Segunda ley de Newton

En el supermercado esperan dos carritos, uno junto a otro. Uno está vacío y tiene una masa de 10 kg; el otro, cargado de agua y conservas, tiene 25 kg. Empujas los dos con la misma fuerza, 50 N. El carrito vacío sale disparado; el lleno apenas se mueve con desgana. Cuánto exactamente lo revela la segunda ley de Newton, que también se llama ley fundamental de la dinámica. Para simplificar, despreciaremos el rozamiento de las ruedas.

Los dos carritos parten del reposo y las marcas naranjas indican la posición de su parte delantera a intervalos regulares de tiempo. En ambos casos los espacios entre marcas se alargan, así que los dos tienen aceleración. Pero el carrito vacío recorre en el mismo tiempo una distancia dos veces y media mayor que el lleno, porque su aceleración es dos veces y media mayor. Las flechas de la fuerza tienen en los dos carritos la misma longitud. La diferencia la marca solo la carga.

La ley fundamental

Isaac Newton la escribió en 1687 más o menos así:

El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

La masa falta solo en apariencia. Por «movimiento» Newton entendía el producto de la masa por la velocidad, así que la masa está escondida ahí.

En lenguaje actual: cuanto mayor es la fuerza que actúa sobre un cuerpo, mayor es su aceleración, y cuanto mayor es su masa, menor es la aceleración:

$$a=\frac{F}{m}$$

Si duplicamos la fuerza, la aceleración también se duplica. Si duplicamos la masa, la aceleración se reduce a la mitad. Con más frecuencia la ley se escribe multiplicada por la masa:

$$F=m\cdot a$$

La fuerza y la aceleración son vectores, así que la forma completa es $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. La aceleración tiene siempre la misma dirección y el mismo sentido que la fuerza. Si empujas el carrito hacia delante, tiene aceleración hacia delante. Si tiras de él hacia atrás, tiene aceleración hacia atrás y, si iba hacia delante, frena.

Fíjate en una cosa: $\overrightarrow{F}$ es la fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, no solo de la que notamos primero. Cuando la resultante es nula, la aceleración también es nula y el cuerpo está en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo uniforme. Eso es justo lo que dice la primera ley de Newton; la segunda la contiene como caso particular.

Volvamos a los carritos y calculemos sus aceleraciones. Empezamos por el vacío:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Y ahora el lleno:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Por qué nos han salido metros por segundo al cuadrado lo explicaremos enseguida. Una aceleración de 5 m/s² significa que la velocidad del carrito vacío aumenta cada segundo en 5 m/s, y la del lleno solo en 2 m/s. El carrito lleno tiene una masa dos veces y media mayor, así que su aceleración es dos veces y media menor. Si empujaras el carrito vacío el doble de fuerte, con 100 N, tendría el doble de aceleración, 10 m/s².

Claro que nadie empuja un carrito durante mucho tiempo. Si empujas durante medio segundo, el carrito vacío alcanza una velocidad de 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s y el lleno solo 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

La masa como medida de la inercia

Un cuerpo conserva su velocidad hasta que una fuerza lo obliga a cambiarla. A esto se le llama inercia. La segunda ley le añade un número: cuanto mayor es la masa, más se resiste el cuerpo a cambiar de velocidad. La masa es la medida de la inercia.

Por eso el carrito vacío se pone en marcha con un solo dedo, mientras que detener un carrito lleno ya en movimiento cuesta lo suyo. Por la misma razón un camión arranca en un semáforo más despacio que un turismo, aunque tenga un motor mucho más potente.

Además, un cuerpo más grande no tiene por qué tener más masa. Una pelota de vóley playa es más grande que una bola de bolera, pero a nadie le apetecería darle una patada a la bola. La bola tiene mucha más masa, así que una patada igual de fuerte apenas la mueve y el pie se detiene contra ella.

Tampoco nos libramos de la inercia donde las cosas no pesan. Un astronauta en una estación espacial levanta con una mano una caja de cien kilos, porque la caja y la estación caen juntas alrededor de la Tierra y la caja flota en la ingravidez. Pero en cuanto quiere ponerla en movimiento por la estación o detenerla, tiene que empujar igual que en la Tierra. La caja sigue teniendo una masa de 100 kg y la misma inercia.

De dónde sale el newton

La unidad de fuerza es el newton, N = kg·m/s². Por qué precisamente esta lo explica la segunda ley, según la cual se define el newton: un newton es la fuerza que comunica a un cuerpo de masa 1 kg una aceleración de 1 m/s². Sustituimos en F = m · a:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

De aquí se deduce también la unidad de la aceleración en los carritos. Dividimos el newton entre el kilogramo:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Los kilogramos se simplifican y quedan metros por segundo al cuadrado.

¿Cómo de grande es un newton? Más o menos como sostener en la mano una manzana pequeña. Coloca sobre un hielo perfectamente liso una botella de agua de un litro, de masa aproximada 1 kg, y tira de ella siempre con la misma fuerza de 1 N. La botella acelera todo el tiempo: al cabo de un segundo irá a 1 m/s, al cabo de dos a 2 m/s. Una fuerza constante no mantiene la velocidad constante, sino que la cambia continuamente.

Con qué fuerza arranca un coche

Un coche familiar de masa 1200 kg acelera de cero a 100 km/h en diez segundos, es decir, tiene una aceleración de unos 2,8 m/s². ¿Qué fuerza resultante debe actuar sobre el coche para ello?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

La fórmula ya está despejada, así que sustituimos directamente:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3360\mathrm{N}\end{array}$$

Las unidades cuadran: kilogramo por metro por segundo al cuadrado es newton. Sobre el coche debe actuar una fuerza resultante de unos 3360 N, es decir, más de tres kilonewtons. Fíjate en la palabra resultante. En contra del movimiento del coche actúan también la resistencia del aire y la resistencia a la rodadura de los neumáticos, así que la carretera tiene que empujar el coche a través de las ruedas algo más todavía.

Varias fuerzas a la vez

Casi siempre actúan sobre un cuerpo varias fuerzas, y entonces se procede siempre igual:

• dibuja las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y elige un sentido positivo,
• súmalas y obtendrás la resultante,
• divídela entre la masa y obtendrás la aceleración.

Dibuja solo las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que te interesa. La fuerza con la que el coche empuja la carretera no entra en el cálculo de la aceleración del coche, porque actúa sobre la carretera. Toda la dinámica se apoya en este procedimiento; en los siguientes artículos solo se añadirán nuevos tipos de fuerzas.

Nuestro coche del ejemplo anterior circula ahora por una carretera comarcal y el conductor pisa el acelerador. La carretera lo empuja hacia delante a través de las ruedas con una fuerza F₁ = 3000 N, y la resistencia del aire y la resistencia a la rodadura lo frenan con una fuerza F₂ = 600 N.

La flecha roja es la tracción, la azul la resistencia y la verde la resultante, todas a la misma escala. En vertical actúan además sobre el coche el peso, hacia abajo, y la carretera, que lo empuja hacia arriba con una fuerza igual. Se anulan entre sí, por eso no las dibujamos en la figura.

Elegimos como sentido positivo el de la marcha. Las fuerzas tienen sentidos contrarios, así que sus módulos se restan:

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2400\mathrm{N}$$

Dividimos entre la masa:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

El coche tiene una aceleración de 2 m/s². Un error frecuente es dividir entre la masa solo la tracción. Saldrían 2,5 m/s², que es demasiado, porque la resistencia del aire se perdería en ese cálculo.

El mismo procedimiento sirve para otras situaciones. En la autovía el coche va a velocidad constante, la resistencia es de unos 600 N y la tracción es igual de grande que la resistencia, así que la resultante es nula y la aceleración también. Cuando el conductor suelta el acelerador, la tracción desaparece y solo queda la resistencia, que apunta en contra del sentido positivo (despreciamos el freno motor):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

La aceleración negativa significa que el coche frena.

El procedimiento funciona también en sentido contrario, de la aceleración de vuelta a la fuerza. ¿Cuánta tracción necesita el coche para tener, incluso con la resistencia de 600 N, una aceleración de 2,8 m/s²? La resultante debe ser F = m · a = 3360 N, como hemos calculado antes. De la relación de la resultante despejamos la tracción:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Sustituimos:

$$F_1=3360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3960\mathrm{N}$$

La tracción debe alcanzar casi cuatro kilonewtons. Quien se olvidara de la resistencia vería que su coche arranca más despacio de lo que salió en el cálculo.

Por qué los cuerpos pesados y los ligeros caen igual

En caída libre todos los cuerpos tienen en un mismo lugar la misma aceleración g ≈ 9,81 m/s², una piedra igual que unas llaves. Es fácil pensar que la piedra, más pesada, debería caer más deprisa, porque la Tierra tira de ella con más fuerza. Tira, sí, pero la piedra más pesada tiene también más masa y se resiste más a cambiar de velocidad.

Cuánta fuerza supone un kilogramo lo muestra un dinamómetro: la Tierra atrae cada kilogramo con una fuerza de unos 9,81 N. El peso, por tanto, crece en proporción directa a la masa:

$$P=m\cdot g$$

El número g aparece aquí como fuerza por kilogramo, N/kg, y eso es lo mismo que m/s². A una pelota de masa 0,5 kg la Tierra la atrae con una fuerza de unos 4,9 N, y a una bola de bolera de masa 5 kg con una fuerza diez veces mayor, de unos 49 N. Pero la bola tiene también diez veces más masa:

$$a=\frac{P}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Fuerza diez veces mayor, masa diez veces mayor, la misma aceleración. En general $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$: la masa se simplifica.

La masa desempeña un doble papel: determina con qué fuerza atrae la Tierra al cuerpo y, a la vez, cuánto se resiste el cuerpo a cambiar de velocidad. Que en los dos papeles aparezca el mismo número no es evidente; se comprueba midiendo y se cumple con una precisión enorme. Gracias a ello, un martillo cae igual que un clavo.

En el aire aparece además la resistencia, que apunta hacia arriba, y la resultante es el peso disminuido en la resistencia. En una piedra la resistencia es despreciable frente al peso; en una pluma, que casi no pesa nada, le quita al peso casi todo. Por eso la pluma planea en la Tierra y la piedra cae. La resistencia del aire depende de la forma y de la velocidad del cuerpo, no de su masa. Dos bolitas del mismo tamaño, una de acero y otra de poliestireno, sufren a la misma velocidad la misma resistencia. Pero cuanto mayor es la masa, menos le resta la resistencia a la aceleración: a la bolita de acero le quita solo una parte mínima, mientras que a la de poliestireno la frena de forma notable.

Por qué el asiento nos empuja en la espalda

Cuando el coche arranca de golpe, notas cómo el respaldo te empuja en la espalda. Esa es la fuerza que te comunica la misma aceleración que al coche, y ahora ya sabemos calcularla. Una copiloto tiene una masa de 60 kg. En el coche familiar, con una aceleración de 2,8 m/s², el respaldo la empuja con una fuerza de

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

En un coche deportivo con una aceleración de 9,3 m/s² ya son

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Para comparar, desde abajo el asiento la sostiene con una fuerza igual a su peso, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. El respaldo, por tanto, la empuja en la espalda casi tan fuerte como el asiento desde abajo, y por eso hablamos de una sobrecarga de casi 1g en dirección horizontal. La razón entre las dos fuerzas es igual que la razón entre las aceleraciones, $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, y la masa de la copiloto vuelve a simplificarse.

La segunda ley nos dice, pues, qué hace una fuerza con un cuerpo. Falta la pregunta de dónde salen las fuerzas y sobre quién actúan. Cuando empujas un carrito, notas que el carrito empuja a su vez tu mano. De eso se ocupa la tercera ley de Newton.

Cómo funcionan las fuerzas en parejas lo mostrará el siguiente artículo, Tercera ley de Newton.