Druga zasada dynamiki Newtona

W supermarkecie obok siebie stoją dwa wózki na zakupy. Jeden jest pusty i ma masę 10 kg, drugi jest załadowany wodą i konserwami i ma 25 kg. Popychasz oba tak samo, siłą 50 N. Pusty wózek wystrzeliwuje jak z procy, pełny tylko leniwie rusza. O ile dokładnie, zdradzi druga zasada dynamiki Newtona. Tarcie kółek dla uproszczenia pominiemy.

Oba wózki startują ze spoczynku, a pomarańczowe znaczniki pokazują położenie ich przodu w regularnych odstępach czasu. U obu odstępy się wydłużają, oba mają więc przyspieszenie. Pusty wózek w tym samym czasie przejeżdża jednak dwa i pół raza dłuższą drogę niż pełny, bo jego przyspieszenie jest dwa i pół raza większe. Strzałki siły są przy tym u obu wózków tak samo długie. Różnicę robi tylko ładunek.

Druga zasada dynamiki

Isaac Newton zapisał ją w 1687 roku mniej więcej tak:

Zmiana ruchu jest proporcjonalna do przyłożonej siły i zachodzi wzdłuż prostej, wzdłuż której ta siła działa.

Masy brakuje tu tylko pozornie. Przez ruch Newton rozumiał iloczyn masy i prędkości, więc masa jest w nim ukryta.

Dzisiejszym językiem: im większa siła działa na ciało, tym większe ma ono przyspieszenie, a im większa jest jego masa, tym przyspieszenie mniejsze:

$$a=\frac{F}{m}$$

Jeśli podwoimy siłę, podwoi się też przyspieszenie. Jeśli podwoimy masę, przyspieszenie spadnie o połowę. Częściej zasadę zapisuje się pomnożoną przez masę:

$$F=m\cdot a$$

Siła i przyspieszenie są wektorami, więc pełny zapis to $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. Przyspieszenie ma zawsze ten sam kierunek i zwrot co siła. Jeśli pchniesz wózek do przodu, ma przyspieszenie do przodu. Jeśli pociągniesz go do tyłu, ma przyspieszenie do tyłu, a jeśli jechał do przodu, zwalnia.

Pilnuj jednej rzeczy: $\overrightarrow{F}$ to wypadkowa wszystkich sił działających na ciało, a nie tylko tej, którą zauważymy jako pierwszą. Gdy wypadkowa jest zerowa, zerowe jest też przyspieszenie i ciało stoi albo porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Dokładnie to mówi pierwsza zasada dynamiki, druga zawiera ją w sobie jako szczególny przypadek.

Wróćmy do wózków i obliczmy ich przyspieszenia. Zaczniemy od pustego:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

I pełny:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Dlaczego wyszły nam metry na sekundę do kwadratu, wyjaśnimy za chwilę. Przyspieszenie 5 m/s² oznacza, że prędkość pustego wózka rośnie co sekundę o 5 m/s, a pełnego tylko o 2 m/s. Pełny wózek ma dwa i pół raza większą masę, więc jego przyspieszenie jest dwa i pół raza mniejsze. Gdybyś pchnął pusty wózek dwa razy mocniej, siłą 100 N, miałby przyspieszenie dwa razy większe, 10 m/s².

Wózka nikt jednak nie pcha długo. Jeśli pchasz przez pół sekundy, pusty wózek rozpędzi się do 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, a pełny tylko do 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Masa jako miara bezwładności

Ciało zachowuje swoją prędkość, dopóki siła nie zmusi go do jej zmiany. Nazywa się to bezwładnością. Druga zasada dodaje do niej liczbę: im większa masa, tym bardziej ciało opiera się zmianie prędkości. Masa jest miarą bezwładności.

Dlatego pusty wózek ruszysz jednym palcem, a zatrzymanie rozpędzonego pełnego wózka wymaga wysiłku. Z tego samego powodu ciężarówka rusza spod świateł wolniej niż samochód osobowy, choć ma znacznie mocniejszy silnik.

Większe ciało nie musi przy tym mieć większej masy. Piłka do siatkówki plażowej jest większa niż kula do kręgli, ale kopnąć kulę raczej byś nie chciał. Kula ma bowiem znacznie większą masę, więc równie mocny kopniak tylko lekko ją poruszy, a noga się na niej zatrzyma.

Bezwładności nie pozbędziemy się nawet tam, gdzie rzeczy nic nie ważą. Astronauta na stacji kosmicznej podniesie jedną ręką stukilogramową skrzynię, bo skrzynia i stacja razem spadają wokół Ziemi, a skrzynia unosi się w stanie nieważkości. Gdy jednak chce ją rozpędzić albo zatrzymać na stacji, musi się do niej przyłożyć tak samo jak na Ziemi. Skrzynia ma nadal masę 100 kg i tę samą bezwładność.

Skąd się wziął niuton

Jednostką siły jest niuton, N = kg·m/s². Dlaczego akurat tak, wyjaśnia druga zasada, według której niuton jest zdefiniowany: jeden niuton to siła, która ciału o masie 1 kg nadaje przyspieszenie 1 m/s². Podstawiamy do F = m · a:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Z tego wynika też jednostka przyspieszenia przy wózkach. Dzielimy niuton przez kilogram:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kilogramy się skracają i zostają metry na sekundę do kwadratu.

Jak duży jest jeden niuton? Mniej więcej tyle, ile czujesz, trzymając w ręce małe jabłko. Postaw na idealnie gładkim lodzie litrową butelkę wody o masie około 1 kg i ciągnij ją cały czas tą samą siłą 1 N. Butelka przyspiesza przez cały czas: po sekundzie będzie jechać z prędkością 1 m/s, po dwóch 2 m/s. Stała siła nie utrzymuje stałej prędkości, tylko ciągle ją zmienia.

Z jaką siłą rusza samochód

Samochód rodzinny o masie 1200 kg przyspiesza od zera do 100 km/h w dziesięć sekund, ma więc przyspieszenie około 2,8 m/s². Jaka siła wypadkowa musi przy tym działać na samochód?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Wzór jest już przekształcony, więc od razu podstawiamy:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3360\mathrm{N}\end{array}$$

Jednostki się zgadzają: kilogram razy metr na sekundę do kwadratu to niuton. Na samochód musi działać siła wypadkowa około 3360 N, czyli ponad trzy kiloniutony. Zwróć uwagę na słowo wypadkowa. Przeciwnie do ruchu samochodu działa też opór powietrza i opór toczenia opon, więc jezdnia musi pchać samochód przez koła jeszcze trochę mocniej.

Kilka sił naraz

Zwykle na ciało działa kilka sił i wtedy postępuje się zawsze tak samo:

• narysuj siły, które działają na ciało, i wybierz dodatni zwrot,
• dodaj je i otrzymasz wypadkową,
• podziel ją przez masę i otrzymasz przyspieszenie.

Rysuj tylko siły, które działają na ciało, które cię interesuje. Siła, z jaką samochód naciska na jezdnię, nie wchodzi do obliczeń przyspieszenia samochodu, bo działa na jezdnię. Na tym postępowaniu opiera się cała dynamika, w kolejnych artykułach dojdą do niego tylko nowe rodzaje sił.

Nasz samochód z poprzedniego zadania jedzie teraz drogą powiatową, a kierowca dodaje gazu. Jezdnia pcha go przez koła do przodu siłą F₁ = 3000 N, opór powietrza i opór toczenia hamują go siłą F₂ = 600 N.

Czerwona strzałka to siła ciągu, niebieska opór, a zielona wypadkowa, wszystkie w tej samej skali. W pionie na samochód działa jeszcze siła ciężkości w dół, a jezdnia pcha go siłą o tej samej wartości w górę. Wzajemnie się znoszą, dlatego nie rysujemy ich na obrazku.

Dodatni zwrot wybierzemy zgodnie z kierunkiem jazdy. Siły mają przeciwne zwroty, więc ich wartości się odejmują:

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2400\mathrm{N}$$

Dzielimy przez masę:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Samochód ma przyspieszenie 2 m/s². Częstym błędem jest dzielenie przez masę samej siły ciągu. Wyszłoby 2,5 m/s², a to za dużo, bo w takim obliczeniu zgubiłby się opór powietrza.

To samo postępowanie działa też w innych sytuacjach. Na autostradzie samochód jedzie ze stałą prędkością, opór wynosi tu mniej więcej 600 N, a siła ciągu ma taką samą wartość jak opór, wypadkowa jest zerowa i przyspieszenie też. Gdy kierowca puści gaz, siła ciągu znika i zostaje tylko opór, który ma zwrot przeciwny do dodatniego (hamowanie silnikiem pominiemy):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ujemne przyspieszenie oznacza, że samochód zwalnia.

Postępowanie działa też w drugą stronę, od przyspieszenia z powrotem do siły. Jakiej siły ciągu potrzebuje samochód, żeby mimo oporu 600 N mieć przyspieszenie 2,8 m/s²? Wypadkowa musi wynosić F = m · a = 3360 N, jak obliczyliśmy wyżej. Z zależności dla wypadkowej wyznaczamy siłę ciągu:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Podstawiamy:

$$F_1=3360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3960\mathrm{N}$$

Siła ciągu musi więc sięgnąć prawie czterech kiloniutonów. Kto zapomniałby o oporze, ten miałby samochód rozpędzający się wolniej, niż wyszło z obliczeń.

Dlaczego ciężkie i lekkie ciała spadają tak samo

W spadku swobodnym wszystkie ciała w jednym miejscu mają to samo przyspieszenie g ≈ 9,81 m/s², kamień i klucze. Łatwo więc pomyśleć, że cięższy kamień musi spadać szybciej, bo Ziemia ciągnie go większą siłą. Ciągnie, tyle że cięższy kamień ma jednocześnie większą masę, więc bardziej opiera się zmianie prędkości.

Z jaką siłą Ziemia ciągnie kilogram, pokaże siłomierz: każdy kilogram ciągnie ona siłą około 9,81 N. Siła ciężkości rośnie więc wprost proporcjonalnie do masy:

$$F_g=m\cdot g$$

Liczba g występuje tu jako siła na kilogram, N/kg, a to to samo co m/s². Piłkę o masie 0,5 kg Ziemia ciągnie siłą około 4,9 N, kulę do kręgli o masie 5 kg siłą dziesięć razy większą, około 49 N. Kula ma jednak też dziesięć razy większą masę:

$$a=\frac{F_g}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Dziesięć razy większa siła, dziesięć razy większa masa, to samo przyspieszenie. Ogólnie $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, masa się skraca.

Masa odgrywa tu podwójną rolę: określa, jak mocno Ziemia ciągnie ciało, i zarazem, jak bardzo ciało opiera się zmianie prędkości. To, że w obu rolach występuje ta sama liczba, nie jest oczywiste; sprawdza się to pomiarami i zachodzi z ogromną dokładnością. Dzięki temu młotek spada tak samo jak gwóźdź.

W powietrzu dochodzi opór skierowany w górę, a wypadkowa to siła ciężkości pomniejszona o opór. Przy kamieniu opór jest w porównaniu z siłą ciężkości pomijalny, przy piórku, które prawie nic nie waży, zabiera z siły ciężkości prawie wszystko. Dlatego piórko na Ziemi szybuje, a kamień spada. Opór powietrza zależy od kształtu i prędkości ciała, a nie od jego masy. Kulki tej samej wielkości ze stali i ze styropianu powietrze hamuje przy tej samej prędkości tak samo. Im większa jednak masa, tym mniej opór odejmuje od przyspieszenia, więc stalowej kulce zabiera tylko znikomą część, a styropianową wyraźnie przyhamowuje.

Dlaczego oparcie pcha nas w plecy

Gdy samochód gwałtownie rusza, czujesz, jak oparcie pcha cię w plecy. To jest ta siła, która nadaje ci takie samo przyspieszenie jak samochodowi, i teraz umiemy ją obliczyć. Pasażerka ma masę 60 kg. W samochodzie rodzinnym z przyspieszeniem 2,8 m/s² oparcie pcha ją siłą

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

W samochodzie sportowym z przyspieszeniem 9,3 m/s² to już

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Dla porównania, od spodu siedzisko podpiera ją siłą równą sile ciężkości, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Oparcie pcha więc w plecy prawie tak samo mocno jak siedzisko od spodu, i dlatego mówimy o przeciążeniu prawie 1g w kierunku poziomym. Stosunek obu sił jest taki sam jak stosunek przyspieszeń $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, masa pasażerki znów się skraca.

Druga zasada mówi więc, co siła zrobi z ciałem. Zostaje pytanie, skąd siły się biorą i na kogo działają. Gdy pchasz wózek, czujesz, że wózek naciska z powrotem na twoją rękę. Tym zajmuje się trzecia zasada dynamiki Newtona.

Jak działają siły występujące w parach, pokaże następny artykuł, Trzecia zasada dynamiki Newtona.