Newtonin toinen laki

Kaupassa vierekkäin odottaa kaksi ostoskärryä. Toinen on tyhjä ja sen massa on 10 kg, toinen on täynnä vettä ja säilykkeitä ja sen massa on 25 kg. Työnnät molempia yhtä kovaa, 50 N:n voimalla. Tyhjä kärry lähtee kuin ammuttu, täysi vain laiskasti vähän liikkeelle. Kuinka paljon tarkalleen, kertoo Newtonin toinen laki, jota sanotaan myös dynamiikan peruslaiksi. Pyörien kitka jätetään yksinkertaisuuden vuoksi huomiotta.

Molemmat kärryt lähtevät levosta, ja oranssit merkit näyttävät niiden etuosan paikan tasaisin aikavälein. Molemmilla välit kasvavat, joten molemmat kiihtyvät. Tyhjä kärry kulkee kuitenkin samassa ajassa kaksi ja puoli kertaa pitemmän matkan kuin täysi, koska sen kiihtyvyys on kaksi ja puoli kertaa suurempi. Voimien nuolet ovat molemmilla kärryillä yhtä pitkät. Eron tekee vain lasti.

Dynamiikan peruslaki

Isaac Newton kirjoitti sen vuonna 1687 suunnilleen näin:

Liikkeen muutos on verrannollinen vaikuttavaan voimaan ja tapahtuu sen suoran suunnassa, jossa voima vaikuttaa.

Massa puuttuu tästä vain näennäisesti. Liikkeellä Newton tarkoitti massan ja nopeuden tuloa, joten massa on siinä piilossa.

Nykykielellä: mitä suurempi voima kappaleeseen vaikuttaa, sitä suurempi on sen kiihtyvyys, ja mitä suurempi on sen massa, sitä pienempi kiihtyvyys:

$$a=\frac{F}{m}$$

Jos voima kaksinkertaistetaan, myös kiihtyvyys kaksinkertaistuu. Jos massa kaksinkertaistetaan, kiihtyvyys puolittuu. Useammin laki kirjoitetaan massalla kerrottuna:

$$F=m\cdot a$$

Sekä voima että kiihtyvyys ovat vektoreita, joten täydellinen merkintä on $\overline{F}=m\cdot \overline{a}$. Kiihtyvyys osoittaa aina samaan suuntaan kuin voima. Jos työnnät kärryä eteenpäin, sen kiihtyvyys on eteenpäin. Jos vedät sitä taaksepäin, sen kiihtyvyys on taaksepäin, ja jos se kulki eteenpäin, se hidastuu.

Yksi asia kannattaa muistaa: $\overline{F}$ on kaikkien kappaleeseen vaikuttavien voimien resultantti, ei vain se, jonka huomaa ensimmäisenä. Kun resultantti on nolla, myös kiihtyvyys on nolla ja kappale on paikallaan tai liikkuu tasaisesti suoraviivaisesti. Juuri tämän sanoo Newtonin ensimmäinen laki, ja toinen laki sisältää sen erikoistapauksena.

Palataan kärryihin ja lasketaan niiden kiihtyvyydet. Aloitetaan tyhjästä:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ja täysi:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Miksi tulokseksi tuli metriä sekunnin neliötä kohti, selitetään hetken päästä. Kiihtyvyys 5 m/s² tarkoittaa, että tyhjän kärryn nopeus kasvaa joka sekunti 5 m/s, täyden vain 2 m/s. Täyden kärryn massa on kaksi ja puoli kertaa suurempi, joten sen kiihtyvyys on kaksi ja puoli kertaa pienempi. Jos työntäisit tyhjää kärryä kaksi kertaa kovempaa, 100 N:n voimalla, sen kiihtyvyys olisi kaksinkertainen, 10 m/s².

Kärryä ei kuitenkaan kukaan työnnä pitkään. Kun työnnät puoli sekuntia, tyhjä kärry saavuttaa nopeuden 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, täysi vain nopeuden 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Massa hitauden mittana

Kappale jatkaa nopeudellaan, kunnes voima pakottaa sen muuttamaan sitä. Sitä sanotaan hitaudeksi. Toinen laki lisää siihen luvun: mitä suurempi massa, sitä enemmän kappale vastustaa nopeuden muutosta. Massa on hitauden mitta.

Siksi tyhjän kärryn saa liikkeelle yhdellä sormella, mutta liikkuvan täyden kärryn pysäyttäminen vaatii ponnistelua. Samasta syystä rekka lähtee liikkeelle liikennevaloista hitaammin kuin henkilöauto, vaikka sen moottori on paljon tehokkaampi.

Suuremman kappaleen massa ei välttämättä ole suurempi. Rantalentopallo on suurempi kuin keilapallo, mutta keilapalloa et haluaisi potkaista. Keilapallon massa on nimittäin paljon suurempi, joten yhtä voimakas potku saa sen vain vähän liikkeelle ja jalka pysähtyy siihen.

Hitaudesta ei pääse eroon edes siellä, missä asioilla ei ole painoa. Astronautti nostaa avaruusasemalla yhdellä kädellä sadan kilon laatikon, koska laatikko ja asema putoavat yhdessä Maan ympäri ja laatikko leijuu painottomuudessa. Heti kun hän haluaa saada laatikon liikkeelle tai pysäyttää sen asemalla, hänen täytyy ponnistaa samoin kuin Maassa. Laatikon massa on yhä 100 kg ja sen hitaus on sama.

Mistä newton tuli

Voiman yksikkö on newton, N = kg·m/s². Miksi juuri tämä, selittää toinen laki, jonka mukaan newton on määritelty: yksi newton on voima, joka antaa kappaleelle, jonka massa on 1 kg, kiihtyvyyden 1 m/s². Sijoitetaan lausekkeeseen F = m · a:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Tästä seuraa myös kärryjen kiihtyvyyden yksikkö. Jaetaan newton kilogrammalla:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kilogrammat supistuvat pois ja jäljelle jää metriä sekunnin neliötä kohti.

Kuinka suuri yksi newton on? Suunnilleen sen verran kuin pieni omena kädessäsi. Aseta täysin sileälle jäälle litran vesipullo, jonka massa on noin 1 kg, ja vedä sitä koko ajan samalla voimalla 1 N. Pullo kiihtyy koko ajan: sekunnin kuluttua se kulkee nopeudella 1 m/s, kahden kuluttua nopeudella 2 m/s. Vakiovoima ei pidä nopeutta vakiona vaan muuttaa sitä jatkuvasti.

Millä voimalla auto lähtee liikkeelle

Perheauton massa on 1 200 kg ja se kiihtyy nollasta nopeuteen 100 km/h kymmenessä sekunnissa, joten sen kiihtyvyys on noin 2,8 m/s². Kuinka suuren kokonaisvoiman täytyy siihen vaikuttaa?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Kaava on jo ratkaistuna, joten sijoitetaan suoraan:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3360\mathrm{N}\end{array}$$

Yksiköt täsmäävät: kilogramma kertaa metri sekunnin neliötä kohti on newton. Autoon täytyy vaikuttaa noin 3 360 N:n kokonaisvoima, siis yli kolmen kilonewtonin. Huomaa sana kokonaisvoima. Auton liikettä vastaan vaikuttavat myös ilmanvastus ja renkaiden vierimisvastus, joten tien täytyy työntää autoa pyörien kautta vielä hieman enemmän.

Useita voimia yhtä aikaa

Yleensä kappaleeseen vaikuttaa useita voimia, ja silloin edetään aina samalla tavalla:

• piirrä voimat, jotka vaikuttavat kappaleeseen, ja valitse positiivinen suunta,
• laske ne yhteen, jolloin saat resultantin,
• jaa se massalla, jolloin saat kiihtyvyyden.

Piirrä vain voimat, jotka vaikuttavat kappaleeseen, josta olet kiinnostunut. Voima, jolla auto painaa tietä, ei kuulu auton kiihtyvyyden laskuun, sillä se vaikuttaa tiehen. Koko dynamiikka nojaa tähän menettelyyn, ja seuraavissa artikkeleissa siihen tulee vain uusia voimalajeja.

Edellisen esimerkin auto ajaa nyt maantiellä ja kuljettaja painaa kaasua. Tie työntää sitä pyörien kautta eteenpäin voimalla F₁ = 3 000 N, ilmanvastus ja vierimisvastus jarruttavat sitä voimalla F₂ = 600 N.

Punainen nuoli on vetovoima, sininen vastus ja vihreä resultantti, kaikki samassa mittakaavassa. Pystysuunnassa autoon vaikuttavat vielä paino alaspäin ja tien yhtä suuri tukivoima ylöspäin. Ne kumoavat toisensa, joten niitä ei piirretä kuvaan.

Positiivinen suunta valitaan ajosuunnaksi. Voimat ovat vastakkaissuuntaiset, joten niiden suuruudet vähennetään toisistaan:

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2400\mathrm{N}$$

Jaetaan massalla:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Auton kiihtyvyys on 2 m/s². Yleinen virhe on jakaa massalla pelkkä vetovoima. Tulokseksi tulisi 2,5 m/s², ja se on liikaa, koska ilmanvastus hukkuisi laskusta.

Sama menettely toimii muissakin tilanteissa. Moottoritiellä auto ajaa tasaista vauhtia, vastus on noin 600 N ja vetovoima on yhtä suuri kuin vastus, joten resultantti on nolla ja kiihtyvyyskin. Kun kuljettaja päästää kaasun, vetovoima katoaa ja jäljelle jää vain vastus, joka osoittaa positiivista suuntaa vastaan (moottorijarrutus jätetään huomiotta):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Negatiivinen kiihtyvyys tarkoittaa, että auto hidastuu.

Menettely toimii myös toiseen suuntaan, kiihtyvyydestä takaisin voimaan. Kuinka suurta vetovoimaa auto tarvitsee, jotta sen kiihtyvyys olisi 2,8 m/s², vaikka vastus on 600 N? Resultantin täytyy olla F = m · a = 3 360 N, kuten aiemmin laskettiin. Resultantin lausekkeesta ratkaistaan vetovoima:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Sijoitetaan:

$$F_1=3360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3960\mathrm{N}$$

Vetovoiman täytyy siis olla lähes neljä kilonewtonia. Jos vastuksen unohtaisi, auto kiihtyisi hitaammin kuin laskussa tuli.

Miksi raskas ja kevyt putoavat yhtä nopeasti

Vapaassa pudotuksessa kaikilla kappaleilla on samassa paikassa sama kiihtyvyys g ≈ 9,81 m/s², niin kivellä kuin avaimilla. Ihminen päätyy helposti olettamaan, että raskaamman kiven täytyy pudota nopeammin, koska Maa vetää sitä suuremmalla voimalla. Vetää kyllä, mutta raskaammalla kivellä on myös suurempi massa, ja siksi se vastustaa nopeuden muutosta enemmän.

Kuinka paljon kilogramma painaa, näyttää dynamometri: Maa vetää jokaista kilogrammaa noin 9,81 N:n voimalla. Paino kasvaa siis suoraan verrannollisena massaan:

$$G=m\cdot g$$

Luku g esiintyy tässä voimana kilogrammaa kohti, N/kg, ja se on sama asia kuin m/s². Palloa, jonka massa on 0,5 kg, Maa vetää noin 4,9 N:n voimalla, keilapalloa, jonka massa on 5 kg, kymmenen kertaa suuremmalla voimalla, noin 49 N:lla. Keilapallon massa on kuitenkin myös kymmenkertainen:

$$a=\frac{G}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kymmenen kertaa suurempi voima, kymmenen kertaa suurempi massa, sama kiihtyvyys. Yleisesti $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, massa supistuu pois.

Massalla on kaksi tehtävää: se määrää, kuinka voimakkaasti Maa vetää kappaletta, ja samalla sen, kuinka paljon kappale vastustaa nopeuden muutosta. Se, että molemmissa tehtävissä on sama luku, ei ole itsestäänselvyys; se tarkistetaan mittaamalla ja se pätee valtavalla tarkkuudella. Siksi vasara putoaa samalla tavalla kuin naula.

Ilmassa mukaan tulee ylöspäin osoittava vastus, ja resultantti on paino vähennettynä vastuksella. Kiven kohdalla vastus on painoon verrattuna mitätön, mutta höyheneltä, joka ei juuri paina mitään, se vie lähes koko painon. Siksi höyhen leijailee maan päällä ja kivi putoaa. Ilmanvastus riippuu kappaleen muodosta ja nopeudesta, ei sen massasta. Yhtä suuria teräs- ja styroksipalloja ilma jarruttaa samalla nopeudella yhtä paljon. Mitä suurempi massa on, sitä vähemmän vastus kuitenkin vie kiihtyvyydestä, joten teräspallolta se vie vain vähän, mutta styroksipalloa se jarruttaa selvästi.

Miksi istuin painaa selkään

Kun auto lähtee äkisti liikkeelle, tunnet, miten selkänoja painaa selkääsi. Se on voima, joka antaa sinulle saman kiihtyvyyden kuin autolle, ja nyt sen osaa laskea. Matkustajan massa on 60 kg. Perheautossa, jonka kiihtyvyys on 2,8 m/s², selkänoja painaa häntä voimalla

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

Urheiluautossa, jonka kiihtyvyys on 9,3 m/s², voima on jo

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Vertailun vuoksi alapuolelta istuin tukee häntä painon suuruisella voimalla, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Selkänoja painaa selkää siis lähes yhtä voimakkaasti kuin istuin alhaalta, ja siksi puhutaan lähes 1g:n g-voimasta vaakasuunnassa. Voimien suhde on sama kuin kiihtyvyyksien suhde $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, matkustajan massa supistuu taas pois.

Toinen laki kertoo siis, mitä voima kappaleelle tekee. Jäljelle jää kysymys, mistä voimat tulevat ja mihin ne vaikuttavat. Kun työnnät kärryä, tunnet, että kärry työntää takaisin kättäsi vasten. Tätä käsittelee Newtonin kolmas laki.

Miten voimat toimivat pareittain, selviää seuraavassa artikkelissa, Newtonin kolmas laki.