Zweites newtonsches Gesetz

Im Supermarkt stehen zwei Einkaufswagen nebeneinander. Der eine ist leer und hat eine Masse von 10 kg, der andere ist mit Wasser und Konserven beladen und hat 25 kg. Du stößt beide gleich an, mit einer Kraft von 50 N. Der leere Wagen schießt los wie ein Geschoss, der volle kommt nur träge in Gang. Wie stark genau sie beschleunigen, verrät das zweite newtonsche Gesetz, das auch Grundgleichung der Mechanik heißt. Die Reibung der Rädchen vernachlässigen wir der Einfachheit halber.

Beide Wagen starten aus der Ruhe, und die orangefarbenen Markierungen zeigen die Lage ihrer Front in regelmäßigen Zeitabständen. Bei beiden werden die Abstände größer, beide haben also eine Beschleunigung. Der leere Wagen legt aber in der gleichen Zeit einen zweieinhalbmal so langen Weg zurück wie der volle, denn seine Beschleunigung ist zweieinhalbmal so groß. Die Kraftpfeile sind dabei bei beiden Wagen gleich lang. Den Unterschied macht nur die Ladung.

Grundgleichung der Mechanik

Isaac Newton schrieb es 1687 ungefähr so auf:

Die Änderung der Bewegung ist der einwirkenden Kraft proportional und geschieht in Richtung der Geraden, in der die Kraft wirkt.

Die Masse fehlt hier nur scheinbar. Mit der Bewegung meinte Newton das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit, die Masse steckt also darin.

In heutiger Sprache: Je größer die Kraft ist, die auf einen Körper wirkt, desto größer ist seine Beschleunigung, und je größer seine Masse ist, desto kleiner ist die Beschleunigung:

$$a=\frac{F}{m}$$

Verdoppeln wir die Kraft, verdoppelt sich auch die Beschleunigung. Verdoppeln wir die Masse, sinkt die Beschleunigung auf die Hälfte. Häufiger schreibt man das Gesetz mit der Masse multipliziert:

$$F=m\cdot a$$

Kraft und Beschleunigung sind Vektoren, die vollständige Schreibweise ist also $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. Die Beschleunigung zeigt immer in dieselbe Richtung wie die Kraft. Stößt du den Wagen nach vorn an, hat er eine Beschleunigung nach vorn. Ziehst du ihn nach hinten, hat er eine Beschleunigung nach hinten, und wenn er vorwärts fuhr, wird er langsamer.

Eines musst du beachten: $\overrightarrow{F}$ ist die Resultierende aller Kräfte, die auf den Körper wirken, nicht nur der, die uns zuerst auffällt. Ist die Resultierende null, ist auch die Beschleunigung null, und der Körper steht oder bewegt sich gleichförmig geradlinig. Genau das sagt das erste newtonsche Gesetz, das zweite enthält es als Sonderfall.

Kehren wir zu den Wagen zurück und berechnen wir ihre Beschleunigung. Wir beginnen mit dem leeren:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Und der volle:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Warum Meter pro Sekunde zum Quadrat herausgekommen sind, erklären wir gleich. Die Beschleunigung 5 m/s² bedeutet, dass die Geschwindigkeit des leeren Wagens jede Sekunde um 5 m/s zunimmt, beim vollen nur um 2 m/s. Der volle Wagen hat eine zweieinhalbmal so große Masse, seine Beschleunigung ist deshalb um den Faktor zweieinhalb kleiner. Würdest du den leeren Wagen doppelt so stark anstoßen, mit 100 N, hätte er die doppelte Beschleunigung, 10 m/s².

Niemand schiebt den Wagen aber lange an. Wenn du eine halbe Sekunde lang schiebst, beschleunigt der leere Wagen auf 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, der volle nur auf 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Die Masse als Maß der Trägheit

Ein Körper behält seine Geschwindigkeit bei, bis ihn eine Kraft zwingt, sie zu ändern. Das nennt man Trägheit. Das zweite Gesetz gibt ihr eine Zahl: Je größer die Masse, desto mehr wehrt sich der Körper gegen eine Änderung der Geschwindigkeit. Die Masse ist das Maß der Trägheit.

Deshalb bringst du den leeren Wagen mit einem Finger in Gang, während es schwer ist, den rollenden vollen Wagen anzuhalten. Aus demselben Grund fährt ein Lkw an der Ampel langsamer an als ein Pkw, obwohl er einen viel stärkeren Motor hat.

Ein größerer Körper muss dabei nicht massereicher sein. Ein Beachvolleyball ist größer als eine Bowlingkugel, aber gegen die Kugel würdest du nicht treten wollen. Die Kugel hat nämlich eine viel größere Masse, ein gleich starker Tritt bringt sie nur leicht in Bewegung, und der Fuß wird an ihr abrupt gestoppt.

Die Trägheit werden wir auch dort nicht los, wo die Dinge nichts wiegen. Ein Astronaut auf der Raumstation hebt mit einer Hand eine hundert Kilogramm schwere Kiste, denn Kiste und Station fallen zusammen um die Erde, und die Kiste schwebt in der Schwerelosigkeit. Will er sie aber in der Station in Bewegung setzen oder anhalten, muss er sich genauso anstrengen wie auf der Erde. Die Kiste hat immer noch eine Masse von 100 kg und dieselbe Trägheit.

Woher das Newton kommt

Die Einheit der Kraft ist das Newton, N = kg·m/s². Warum gerade diese, erklärt das zweite Gesetz, nach dem das Newton definiert ist: Ein Newton ist die Kraft, die einem Körper der Masse 1 kg die Beschleunigung 1 m/s² erteilt. Wir setzen in F = m · a ein:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Daraus ergibt sich auch die Einheit der Beschleunigung bei den Wagen. Wir teilen das Newton durch das Kilogramm:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Die Kilogramm kürzen sich, und es bleiben Meter pro Sekunde zum Quadrat.

Wie groß ist ein Newton? Ungefähr so, als hieltest du einen kleinen Apfel in der Hand. Stell eine Literflasche Wasser mit einer Masse von etwa 1 kg auf völlig glattes Eis und zieh sie mit einer gleichbleibenden Kraft von 1 N. Die Flasche beschleunigt die ganze Zeit: Nach einer Sekunde gleitet sie mit 1 m/s, nach zwei mit 2 m/s. Eine konstante Kraft hält die Geschwindigkeit nicht konstant, sondern ändert sie ständig.

Mit welcher Kraft fährt ein Auto an?

Ein Familienauto mit einer Masse von 1.200 kg beschleunigt in zehn Sekunden von null auf 100 km/h, hat also eine Beschleunigung von etwa 2,8 m/s². Wie groß muss die resultierende Kraft sein, die dafür auf das Auto wirkt?

$$\begin{array}{rl}m& =1.200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Die Formel ist schon nach der gesuchten Größe aufgelöst, wir setzen also gleich ein:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1.200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3.360\mathrm{N}\end{array}$$

Die Einheiten passen: Kilogramm mal Meter pro Sekunde zum Quadrat ist ein Newton. Auf das Auto muss eine resultierende Kraft von etwa 3.360 N wirken, also mehr als drei Kilonewton. Achte auf das Wort resultierend. Gegen die Bewegung des Autos wirken auch der Luftwiderstand und der Rollwiderstand der Reifen, die Straße muss das Auto über die Räder also noch etwas stärker schieben.

Mehrere Kräfte gleichzeitig

Meistens wirken auf einen Körper mehrere Kräfte, und dann geht man immer gleich vor:

• Zeichne die Kräfte, die auf den Körper wirken, und wähle eine positive Richtung,
• addiere sie, und du erhältst die Resultierende,
• teile sie durch die Masse, und du erhältst die Beschleunigung.

Zeichne nur die Kräfte, die auf den Körper wirken, der dich interessiert. Die Kraft, mit der das Auto auf die Straße drückt, gehört nicht in die Rechnung der Beschleunigung des Autos, sie wirkt auf die Straße. Auf diesem Vorgehen beruht die ganze Dynamik, in den weiteren Artikeln kommen nur neue Arten von Kräften dazu.

Unser Auto aus dem vorigen Beispiel fährt jetzt auf einer Landstraße, und der Fahrer gibt Gas. Die Straße schiebt es über die Räder mit der Kraft F₁ = 3.000 N nach vorn, Luftwiderstand und Rollwiderstand bremsen es mit der Kraft F₂ = 600 N.

Der rote Pfeil ist die Antriebskraft, der blaue der Widerstand und der grüne die Resultierende, alle im gleichen Maßstab. Senkrecht wirken auf das Auto außerdem die Gewichtskraft nach unten und die Straße, die es mit einer gleich großen Kraft nach oben drückt. Sie heben sich gegenseitig auf, deshalb zeichnen wir sie nicht ins Bild.

Die positive Richtung wählen wir in Fahrtrichtung. Die Kräfte haben entgegengesetzte Richtungen, ihre Beträge werden also subtrahiert:

$$F=F_1-F_2=3.000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2.400\mathrm{N}$$

Wir teilen durch die Masse:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2.400\mathrm{N}}{1.200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Das Auto hat die Beschleunigung 2 m/s². Ein häufiger Fehler ist, nur die Antriebskraft durch die Masse zu teilen. Es käme 2,5 m/s² heraus, und das ist zu viel, weil der Luftwiderstand in so einer Rechnung verloren ginge.

Dasselbe Vorgehen funktioniert auch in weiteren Situationen. Auf der Autobahn fährt das Auto mit konstanter Geschwindigkeit, der Widerstand beträgt hier ungefähr 600 N, die Antriebskraft ist genauso groß wie der Widerstand, die Resultierende ist null und die Beschleunigung auch. Nimmt der Fahrer den Fuß vom Gas, verschwindet die Antriebskraft, und es bleibt nur der Widerstand, der gegen die positive Richtung zeigt (die Motorbremse vernachlässigen wir):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1.200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Die negative Beschleunigung bedeutet, dass das Auto langsamer wird.

Das Vorgehen funktioniert auch in die andere Richtung, von der Beschleunigung zurück zur Kraft. Wie groß muss die Antriebskraft sein, damit das Auto auch mit dem Widerstand 600 N die Beschleunigung 2,8 m/s² hat? Die Resultierende muss F = m · a = 3.360 N betragen, wie wir oben berechnet haben. Aus der Beziehung für die Resultierende lösen wir nach der Antriebskraft auf:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Wir setzen ein:

$$F_1=3.360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3.960\mathrm{N}$$

Die Antriebskraft muss also fast vier Kilonewton erreichen. Wer den Widerstand vergäße, dessen Auto würde langsamer anfahren, als die Rechnung ergibt.

Warum schwere und leichte Körper gleich schnell fallen

Beim freien Fall haben alle Körper an einem Ort dieselbe Beschleunigung g ≈ 9,81 m/s², der Stein genauso wie der Schlüssel. Das verleitet zu der Annahme, der schwerere Stein müsse schneller fallen, weil ihn die Erde mit einer größeren Kraft zieht. Das tut sie auch, aber der schwerere Stein hat zugleich eine größere Masse und wehrt sich deshalb stärker gegen die Änderung der Geschwindigkeit.

Wie stark die Erde an einem Kilogramm zieht, zeigt der Kraftmesser: Jedes Kilogramm zieht sie mit etwa 9,81 N. Die Gewichtskraft wächst also direkt proportional zur Masse:

$$F_G=m\cdot g$$

Die Zahl g tritt hier als Kraft pro Kilogramm auf, N/kg, und das ist dasselbe wie m/s². Einen Ball mit einer Masse von 0,5 kg zieht die Erde mit etwa 4,9 N, eine Bowlingkugel mit 5 kg mit einer zehnmal so großen Kraft, etwa 49 N. Die Kugel hat aber auch eine zehnmal so große Masse:

$$a=\frac{F_G}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Zehnmal so große Kraft, zehnmal so große Masse, gleiche Beschleunigung. Allgemein gilt $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, die Masse kürzt sich heraus.

Die Masse spielt eine doppelte Rolle: Sie bestimmt, wie stark die Erde den Körper zieht, und zugleich, wie sehr sich der Körper gegen die Änderung der Geschwindigkeit wehrt. Dass in beiden Rollen dieselbe Zahl auftritt, ist nicht selbstverständlich; man überprüft es durch Messungen, und es gilt mit enormer Genauigkeit. Deshalb fällt ein Hammer genauso wie ein Nagel.

In der Luft kommt der Widerstand dazu, der nach oben zeigt, und die Resultierende ist die um den Widerstand verringerte Gewichtskraft. Beim Stein ist der Widerstand gegenüber der Gewichtskraft vernachlässigbar, bei einer Feder, die fast nichts wiegt, nimmt er fast die ganze Gewichtskraft weg. Deshalb segelt die Feder auf der Erde, und der Stein fällt. Der Luftwiderstand hängt von der Form und der Geschwindigkeit des Körpers ab, nicht von seiner Masse. Gleich große Kügelchen aus Stahl und aus Styropor bremst die Luft bei gleicher Geschwindigkeit gleich stark. Je größer aber die Masse, desto weniger nimmt der Widerstand von der Beschleunigung weg: Der Stahlkugel nimmt er nur ein winziges Stück, die Styroporkugel bremst er spürbar.

Warum uns der Sitz in den Rücken drückt

Fährt das Auto kräftig an, spürst du, wie dich die Lehne in den Rücken drückt. Das ist die Kraft, die dir dieselbe Beschleunigung erteilt wie dem Auto, und jetzt können wir sie berechnen. Die Beifahrerin hat eine Masse von 60 kg. In einem Familienauto mit der Beschleunigung 2,8 m/s² drückt die Lehne sie mit der Kraft

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

In einem Sportwagen mit der Beschleunigung 9,3 m/s² ist es schon

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Zum Vergleich: Von unten stützt sie der Sitz mit einer Kraft, die der Gewichtskraft gleich ist, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Die Lehne drückt also fast so stark in den Rücken wie der Sitz von unten, und deshalb spricht man von einer g-Kraft von fast 1g in waagerechter Richtung. Das Verhältnis beider Kräfte ist dasselbe wie das Verhältnis der Beschleunigungen $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, die Masse der Beifahrerin kürzt sich wieder heraus.

Das zweite Gesetz sagt also, was eine Kraft mit einem Körper macht. Bleibt die Frage, woher die Kräfte kommen und auf wen sie wirken. Wenn du den Wagen anstößt, spürst du, dass der Wagen zurück auf deine Hand drückt. Damit beschäftigt sich das dritte newtonsche Gesetz.

Wie Kräfte in Paaren wirken, zeigt der nächste Artikel, Drittes newtonsches Gesetz.