Вільне падіння

Одночасно випусти з рук ключі та аркуш паперу. Ключі дзенькнуть об підлогу майже одразу, а папір ще якусь мить погойдується в повітрі. Отже, важчі речі падають швидше? Саме так майже дві тисячі років думала більшість учених, починаючи з Арістотеля. Аж Галілео Галілей на межі XVI і XVII століть дійшов висновку, що різницю створює повітря. Якби його не було, камінь, молоток і пташина пір'їна падали б однаково швидко.

За легендою, Галілей, щоб довести це студентам, скинув із похилої вежі в Пізі дві кулі різної маси. Історія гарна, але ми знаємо її лише від його учня й біографа, і історики сумніваються, що так було насправді. Насправді Галілей дійшов висновку завдяки терплячішим дослідам, до яких ми ще повернемося.

Молоток і пір'їна на Місяці

На Землі це важко показати, адже повітря навколо нас скрізь. На Місяці ж його немає. У 1971 році астронавт Девід Скотт із місії «Аполлон-15» перед телевізійною камерою випустив із однакової висоти геологічний молоток і соколину пір'їну. Пір'їну обрали невипадково: посадковий модуль місії мав назву Falcon, англійською «сокіл». Обидва предмети падали однаково швидко й упали в пил одночасно. Скотт сухо додав, що пан Галілей мав рацію.

Ліворуч Місяць, праворуч для порівняння Земля з повітрям.

Рух тіла, яке ми випускаємо зі стану спокою і яке потім падає лише тому, що його притягує Земля (або Місяць), без жодного опору повітря, називають вільним падінням. На Місяці вільно падають і пір'їни, і молотки. На Землі до нього дуже наближається рух каменя, ключів чи яблука, принаймні доки вони не падають з великої висоти. Пір'їна й папір вільно не падають, їх повітря гальмує надто сильно.

Падіння з прискоренням g

Галілей відкрив ще одне. Швидкість тіла, що падає, зростає рівномірно, за кожну секунду додається однаково. Отже, вільне падіння — це рівноприскорений рух зі стану спокою. Його прискорення для всіх тіл в одному місці однакове, воно називається прискоренням вільного падіння і позначається g. Звучить дивно, адже молоток набагато важчий за пір'їну. Земля його притягує сильніше, але так само сильніше він опирається тому, щоб його зрушили з місця, і одне точно компенсує друге. Чому так, покажуть сили. У нас

$$g\approx 9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2.$$

Камінь, що вільно падає, щосекунди має швидкість більшу на 9,81 м/с. Точне значення трохи відрізняється від місця до місця: на екваторі прискорення вільного падіння становить близько 9,78 м/с², на полюсах — 9,83 м/с². Для оцінки в голові досить 10 м/с². На Місяці воно приблизно вшестеро менше, тому молоток і пір'їна Скотта падали там помітно повільніше, ніж камінь на Землі.

Тіло падає по вертикальній прямій, тому додатним напрямом осі оберемо напрям донизу. Прискорення і швидкість тоді вийдуть додатними. Формули рівноприскореного руху v = v₀ + a · t та $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ тут спрощуються. Тіло починає зі стану спокою, тож початкова швидкість v₀ = 0, а прискорення a = g. Шлях позначатимемо h як висоту, бо він показує, на скільки метрів тіло впало. Лишається:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Час t відлічуємо від моменту, коли тіло випустили, v — це швидкість у цю мить, а h — висота, на яку тіло за цей час опустилося. За першу секунду камінь набирає швидкість 9,81 м/с і падає на 4,9 м. Через дві секунди він має 19,6 м/с і впав на 19,6 м, через три має 29,4 м/с і вже на 44,1 м нижче за місце, звідки ми його випустили.

Може спасти на думку обчислити висоту як швидкість, помножену на час. Але швидкість 19,6 м/с камінь має лише наприкінці другої секунди, раніше він падав повільніше, і результат вийшов би вдвічі більшим. Саме тому у формулі стоїть половина.

Сліди через однакові проміжки часу

На рисунку падає кулька, уповільнено, щоб було що бачити, і після кожного однакового проміжку часу, скажімо, через десяту частку секунди, залишає за собою помаранчевий слід. Сліди віддаляються один від одного дедалі більше, бо кулька з кожною миттю швидша. За одну частку часу кулька опускається на одну частку шляху, за дві частки часу — на 2² = 4 частки, за три — на 3² = 9, а за чотири — на 4² = 16 часток. Відрізки між слідами тоді мають 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 і 16 − 9 = 7 часток. Сусідні квадрати відрізняються на непарні числа.

Вільне падіння було надто швидким для тодішніх годинників, тож Галілей пускав кульки похилим жолобом, де все відбувається повільніше. Він знайшов саме ці непарні числа, 1 : 3 : 5 : 7.

Яка глибина колодязя?

Біля сільського будинку в тебе є старий колодязь, і ти хочеш знати, на якій глибині вода. Кидаєш у нього камінь і секундоміром вимірюєш, що сплеск чути через 2 с. Спершу випишемо, що ми знаємо про падіння:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{с}\\ g& =9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\\ h& =?(\mathrm{м})\end{array}$$

Камінь падає зі стану спокою, тож одразу підставляємо у формулу висоти:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot (2\mathrm{с}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot 4{\mathrm{с}}^2\approx 19,6\mathrm{м}\end{array}$$

Секунди в квадраті скорочуються, і лишаються метри. Рівень води лежить приблизно на 19,6 м нижче від краю колодязя, досить глибоко. Для швидкої перевірки візьмемо округлено g ≈ 10 м/с²: половина від десяти, помножена на чотири, — двадцять метрів. Збігається.

Часом, за який звук сплеску повертається нагору, ми знехтували. Звук долає двадцять метрів приблизно за шість сотих секунди, і порівняно з двома секундами це майже непомітно. Опір повітря на двадцяти метрах теж помітно не загальмує камінь.

Швидкість каменя на графіку — пряма, яка щосекунди підіймається на 9,81 м/с. Її крутість — це прискорення вільного падіння g. Шлях знаходимо як площу під графіком, тут — як червоний трикутник із катетами 2 с і 19,6 м/с. Його площа дорівнює $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{с}\cdot 19,6\mathrm{м}/\mathrm{с}=19,6\mathrm{м}$, точно так, як вийшло за формулою.

Стрибок із десятиметрової вишки

Найвища платформа для стрибків у воду розташована на висоті десяти метрів над водою. Скільки часу стрибун падає і з якою швидкістю вдаряється об воду? Насправді він відштовхується від платформи й крутиться в повітрі, але спростимо: він просто падає зі стану спокою, як камінь.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{м}\\ g& =9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\\ t& =?(\mathrm{с})\\ v& =?(\mathrm{м}/\mathrm{с})\end{array}$$

Цього разу ми знаємо висоту й шукаємо час, а його треба виразити з формули висоти. Спершу помножимо обидві частини на два, і дріб зникне. Потім поділимо їх на прискорення вільного падіння, і з правого боку залишиться лише час у квадраті:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Поки що маємо час у квадраті, а потрібен сам час. Допоможе корінь: добудемо корінь з обох частин. Від'ємний результат нас не цікавить, час від моменту, коли тіло випустили, додатний:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Підставимо:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{м}}{9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{с}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{с}\end{array}$$

Метри скорочуються, а секунди в квадраті переходять зі знаменника в чисельник. Корінь із них дає секунди. Швидкість удару об воду тоді виходить із формули швидкості:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot 1,43\mathrm{с}\\ & \approx 14\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 50\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\end{array}$$

Стрибун падає неповні півтори секунди і вдаряється об воду зі швидкістю приблизно 14 м/с, тобто близько 50 км/год. Так швидко їздять автомобілі містом.

Швидкість удару можна знайти й без часу. Зі співвідношення $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ за нульової початкової швидкості, прискорення g і шляху h виходить $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Після підстановки маємо $\sqrt{196,2{\mathrm{м}}^2{/\mathrm{с}}^2}\approx 14\mathrm{м}/\mathrm{с}$, те саме, що й раніше.

Є одна пастка. З удвічі більшої висоти стрибун падає не вдвічі довше. Висота у формулі стоїть під коренем, тож із двадцяти метрів він падав би лише близько 2,02 с. Це збігається з колодязем: за дві секунди камінь упав майже на двадцять метрів.

Та сама формула придатна й для цікавого досліду. Приятель тримає вертикально лінійку, а ти тримаєш розведені великий і вказівний пальці біля її нижнього кінця. Приятель без попередження випускає її, а ти якнайшвидше її хапаєш. Якщо лінійка встигла впасти на 20 см, вона падала $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{м}}{9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}}\approx 0,2\mathrm{с}$, і це твій час реакції.

Опір повітря і парашутист

Якби не було повітря, парашутист після п'ятнадцяти секунд падіння мав би швидкість v = 9,81 м/с² · 15 с ≈ 147 м/с, понад 500 км/год, і прискорювався б далі. Але так швидко він ніколи не падає, бо повітря чинить тілу, що падає, опір, і тим більший, чим швидше воно рухається.

Одразу після стрибка з літака парашутист повільний, опір повітря малий, і він падає майже вільно. Але зі швидкістю опір зростає, швидкість збільшується дедалі повільніше, аж поки зовсім не перестане зростати. Парашутист тоді падає зі сталою швидкістю, яку називають граничною швидкістю. Розпластаний на животі він досягає приблизно 200 км/год. Розкритий парашут різко збільшує опір, і швидкість падає до кількох метрів за секунду, з якими можна безпечно приземлитися.

Повітря виручає й під час дощу. Крапля з хмари на висоті двох кілометрів без опору повітря впала б зі швидкістю $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot 2000\mathrm{м}}\approx 198\mathrm{м}/\mathrm{с}$, понад 700 км/год, швидкістю літака. Насправді ж навіть великі краплі падають зі швидкістю лише близько 9 м/с.

Пір'їна й аркуш паперу мають дуже малу граничну швидкість, досягають її майже миттєво, тому й опускаються так повільно. Чому так багато важать форма і маса, покаже динаміка. Камінь у колодязь чи стрибун із вишки мають швидкості щонайбільше близько сімдесяти кілометрів за годину, а за таких швидкостей опір повітря ще малий, тож формули вільного падіння підходять добре.

Калькулятор вільного падіння

Введи час падіння, і калькулятор підкаже, з якої висоти тіло впало та з якою швидкістю вдарилося. Він рахує з g = 9,81 м/с² і без опору повітря.

І навпаки: введи висоту, і калькулятор визначить, скільки часу тіло падає та з якою швидкістю вдариться.

Камінь, що падає, виконує лише один рух, вертикально вниз. Але часто тіло виконує кілька рухів одночасно: човник, який прямує до протилежного берега, зносить течія, а краплі дощу, що падають вертикально, для пасажира автомобіля, що їде, летять навскіс. Куди допливе човник і як його треба спрямувати, щоб причалити просто навпроти, ми обчислимо в наступній статті — Додавання рухів.