Newtons andra lag

I mataffären står två kundvagnar bredvid varandra. Den ena är tom och har massan 10 kg, den andra är lastad med vatten och konserver och har 25 kg. Du knuffar till båda lika hårt, med kraften 50 N. Den tomma vagnen far iväg som ett skott, den fulla kommer bara trögt i gång. Exakt hur mycket avslöjar Newtons andra lag, som också kallas kraftlagen. För enkelhetens skull bortser vi från hjulens friktion.

Båda vagnarna startar från vila och de orange markeringarna visar positionen för deras framkant med jämna tidsintervall. Hos båda blir mellanrummen längre, så båda accelererar. Men den tomma vagnen hinner på samma tid två och en halv gånger längre sträcka än den fulla, eftersom dess acceleration är två och en halv gånger större. Kraftpilarna är lika långa för båda vagnarna. Det är bara lasten som gör skillnaden.

Kraftlagen

Isaac Newton skrev ner den 1687 ungefär så här:

Rörelsens förändring är proportionell mot den verkande kraften och sker längs den räta linje i vilken kraften verkar.

Massan saknas bara till synes. Med rörelse menade Newton produkten av massa och hastighet, så massan finns gömd i den.

På dagens språk: ju större kraft som verkar på ett föremål, desto större acceleration får det, och ju större massa det har, desto mindre acceleration:

$$a=\frac{F}{m}$$

Om vi fördubblar kraften fördubblas också accelerationen. Om vi fördubblar massan halveras accelerationen. Oftare skrivs lagen multiplicerad med massan:

$$F=m\cdot a$$

Kraft och acceleration är vektorer, så den fullständiga skrivningen är $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. Accelerationen pekar alltid åt samma håll som kraften. Om du knuffar en vagn framåt får den acceleration framåt. Om du drar den bakåt får den acceleration bakåt, och om den rullade framåt saktar den ner.

En sak ska du se upp med: $\overrightarrow{F}$ är resultanten av alla krafter som verkar på föremålet, inte bara den vi lägger märke till först. När resultanten är noll är också accelerationen noll och föremålet står still eller rör sig likformigt rätlinjigt. Precis det säger Newtons första lag, och den andra innehåller den som ett specialfall.

Låt oss gå tillbaka till vagnarna och räkna ut deras acceleration. Vi börjar med den tomma:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Och den fulla:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Varför vi fick meter per sekund i kvadrat förklarar vi snart. Accelerationen 5 m/s² betyder att den tomma vagnens hastighet ökar med 5 m/s varje sekund, den fullas bara med 2 m/s. Den fulla vagnen har två och en halv gånger större massa, så dess acceleration är två och en halv gånger mindre. Om du knuffade den tomma vagnen dubbelt så hårt, med kraften 100 N, skulle den få dubbelt så stor acceleration, 10 m/s².

Ingen knuffar dock en vagn särskilt länge. Om du knuffar i en halv sekund får den tomma vagnen farten 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, den fulla bara 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Massa som mått på tröghet

Ett föremål behåller sin hastighet tills en kraft tvingar det att ändra den. Det kallas tröghet. Den andra lagen sätter ett tal på den: ju större massa, desto mer motsätter sig föremålet en hastighetsändring. Massa är ett mått på tröghet.

Därför kan du sätta den tomma vagnen i rörelse med ett finger, medan det är jobbigt att stoppa en full vagn i fart. Samma orsak ligger bakom att en lastbil kommer långsammare i gång från ett trafikljus än en personbil, trots att den har en mycket starkare motor.

Ett större föremål behöver inte ha större massa. En beachvolleyboll är större än ett bowlingklot, men du skulle inte vilja sparka på klotet. Klotet har nämligen mycket större massa, så en lika kraftig spark sätter det bara svagt i rörelse och foten tar tvärstopp.

Vi blir inte av med trögheten ens där saker inte väger något. En astronaut på en rymdstation lyfter en hundrakilos låda med en hand, eftersom lådan och stationen faller tillsammans runt Jorden och lådan svävar i tyngdlöshet. Men när lådan ska sättas i rörelse eller stoppas inne i stationen krävs lika mycket kraft som på Jorden. Lådan har fortfarande massan 100 kg och samma tröghet.

Varifrån newton kommer

Enheten för kraft är newton, N = kg·m/s². Varför det blir just så förklarar den andra lagen, som newton definieras utifrån: en newton är den kraft som ger ett föremål med massan 1 kg accelerationen 1 m/s². Vi sätter in i F = m · a:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Av det följer också enheten för acceleration i exemplet med vagnarna. Vi dividerar newton med kilogram:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kilogrammen förkortas bort och kvar blir meter per sekund i kvadrat.

Hur stor är en newton? Ungefär som när du håller ett litet äpple i handen. Ställ en literflaska vatten med massan ungefär 1 kg på alldeles slät is och dra i den hela tiden med samma kraft 1 N. Flaskan accelererar hela tiden: efter en sekund rör den sig med 1 m/s, efter två med 2 m/s. En konstant kraft ger inte konstant hastighet utan ändrar den hela tiden.

Med vilken kraft accelererar en bil

En familjebil med massan 1200 kg accelererar från noll till 100 km/h på tio sekunder, så accelerationen är ungefär 2,8 m/s². Hur stor resulterande kraft måste verka på bilen för det?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Formeln behöver inte skrivas om, så vi sätter in direkt:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3360\mathrm{N}\end{array}$$

Enheterna stämmer: kilogram gånger meter per sekund i kvadrat är newton. På bilen måste en resulterande kraft på ungefär 3360 N verka, alltså över tre kilonewton. Lägg märke till ordet resulterande. Mot bilens rörelse verkar också luftmotstånd och däckens rullmotstånd, så vägen måste skjuta bilen framåt via hjulen med lite mer kraft.

Flera krafter samtidigt

Oftast verkar flera krafter på ett föremål, och då gör man alltid på samma sätt:

• rita de krafter som verkar på föremålet och välj positiv riktning,
• addera dem så får du resultanten,
• dividera den med massan så får du accelerationen.

Rita bara de krafter som verkar på det föremål du är intresserad av. Kraften som bilen trycker på vägen med hör inte till beräkningen av bilens acceleration, den verkar på vägen. På detta förfarande vilar hela dynamiken. I de följande artiklarna tillkommer bara nya sorters krafter.

Vår bil från föregående exempel kör nu på en landsväg och föraren ger gas. Vägen skjuter den framåt via hjulen med kraften F₁ = 3000 N, luftmotstånd och rullmotstånd bromsar den med kraften F₂ = 600 N.

Den röda pilen är drivkraften, den blå motståndet och den gröna resultanten, alla i samma skala. I lodrät led verkar dessutom tyngdkraften nedåt på bilen, och vägen trycker den uppåt med lika stor kraft. De tar ut varandra, därför ritar vi inte in dem.

Vi väljer färdriktningen som positiv riktning. Krafterna har motsatta riktningar, så deras storlekar subtraheras:

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2400\mathrm{N}$$

Vi dividerar med massan:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Bilen har accelerationen 2 m/s². Ett vanligt fel är att bara dividera drivkraften med massan. Då skulle det bli 2,5 m/s² och det är för mycket, eftersom luftmotståndet försvinner i en sådan beräkning.

Samma metod fungerar i andra situationer. På motorvägen åker bilen med konstant fart, motståndet är här ungefär 600 N och drivkraften är lika stor som motståndet, resultanten är noll och accelerationen också. När föraren släpper gasen försvinner drivkraften och bara motståndet återstår, som pekar i motsatt riktning mot den positiva (vi bortser från motorbromsning):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Negativ acceleration betyder att bilen saktar ner.

Metoden fungerar också åt andra hållet, från acceleration tillbaka till kraft. Hur stor drivkraft behöver bilen för att få accelerationen 2,8 m/s² trots motståndet 600 N? Resultanten måste vara F = m · a = 3360 N, som vi räknade ut tidigare. Ur sambandet för resultanten löser vi ut drivkraften:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Vi sätter in:

$$F_1=3360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3960\mathrm{N}$$

Drivkraften måste alltså nå nästan fyra kilonewton. Den som glömmer motståndet får en bil som accelererar långsammare än beräkningen visar.

Varför tunga och lätta föremål faller lika

I fritt fall har alla föremål på samma plats samma acceleration g ≈ 9,81 m/s², både en sten och nycklar. Det är lockande att tro att en tyngre sten måste falla snabbare, eftersom Jorden drar i den med större kraft. Det gör den, men den tyngre stenen har samtidigt större massa och motsätter sig därför mer en hastighetsändring.

Hur mycket ett kilogram väger visar en dynamometer: Jorden drar i varje kilogram med kraften ungefär 9,81 N. Tyngdkraften är alltså direkt proportionell mot massan:

$$F_g=m\cdot g$$

Talet g uppträder här som kraft per kilogram, N/kg, och det är samma sak som m/s². En boll med massan 0,5 kg dras av Jorden med kraften ungefär 4,9 N, ett bowlingklot med massan 5 kg med tio gånger så stor kraft, ungefär 49 N. Men klotet har också tio gånger så stor massa:

$$a=\frac{F_g}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Tio gånger så stor kraft, tio gånger så stor massa, samma acceleration. Allmänt är $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, massan förkortas bort.

Massan spelar en dubbel roll: den bestämmer hur kraftigt Jorden drar i föremålet och samtidigt hur mycket föremålet motsätter sig en hastighetsändring. Att samma tal uppträder i båda rollerna är inte självklart. Det har kontrollerats med mätningar och gäller med enorm noggrannhet. Därför faller en hammare lika snabbt som en spik.

I luft tillkommer ett motstånd som pekar uppåt, och resultanten är tyngdkraften minskad med motståndet. För en sten är luftmotståndet försumbart jämfört med tyngdkraften, för en fjäder, som nästan ingenting väger, äter det upp nästan hela tyngdkraften. Därför seglar fjädern ner på Jorden medan stenen faller. Luftmotståndet beror på föremålets form och hastighet, inte på dess massa. Lika stora kulor av stål och av frigolit bromsas av luften lika mycket vid samma hastighet. Men ju större massa, desto mindre tar motståndet av accelerationen, så stålkulan förlorar bara en obetydlig del, medan frigolitkulan bromsas märkbart.

Varför sätet trycker oss i ryggen

När bilen rivstartar känner du hur ryggstödet trycker dig i ryggen. Det är den kraft som ger dig samma acceleration som bilen, och nu kan vi räkna ut den. En medpassagerare har massan 60 kg. I familjebilen med accelerationen 2,8 m/s² trycker ryggstödet henne i ryggen med kraften

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

I en sportbil med accelerationen 9,3 m/s² blir det redan

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Som jämförelse stöder sätet henne underifrån med en kraft lika stor som tyngdkraften, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Ryggstödet trycker alltså i ryggen nästan lika hårt som sätet underifrån, och därför talar vi om en g-kraft på nästan 1g i vågrät led. Förhållandet mellan de två krafterna är detsamma som förhållandet mellan accelerationerna $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, och medpassagerarens massa förkortas åter bort.

Den andra lagen säger alltså vad en kraft gör med ett föremål. Kvar är frågan var krafterna kommer ifrån och på vem de verkar. När du knuffar en vagn känner du att vagnen trycker tillbaka på din hand. Det handlar Newtons tredje lag om.

Hur krafter fungerar i par visar nästa artikel, Newtons tredje lag.