Szabadesés

Ejts el egyszerre egy kulcscsomót és egy lap papírt. A kulcsok szinte azonnal csörrennek a padlón, a papír még egy ideig ringatózik a levegőben. A nehezebb dolgok tehát gyorsabban esnek? Ezt gondolta majdnem kétezer évig a tudósok többsége, Arisztotelésszel kezdve. Galileo Galilei a 16. és a 17. század fordulóján jött rá, hogy a különbséget a levegő okozza. Ha nem lenne levegő, a kő, a kalapács és a madártoll is egyformán gyorsan esne.

A hagyomány szerint Galileo bizonyításul két különböző súlyú golyót ejtett le a pisai ferde toronyból a diákjai előtt. Szép történet, de csak a tanítványától és életrajzírójától ismerjük, és a történészek kételkednek, hogy valóban megtörtént. Galileo valójában türelmesebb kísérletekkel jött rá, amelyekre még kitérünk.

Kalapács és toll a Holdon

A Földön ezt nehéz megmutatni, mert a levegő mindenütt körülvesz minket. A Holdon viszont nincs. 1971-ben az Apollo–15 küldetés asztronautája, David Scott a televíziós kamera előtt ugyanabból a magasságból elejtett egy geológuskalapácsot és egy sólyomtollat. A toll nem véletlenül lett kiválasztva: a küldetés leszállóegységének Falcon volt a neve, magyarul sólyom. Mindkettő egyformán gyorsan esett, és mindkettő ugyanabban a pillanatban ért a porba. Scott szárazon hozzátette, hogy Galileo úrnak igaza volt.

Balra a Hold látható, jobbra összehasonlításul a Föld levegővel.

Ha egy testet nyugalomból elengedünk, és az csak azért esik, mert a Föld (vagy a Hold) vonzza, légellenállás nélkül, a mozgását szabadesésnek nevezzük. A Holdon a tollak és a kalapácsok is szabadon esnek. A Földön ehhez nagyon közel áll a leeső kő, a kulcs vagy az alma, legalábbis amíg nem nagy magasságból esnek. A toll és a papír nem esik szabadon, azokat a levegő túlságosan fékezi.

Esés a nehézségi gyorsulással

Galileo még valamit felfedezett. Az eső test sebessége egyenletesen nő, minden másodpercben ugyanannyival. A szabadesés így nyugalomból induló egyenletesen gyorsuló mozgás. A gyorsulása ugyanazon a helyen minden testre ugyanakkora, nehézségi gyorsulásnak hívjuk, és g a jele. Furcsán hangzik, hiszen a kalapács sokkal nehezebb, mint a toll. A Föld ugyan jobban vonzza, de ugyanolyan mértékben jobban is ellenáll annak, hogy mozgásba hozzák, és a kettő pontosan kiegyenlíti egymást. Hogy miért van ez így, azt az erők mutatják majd meg. Nálunk

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

A szabadon eső kő sebessége minden másodpercben 9,81 m/s értékkel nő. A pontos érték helyről helyre kissé eltér: az egyenlítőn a nehézségi gyorsulás körülbelül 9,78 m/s², a sarkokon 9,83 m/s². Fejben becsléshez elég a 10 m/s². A Holdon nagyjából hatszor kisebb, ezért Scott kalapácsa és tolla is érezhetően lassabban esett a Holdon, mint a kő a Földön.

A test függőleges egyenes mentén esik, a pozitív irányt ezért lefelé választjuk. A gyorsulás és a sebesség így pozitív lesz. Az egyenletesen gyorsuló mozgás v = v₀ + a · t és $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ képletei itt egyszerűsödnek. A test nyugalomból indul, a kezdősebesség ezért v₀ = 0, a gyorsulás pedig a = g. Az utat a magassághoz hasonlóan h-val jelöljük, mert azt mondja meg, hány métert esik a test. Marad:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

A t időt az elengedéstől mérjük, v a sebesség abban a pillanatban, h pedig az a magasság, amennyit a test addig süllyedt. Az első másodperc alatt a kő sebessége 9,81 m/s lesz, és 4,9 m mélyre esett. Két másodperc után 19,6 m/s a sebessége, és 19,6 m mélyre esett, három után 29,4 m/s a sebessége, és már 44,1 m mélyen van az elengedés helye alatt.

Eszedbe juthat a magasságot sebesség szorozva idővel számolni. De a 19,6 m/s sebességet a kő csak a második másodperc végén éri el, addig lassabban esett, és az eredmény kétszer akkora lenne. Éppen ezért áll a képletben a fél.

Jelek egyenlő idők után

Az ábrán egy golyó esik, lassítva, hogy lássunk valamit, és minden egyenlő időszakasz után, mondjuk tized másodpercenként, narancssárga jelet hagy maga után. A jelek egyre távolabb kerülnek egymástól, mert a golyó minden pillanatban gyorsabb. Egy időegység alatt a golyó egy egységnyit süllyed, két időegység alatt 2² = 4 egységnyit, három alatt 3² = 9 egységnyit, négy alatt 4² = 16 egységnyit. A jelek közötti szakaszok így 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 és 16 − 9 = 7 egység hosszúak. A szomszédos négyzetszámok páratlan számokkal különböznek.

A szabadesés az akkori óráknak túl gyors volt, ezért Galileo a golyókat enyhén lejtős vályúban gurította, ahol minden lassabban zajlik. Pontosan ezeket a páratlan számokat találta meg, 1 : 3 : 5 : 7.

Milyen mély a kút?

A nyaralódban van egy régi kút, és tudni szeretnéd, milyen mélyen van a víz. Beledobsz egy követ, és stopperrel megméred, hogy 2 s múlva csobban. Először kiírjuk, mit tudunk az esésről:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

A kő nyugalomból esik, ezért rögtön behelyettesíthetünk a magasság képletébe:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

A másodpercnégyzetek egyszerűsödnek, és méter marad. A víz körülbelül 19,6 m mélyen van a kút pereme alatt, rendesen mélyen. Gyors próbaként vegyük a kerekített g ≈ 10 m/s² értéket: tíz fele szorozva néggyel húsz méter. Egyezik.

Azt az időt, amely alatt a csobbanás hangja visszaér hozzánk, elhanyagoltuk. A hang a húsz métert nagyjából hat század másodperc alatt teszi meg, és ez a két másodperchez képest alig számít. A légellenállás sem fékezi a követ húsz méteren különösebben.

A kő sebessége a grafikonon egyenest alkot, amely minden másodpercben 9,81 m/s értékkel emelkedik. A meredeksége a g nehézségi gyorsulás. Az utat a grafikon alatti területként találjuk meg, itt a piros háromszögként, amelynek befogói 2 s és 19,6 m/s. A területe $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, pontosan úgy, ahogy a képletből kijött.

Ugrás a tízméteres toronyból

A műugrás legmagasabb emelvénye tíz méterre van a víz fölött. Mennyi ideig esik az ugró, és milyen sebességgel csapódik a vízbe? A valóságban elrugaszkodik az emelvényről, és a levegőben forog, de egyszerűsítünk: úgy esik le nyugalomból, mint egy kő.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Ezúttal a magasságot ismerjük, és az időt keressük, ezért a magasság képletéből ki kell fejeznünk. Először mindkét oldalt megszorozzuk kettővel, így eltűnik a tört. Aztán elosztjuk a nehézségi gyorsulással, és a jobb oldalon csak az idő négyzete marad:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Eddig az idő négyzetét kaptuk, de magára az időre van szükségünk. A gyökvonás segít: mindkét oldalból gyököt vonunk. A negatív eredmény nem érdekel minket, az elengedéstől mért idő pozitív:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Behelyettesítünk:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

A méterek egyszerűsödnek, a másodpercnégyzetek a nevezőből a számlálóba kerülnek. A gyökük aztán másodpercet ad. A becsapódási sebesség ezután a sebesség képletéből jön ki:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Az ugró valamivel kevesebb mint másfél másodpercig esik, és körülbelül 14 m/s sebességgel csapódik a vízbe, vagyis nagyjából 50 km/h sebességgel. Ilyen gyorsan járnak az autók a városban.

A becsapódási sebesség idő nélkül is megállapítható. A $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ összefüggésből nulla kezdősebességgel, g gyorsulással és h úttal $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$ jön ki. Behelyettesítve $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$ adódik, ugyanaz, mint az előbb.

Vigyázz egy csapdára. Kétszeres magasságból az ugró nem esik kétszer tovább. A magasság a képletben a gyökjel alatt áll, ezért húsz méterről csak körülbelül 2,02 s ideig esne. Ez egyezik a kúttal: két másodperc alatt a kő majdnem húsz métert esett.

Ugyanez a képlet egy mulatságos kísérletre is jó. A barátod függőlegesen tart egy vonalzót, te pedig a hüvelykujjadat és a mutatóujjadat széttárod az alsó vége körül. A barátod figyelmeztetés nélkül elengedi, te pedig minél gyorsabban elkapod. Ha a vonalzó 20 cm utat tesz meg, mire elkapod, akkor $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$ ideig esett, és ez a te reakcióidőd.

Légellenállás és ejtőernyős

Ha nem lenne levegő, az ejtőernyősnek tizenöt másodperc esés után v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s lenne a sebessége, több mint 500 km/h, és tovább gyorsulna. Ilyen gyorsan mégsem esik soha, mert a levegő ellenállást fejt ki az eső testre, és annál nagyobbat, minél gyorsabban mozog.

Közvetlenül a repülőgépből való kiugrás után az ejtőernyős lassú, a légellenállás kicsi, és majdnem szabadon esik. A sebességgel azonban az ellenállás nő, a sebesség egyre lassabban gyarapszik, míg végül már egyáltalán nem nő. Az ejtőernyős ekkor állandó sebességgel esik, amelyet határsebességnek nevezünk. Hason fekve nagyjából 200 km/h értéket ér el. A kinyílt ernyő az ellenállást hirtelen megnöveli, és a sebesség lecsökken néhány méter per másodpercre, amellyel már biztonságosan lehet landolni.

A levegő esőben is jól jön. Az a csepp, amely két kilométer magasan lévő felhőből esik, légellenállás nélkül $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sebességgel érkezne, ami több mint 700 km/h, egy repülőgép sebessége. A valóságban azonban még a nagy cseppek is csak nagyjából 9 m/s sebességgel esnek.

A tollnak és a papírlapnak nagyon kicsi a határsebessége, szinte azonnal eléri, és ezért ereszkednek le olyan lassan. Hogy miért számít ennyit az alak és a tömeg, azt a dinamika mutatja meg. A kútba dobott kő vagy a toronyból ugró műugró sebessége legfeljebb hetven kilométer per óra körül van, és ennél a légellenállás még kicsi, a szabadesés képletei ezért jól használhatók.

A szabadesés számológépe

Add meg az esés idejét, és a számológép megmondja, milyen magasságból esett a test, és milyen sebességgel csapódott be. A számítás g = 9,81 m/s² értékkel és légellenállás nélkül történik.

És fordítva: add meg a magasságot, a számológép pedig meghatározza, mennyi ideig esik a test, és milyen sebességgel csapódik be.

A leeső kő egyetlen mozgást végez, függőlegesen lefelé. A test azonban gyakran több mozgást végez egyszerre: a túlpartra tartó csónakot elsodorja az áramlat, a függőlegesen eső esőcseppek pedig ferdén repülnek a haladó autóból nézve. Hová ér a csónak, és hogyan kell céloznia, hogy pont szemben érjen partot, azt a következő, Mozgások összetétele című cikkben számoljuk ki.