Principiul fundamental al dinamicii

La supermarket așteaptă unul lângă altul două cărucioare de cumpărături. Unul este gol și are masa 10 kg, celălalt este încărcat cu apă și conserve și are 25 kg. Le împingi pe amândouă la fel, cu forța de 50 N. Căruciorul gol țâșnește ca un glonț, cel plin abia se urnește leneș. Cât de mare este diferența, ne spune principiul fundamental al dinamicii (a doua lege a lui Newton), numit și legea forței. Frecarea roților o neglijăm pentru simplitate.

Ambele cărucioare pornesc din repaus, iar marcajele portocalii arată poziția părții lor din față la intervale egale de timp. La amândouă distanțele dintre marcaje cresc, deci amândouă au accelerație. Căruciorul gol parcurge însă în același timp o distanță de două ori și jumătate mai mare decât cel plin, pentru că accelerația lui este de două ori și jumătate mai mare. Săgețile forței au aceeași lungime la ambele cărucioare. Diferența o face doar încărcătura.

Legea forței

Isaac Newton a formulat-o în 1687 cam așa:

Variația mișcării este proporțională cu forța motoare imprimată și are loc pe direcția dreptei după care acționează forța.

Masa lipsește aici doar în aparență. Prin mișcare, Newton înțelegea produsul dintre masă și viteză, așa că masa este ascunsă în ea.

În limbajul de azi: cu cât forța care acționează asupra corpului este mai mare, cu atât accelerația lui este mai mare, iar cu cât masa lui este mai mare, cu atât accelerația este mai mică:

$$a=\frac{F}{m}$$

Dacă dublăm forța, se dublează și accelerația. Dacă dublăm masa, accelerația scade la jumătate. Mai des legea se scrie înmulțită cu masa:

$$F=m\cdot a$$

Forța și accelerația sunt vectori, deci scrierea completă este $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. Accelerația are întotdeauna aceeași direcție și același sens ca forța. Dacă împingi căruciorul înainte, accelerația lui este îndreptată înainte. Dacă tragi de el înapoi, accelerația este îndreptată înapoi, iar dacă se mișca înainte, el încetinește.

Ai grijă la un lucru: $\overrightarrow{F}$ este forța rezultantă a tuturor forțelor care acționează asupra corpului, nu doar a celei pe care o observăm prima. Când rezultanta este nulă, este nulă și accelerația, iar corpul stă pe loc sau se mișcă rectiliniu uniform. Exact asta spune principiul inerției (prima lege a lui Newton); principiul al doilea îl conține ca pe un caz particular.

Să ne întoarcem la cărucioare și să le calculăm accelerațiile. Începem cu cel gol:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Și cel plin:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De ce ne-au ieșit metri pe secundă la pătrat, explicăm imediat. Accelerația 5 m/s² înseamnă că viteza căruciorului gol crește în fiecare secundă cu 5 m/s, iar a celui plin doar cu 2 m/s. Căruciorul plin are masa de două ori și jumătate mai mare, deci accelerația lui este de două ori și jumătate mai mică. Dacă ai împinge căruciorul gol de două ori mai tare, cu forța de 100 N, accelerația lui ar fi dublă, 10 m/s².

Numai că nimeni nu împinge un cărucior mult timp. Dacă îl împingi o jumătate de secundă, căruciorul gol ajunge la viteza 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, iar cel plin doar la 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Masa ca măsură a inerției

Corpul își păstrează viteza până când o forță îl obligă s-o schimbe. Aceasta se numește inerție. Principiul al doilea îi adaugă un număr: cu cât masa este mai mare, cu atât corpul se opune mai tare schimbării vitezei. Masa este măsura inerției.

De aceea căruciorul gol îl pui în mișcare cu un singur deget, pe când oprirea unui cărucior plin, aflat în mișcare, cere efort. Același motiv face ca un camion să demareze de la semafor mai lent decât o mașină, deși are un motor mult mai puternic.

Un corp mai mare nu are neapărat masa mai mare. O minge de volei de plajă este mai mare decât o bilă de bowling, dar n-ai vrea să lovești cu piciorul bila. Bila are masa mult mai mare, așa că aceeași lovitură o urnește doar puțin, iar piciorul se oprește în ea.

Nici acolo unde obiectele nu cântăresc nimic nu scăpăm de inerție. Un astronaut de pe o stație spațială ridică dintr-o mână o ladă de o sută de kilograme, pentru că și lada, și stația cad împreună în jurul Pământului, iar lada plutește în imponderabilitate. Dar când vrea s-o pună în mișcare sau s-o oprească, trebuie să depună același efort ca pe Pământ. Lada are în continuare masa 100 kg și aceeași inerție.

De unde vine newtonul

Unitatea de forță este newtonul, N = kg·m/s². De ce tocmai aceasta, explică principiul al doilea, după care este definit newtonul: un newton este forța care imprimă unui corp cu masa de 1 kg o accelerație de 1 m/s². Înlocuim în F = m · a:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De aici rezultă și unitatea accelerației de la cărucioare. Împărțim newtonul la kilogram:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kilogramele se simplifică și rămân metri pe secundă la pătrat.

Cât de mare este un newton? Cam cât simți când ții în mână un măr mic. Pune pe gheață perfect netedă o sticlă de un litru cu apă, cu masa de aproximativ 1 kg, și trage de ea mereu cu aceeași forță de 1 N. Sticla accelerează tot timpul: după o secundă merge cu 1 m/s, după două cu 2 m/s. O forță constantă nu menține viteza constantă, ci o schimbă mereu.

Cu ce forță demarează o mașină

O mașină de familie cu masa 1.200 kg accelerează de la zero la 100 km/h în zece secunde, deci are accelerația de aproximativ 2,8 m/s². Cât de mare trebuie să fie forța rezultantă care acționează asupra mașinii?

$$\begin{array}{rl}m& =1.200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Formula este deja exprimată, deci înlocuim direct:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1.200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3.360\mathrm{N}\end{array}$$

Unitățile se potrivesc: kilogram ori metru pe secundă la pătrat este newton. Asupra mașinii trebuie să acționeze o forță rezultantă de aproximativ 3.360 N, adică peste trei kilonewtoni. Observă cuvântul rezultantă. Împotriva mișcării mașinii acționează și rezistența aerului, și frecarea de rostogolire a pneurilor, așa că drumul trebuie să împingă mașina, prin roți, încă puțin mai tare.

Mai multe forțe deodată

De cele mai multe ori asupra unui corp acționează mai multe forțe și atunci se procedează mereu la fel:

• desenează forțele care acționează asupra corpului și alege sensul pozitiv,
• adună-le și obții rezultanta,
• împarte-o la masă și obții accelerația.

Desenează numai forțele care acționează asupra corpului care te interesează. Forța cu care mașina apasă pe drum nu intră în calculul accelerației mașinii, ea acționează asupra drumului. Pe acest procedeu se sprijină toată dinamica, în articolele următoare se adaugă doar noi feluri de forțe.

Mașina din exemplul precedent merge acum pe un drum județean, iar șoferul accelerează. Drumul o împinge înainte, prin roți, cu forța F₁ = 3.000 N, iar rezistența aerului și frecarea de rostogolire o frânează cu forța F₂ = 600 N.

Săgeata roșie este forța de tracțiune, cea albastră rezistența, iar cea verde rezultanta, toate la aceeași scară. Pe verticală asupra mașinii mai acționează greutatea în jos, iar drumul o împinge în sus cu o forță la fel de mare. Se anulează reciproc, de aceea nu le-am desenat.

Alegem sensul pozitiv în sensul de mers. Forțele au sensuri opuse, așa că mărimile lor se scad:

$$F=F_1-F_2=3.000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2.400\mathrm{N}$$

Împărțim la masă:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2.400\mathrm{N}}{1.200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Mașina are accelerația 2 m/s². O greșeală frecventă este să împarți la masă doar forța de tracțiune. Ar ieși 2,5 m/s², ceea ce este prea mult, pentru că rezistența aerului s-ar pierde în calcul.

Același procedeu funcționează și în alte situații. Pe autostradă mașina merge cu viteză constantă, rezistența este aici de aproximativ 600 N, iar forța de tracțiune este la fel de mare ca rezistența, rezultanta este nulă și accelerația la fel. Când șoferul ridică piciorul de pe accelerație, forța de tracțiune dispare și rămâne doar rezistența, îndreptată împotriva sensului pozitiv (frâna de motor o neglijăm):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1.200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Accelerația negativă înseamnă că mașina încetinește.

Procedeul merge și în sens invers, de la accelerație înapoi la forță. De ce forță de tracțiune are nevoie mașina pentru ca, în ciuda rezistenței de 600 N, să aibă accelerația 2,8 m/s²? Rezultanta trebuie să fie F = m · a = 3.360 N, cum am calculat mai sus. Din relația pentru rezultantă exprimăm forța de tracțiune:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Înlocuim:

$$F_1=3.360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3.960\mathrm{N}$$

Forța de tracțiune trebuie deci să ajungă la aproape patru kilonewtoni. Dacă cineva ar uita de rezistență, mașina lui ar demara mai încet decât a ieșit în calcul.

De ce corpurile grele și cele ușoare cad la fel

În cădere liberă toate corpurile au în același loc aceeași accelerație g ≈ 9,81 m/s², și piatra, și cheile. Ne vine să credem că piatra mai grea trebuie să cadă mai repede, pentru că Pământul o trage cu o forță mai mare. O trage, dar piatra mai grea are în același timp masa mai mare și se opune mai mult schimbării vitezei.

Cât cântărește un kilogram, arată dinamometrul: Pământul trage fiecare kilogram cu o forță de aproximativ 9,81 N. Greutatea crește deci direct proporțional cu masa:

$$G=m\cdot g$$

Numărul g apare aici ca forță pe kilogram, N/kg, și aceasta este același lucru cu m/s². O minge cu masa 0,5 kg este trasă de Pământ cu o forță de aproximativ 4,9 N, o bilă de bowling cu masa 5 kg cu o forță de zece ori mai mare, de aproximativ 49 N. Dar bila are și masa de zece ori mai mare:

$$a=\frac{G}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

O forță de zece ori mai mare, o masă de zece ori mai mare, aceeași accelerație. În general $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, masa se simplifică.

Masa joacă un dublu rol: determină cât de tare trage Pământul corpul și, totodată, cât de mult se opune corpul schimbării vitezei. Faptul că în ambele roluri apare același număr nu este de la sine înțeles; se verifică prin măsurători și este valabil cu o precizie uriașă. Datorită acestui fapt ciocanul cade la fel ca un cui.

În aer apare rezistența, îndreptată în sus, iar rezultanta este greutatea micșorată cu rezistența. La o piatră, rezistența este neglijabilă față de greutate, la o pană, care aproape nu cântărește nimic, anulează aproape toată greutatea. De aceea pana plutește pe Pământ, iar piatra cade. Rezistența aerului depinde de forma și de viteza corpului, nu de masa lui. Două bile de aceeași mărime, una de oțel și una de polistiren, sunt frânate la fel de aer când au aceeași viteză. Cu cât masa este însă mai mare, cu atât rezistența scade mai puțin din accelerație, așa că bilei de oțel îi ia doar o părticică, pe când bila de polistiren o frânează sensibil.

De ce ne împinge scaunul în spate

Când mașina demarează brusc, simți cum spătarul te împinge în spate. Aceasta este forța care îți imprimă aceeași accelerație ca mașinii și acum o putem calcula. Pasagera de pe locul din dreapta are masa 60 kg. Într-o mașină de familie, cu accelerația 2,8 m/s², spătarul o împinge cu forța

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

Într-o mașină sport, cu accelerația 9,3 m/s², este deja

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Pentru comparație, de jos o susține scaunul cu o forță egală cu greutatea, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Spătarul o împinge deci în spate aproape la fel de tare ca scaunul de jos, și de aceea vorbim despre suprasarcină de aproape 1g pe orizontală. Raportul celor două forțe este același cu raportul accelerațiilor $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, masa pasagerei se simplifică din nou.

Principiul al doilea ne spune deci ce face forța cu corpul. Rămâne întrebarea de unde vin forțele și asupra cui acționează. Când împingi căruciorul, simți că și căruciorul îți împinge mâna înapoi. De aceasta se ocupă principiul acțiunii și reacțiunii (a treia lege a lui Newton).

Cum funcționează forțele în perechi, arată articolul următor, Principiul acțiunii și reacțiunii.