Tweede wet van Newton

In de supermarkt staan twee winkelwagentjes naast elkaar. Het ene is leeg en heeft een massa van 10 kg, het andere is volgeladen met water en blikken en heeft er 25 kg. Je duwt tegen allebei even hard, met een kracht van 50 N. Het lege wagentje schiet weg als een kogel, het volle komt maar lui in beweging. Hoeveel precies, dat vertelt de tweede wet van Newton. De wrijving van de wieltjes verwaarlozen we voor het gemak.

Beide wagentjes starten uit stilstand en de oranje markeringen laten de plaats van hun voorkant zien op regelmatige tijdstippen. Bij beide worden de afstanden steeds groter, dus beide hebben een versnelling. Het lege wagentje legt echter in dezelfde tijd een twee en een half keer zo lange weg af als het volle, omdat zijn versnelling twee en een half keer zo groot is. De krachtpijlen zijn bij beide wagentjes even lang. Het verschil zit alleen in de lading.

Kracht en versnelling

Isaac Newton schreef de wet in 1687 ongeveer zo op:

De verandering van beweging is evenredig met de uitgeoefende kracht en vindt plaats in de richting van de rechte lijn waarin de kracht werkt.

De massa ontbreekt hier maar ogenschijnlijk. Met beweging bedoelde Newton het product van massa en snelheid, dus daarin zit ze verstopt.

In hedendaagse taal: hoe groter de kracht die op een voorwerp werkt, hoe groter zijn versnelling, en hoe groter zijn massa, hoe kleiner de versnelling:

$$a=\frac{F}{m}$$

Als we de kracht verdubbelen, verdubbelt ook de versnelling. Als we de massa verdubbelen, halveert de versnelling. Vaker wordt de wet opgeschreven vermenigvuldigd met de massa:

$$F=m\cdot a$$

Kracht en versnelling zijn vectoren, dus de volledige notatie is $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. De versnelling wijst altijd in dezelfde richting als de kracht. Duw je het wagentje naar voren, dan heeft het een versnelling naar voren. Trek je het naar achteren, dan heeft het een versnelling naar achteren, en als het naar voren reed, vertraagt het.

Let op één ding: $\overrightarrow{F}$ is de resulterende kracht van alle krachten die op het voorwerp werken, niet alleen die we het eerst opmerken. Als de resulterende kracht nul is, is ook de versnelling nul en staat het voorwerp stil of beweegt het eenparig rechtlijnig. Precies dat zegt de eerste wet van Newton, de tweede bevat haar als bijzonder geval.

Terug naar de wagentjes, laten we hun versnelling uitrekenen. We beginnen met het lege:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

En het volle:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Waarom er meter per seconde in het kwadraat uitkwam, leggen we zo uit. Een versnelling van 5 m/s² betekent dat de snelheid van het lege wagentje elke seconde met 5 m/s toeneemt, bij het volle maar met 2 m/s. Het volle wagentje heeft twee en een half keer zoveel massa, dus zijn versnelling is twee en een half keer zo klein. Als je het lege wagentje twee keer zo hard zou duwen, met een kracht van 100 N, zou het een dubbele versnelling hebben, 10 m/s².

Maar niemand duwt een wagentje lang. Als je een halve seconde duwt, komt het lege wagentje op 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, het volle maar op 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Massa als maat voor traagheid

Een voorwerp behoudt zijn snelheid tot een kracht het dwingt die te veranderen. Dat heet traagheid. De tweede wet voegt er een getal aan toe: hoe groter de massa, hoe meer het voorwerp zich verzet tegen een verandering van snelheid. Massa is de maat voor traagheid.

Daarom krijg je het lege wagentje met één vinger in beweging, terwijl een rijdend vol wagentje moeilijk te stoppen is. Dezelfde reden zit erachter dat een vrachtwagen bij het stoplicht langzamer optrekt dan een personenauto, hoewel hij een veel sterkere motor heeft.

Een groter voorwerp hoeft overigens niet meer massa te hebben. Een beachvolleybal is groter dan een bowlingbal, maar tegen een bowlingbal zou je niet willen schoppen. De bal heeft namelijk veel meer massa, dus een even harde trap zet hem maar een beetje in beweging en je voet stuit erop.

Traagheid raken we ook niet kwijt waar dingen niets wegen. Een astronaut in een ruimtestation tilt met één hand een kist van honderd kilo op, omdat kist en station samen om de aarde vallen en de kist gewichtloos zweeft. Maar zodra hij hem door het station wil duwen of stoppen, moet hij net zo hard werken als op aarde. De kist heeft nog steeds een massa van 100 kg en dezelfde traagheid.

Waar komt de newton vandaan

De eenheid van kracht is de newton, N = kg·m/s². Waarom precies dit, verklaart de tweede wet, volgens welke de newton is gedefinieerd: één newton is de kracht die een voorwerp met een massa van 1 kg een versnelling van 1 m/s² geeft. We vullen dit in de formule F = m · a in:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Hieruit volgt ook de eenheid van versnelling bij de wagentjes. We delen de newton door de kilogram:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De kilogrammen vallen weg en er blijft meter per seconde in het kwadraat over.

Hoe groot is één newton? Ongeveer alsof je een klein appeltje in je hand houdt. Zet een fles water van een liter met een massa van ongeveer 1 kg op volkomen glad ijs en trek er steeds met dezelfde kracht van 1 N aan. De fles versnelt de hele tijd: na een seconde glijdt hij met 1 m/s, na twee 2 m/s. Een constante kracht houdt de snelheid niet constant, maar blijft haar veranderen.

Met welke kracht trekt een auto op

Een gezinsauto met een massa van 1200 kg versnelt in tien seconden van nul naar 100 km/h, dus hij heeft een versnelling van ongeveer 2,8 m/s². Hoe groot moet de resulterende kracht zijn die daarvoor op de auto werkt?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

De formule is al omgewerkt, dus we vullen meteen in:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3360\mathrm{N}\end{array}$$

De eenheden kloppen: kilogram keer meter per seconde in het kwadraat is newton. Op de auto moet een resulterende kracht van ongeveer 3360 N werken, dus meer dan drie kilonewton. Let op het woord resulterende. Tegen de beweging van de auto werken ook de luchtweerstand en de rolweerstand van de banden, dus de weg moet de auto via de wielen nog wat harder duwen.

Meerdere krachten tegelijk

Meestal werken er meerdere krachten op een voorwerp en dan ga je altijd op dezelfde manier te werk:

• teken de krachten die op het voorwerp werken en kies een positieve richting,
• tel ze op en je krijgt de resulterende kracht,
• deel haar door de massa en je krijgt de versnelling.

Teken alleen krachten die werken op het voorwerp waarin je geïnteresseerd bent. De kracht waarmee de auto op de weg duwt, hoort niet in de berekening van de versnelling van de auto, die werkt op de weg. Op deze aanpak rust de hele dynamica, in de volgende artikelen komen er alleen nieuwe soorten krachten bij.

Onze auto uit het vorige voorbeeld rijdt nu over een landweg en de bestuurder geeft gas. De weg duwt hem via de wielen naar voren met een kracht van F₁ = 3000 N, de luchtweerstand en de rolweerstand remmen hem af met een kracht van F₂ = 600 N.

De rode pijl is de aandrijfkracht, de blauwe de weerstand en de groene de resulterende kracht, allemaal op dezelfde schaal. Verticaal werken er op de auto nog de zwaartekracht omlaag en de weg duwt hem met een even grote kracht omhoog. Ze heffen elkaar op, daarom tekenen we ze niet in de afbeelding.

De positieve richting kiezen we in de rijrichting. De krachten hebben tegengestelde richting, dus hun groottes worden afgetrokken:

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2400\mathrm{N}$$

We delen door de massa:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De auto heeft een versnelling van 2 m/s². Een veelgemaakte fout is alleen de aandrijfkracht door de massa te delen. Dan zou er 2,5 m/s² uitkomen en dat is te veel, omdat de luchtweerstand in zo'n berekening verloren zou gaan.

Dezelfde aanpak werkt ook voor andere situaties. Op de snelweg rijdt de auto met constante snelheid, de weerstand is hier ongeveer 600 N en de aandrijfkracht is even groot als de weerstand, de resulterende kracht is nul en de versnelling ook. Als de bestuurder het gas loslaat, verdwijnt de aandrijfkracht en blijft alleen de weerstand over, die tegen de positieve richting in wijst (de motorrem verwaarlozen we):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Een negatieve versnelling betekent dat de auto vertraagt.

De aanpak werkt ook andersom, van versnelling terug naar kracht. Hoe groot moet de aandrijfkracht zijn om ondanks een weerstand van 600 N een versnelling van 2,8 m/s² te halen? De resulterende kracht moet F = m · a = 3360 N zijn, zoals we hierboven hebben uitgerekend. Uit het verband voor de resulterende kracht halen we de aandrijfkracht:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

We vullen in:

$$F_1=3360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3960\mathrm{N}$$

De aandrijfkracht moet dus bijna vier kilonewton bereiken. Wie de weerstand vergeet, merkt dat zijn auto langzamer optrekt dan uit de berekening kwam.

Waarom zware en lichte voorwerpen even snel vallen

In vrije val hebben alle voorwerpen op één plek dezelfde versnelling g ≈ 9,81 m/s², een steen en een sleutelbos. Het verleidt mensen te denken dat een zwaardere steen sneller moet vallen, omdat de aarde hem met een grotere kracht aantrekt. Dat doet ze, maar de zwaardere steen heeft tegelijk meer massa en verzet zich dus meer tegen een verandering van snelheid.

Wat een kilogram weegt, laat een krachtmeter zien: de aarde trekt aan elke kilogram met een kracht van ongeveer 9,81 N. De zwaartekracht neemt dus recht evenredig toe met de massa:

$$F_z=m\cdot g$$

Het getal g komt hier voor als kracht per kilogram, N/kg, en dat is hetzelfde als m/s². Aan een bal met een massa van 0,5 kg trekt de aarde met een kracht van ongeveer 4,9 N, aan een bowlingbal met een massa van 5 kg met een tien keer zo grote kracht, ongeveer 49 N. De bowlingbal heeft echter ook een tien keer zo grote massa:

$$a=\frac{F_z}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Tien keer zo grote kracht, tien keer zo grote massa, dezelfde versnelling. In het algemeen $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, de massa valt weg.

De massa speelt een dubbele rol: ze bepaalt hoe sterk de aarde het voorwerp trekt en tegelijk hoezeer het voorwerp zich tegen een verandering van snelheid verzet. Dat in beide rollen hetzelfde getal optreedt, is niet vanzelfsprekend; het wordt door meting gecontroleerd en geldt met enorme nauwkeurigheid. Daardoor valt een hamer net zo snel als een spijker.

In lucht komt er weerstand bij, die omhoog wijst, en de resulterende kracht is de zwaartekracht verminderd met de weerstand. Bij een steen is de weerstand ten opzichte van de zwaartekracht verwaarloosbaar, bij een veer, die bijna niets weegt, neemt ze bijna de hele zwaartekracht weg. Daarom zweeft de veer op aarde en valt de steen. De luchtweerstand hangt af van de vorm en de snelheid van het voorwerp, niet van zijn massa. Even grote balletjes van staal en van polystyreen remt de lucht bij dezelfde snelheid even sterk af. Maar hoe groter de massa, hoe minder de weerstand van de versnelling afhaalt, dus bij een stalen balletje haalt hij er maar een klein beetje af, terwijl hij het polystyreen balletje merkbaar afremt.

Waarom de stoel ons in de rug duwt

Als de auto hard optrekt, voel je de rugleuning in je rug duwen. Dat is de kracht die jou dezelfde versnelling geeft als de auto, en nu kunnen we haar uitrekenen. De bijrijdster heeft een massa van 60 kg. In een gezinsauto met een versnelling van 2,8 m/s² duwt de rugleuning haar met een kracht van

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

In een sportauto met een versnelling van 9,3 m/s² is het al

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Ter vergelijking, van onderen ondersteunt de stoel haar met een kracht gelijk aan de zwaartekracht, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. De rugleuning duwt haar dus bijna even sterk in de rug als de stoel van onderen, en daarom spreken we van een g-kracht van bijna 1g in horizontale richting. De verhouding van beide krachten is gelijk aan de verhouding van de versnellingen $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, de massa van de bijrijdster valt weer weg.

De tweede wet zegt dus wat een kracht met een voorwerp doet. Blijft de vraag waar krachten vandaan komen en op wie ze werken. Als je tegen een wagentje duwt, voel je dat het wagentje tegen je hand terugduwt. Daar gaat de derde wet van Newton over.

Hoe krachten in paren werken, laat het volgende artikel zien, Derde wet van Newton.