun vandet? I virkeligheden sætter hun af fra platformen og drejer sig i luften, men vi forenkler: Hun falder simpelthen fra hvile som en sten.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Denne gang kender vi højden og søger tiden, og den må vi isolere i formlen for højden. Først ganger vi begge sider med to, så brøken forsvinder. Derefter dividerer vi dem med tyngdeaccelerationen, og på højre side er der kun tiden i anden tilbage:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Indtil videre har vi tiden i anden, men vi skal bruge selve tiden. Her hjælper kvadratroden: vi tager kvadratroden af begge sider. Et negativt resultat interesserer os ikke, tiden fra slippet er positiv:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Vi sætter ind:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Meter forkortes, og sekunder i anden flytter fra nævneren op i tælleren. Kvadratroden af dem giver så sekunder. Hastigheden ved nedslaget finder vi derefter med formlen for hastighed:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Udspringeren falder knap halvandet sekund og rammer vandet med en hastighed på cirka 14 m/s, altså omkring 50 km/h. Så hurtigt kører bilerne i byen.

Hastigheden ved nedslaget kan man også finde uden tiden. Af sammenhængen $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ med begyndelseshastigheden nul, accelerationen g og strækningen h får vi $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Indsat får vi $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, det samme som før.

Pas på en fælde. Fra den dobbelte højde falder udspringeren ikke dobbelt så længe. Højden står under kvadratroden, så fra tyve meter ville hun falde i omkring 2,02 s. Det stemmer med brønden: på to sekunder faldt stenen knap tyve meter.

Den samme formel kan bruges til et sjovt forsøg. En ven holder en lineal lodret, og du har tommelfinger og pegefinger åbne omkring dens nederste ende. Vennen slipper den uden varsel, og du griber den så hurtigt som muligt. Hvis linealen når at falde 20 cm, faldt den i $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, og det er din reaktionstid.

Luftmodstand og faldskærmsudspringeren

Hvis der ikke var luft, ville en faldskærmsudspringer efter femten sekunders fald have hastigheden v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, mere end 500 km/h, og ville blive ved med at accelerere. Så hurtigt falder han aldrig, for luften yder modstand mod det faldende legeme, og modstanden er desto større, jo hurtigere det bevæger sig.

Lige efter udspringet fra flyet er udspringeren langsom, luftmodstanden er lille, og han falder næsten frit. Med hastigheden vokser modstanden dog, hastigheden tiltager langsommere og langsommere, indtil den holder op med at vokse. Udspringeren falder så med konstant hastighed, som vi kalder grænsehastigheden. Liggende fladt på maven når han cirka 200 km/h. En åben faldskærm øger modstanden kraftigt, og hastigheden falder til nogle få meter i sekundet, som man kan lande sikkert med.

Luften er også god at have i regnvejr. En dråbe fra en sky i to kilometers højde ville uden luftmodstand ramme jorden med hastigheden $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, over 700 km/h, lige så hurtigt som et passagerfly. I virkeligheden falder selv store dråber kun med cirka 9 m/s.

Fjeren og et stykke papir har en meget lille grænsehastighed, de når den næsten øjeblikkeligt, og derfor daler de så langsomt. Hvorfor form og masse betyder så meget, viser dynamikken. En sten i en brønd eller en udspringer fra et tårn har højst hastigheder på omkring halvfjerds kilometer i timen, og ved de hastigheder er luftmodstanden stadig lille, så formlerne for frit fald passer godt.

Beregner til frit fald

Indtast faldtiden, og beregneren fortæller dig, fra hvilken højde legemet faldt, og med hvilken hastighed det ramte jorden. Den regner med g = 9,81 m/s² og uden luftmodstand.

Og omvendt: Indtast højden, og beregneren bestemmer, hvor længe legemet falder, og med hvilken hastighed det rammer jorden.

En faldende sten udfører kun én bevægelse, lodret nedad. Men ofte udfører et legeme flere bevægelser på én gang: en lille båd, der sigter mod den modsatte bred, bliver ført med af strømmen, og regndråber, der falder lodret, flyver skråt set fra en kørende bil. Hvor båden når hen, og hvordan den skal sigte for at lande lige overfor, regner vi på i den næste artikel, Sammensætning af bevægelser.