Segunda lei de Newton

No supermercado, dois carrinhos de compras esperam lado a lado. Um está vazio e tem massa de 10 kg, o outro está carregado de água e latas e tem 25 kg. Você empurra os dois com a mesma força, de 50 N. O carrinho vazio sai como um tiro, o cheio só se põe em movimento com preguiça. A segunda lei de Newton, também chamada de princípio fundamental da dinâmica, revela quanto exatamente. Para simplificar, desprezamos o atrito das rodinhas.

Os dois carrinhos partem do repouso e as marcas laranja mostram a posição da frente deles em intervalos de tempo regulares. Em ambos os espaçamentos aumentam, então os dois têm aceleração. O carrinho vazio, porém, no mesmo tempo percorre uma distância duas vezes e meia maior que o cheio, porque a aceleração dele é duas vezes e meia maior. As setas da força têm, nos dois carrinhos, o mesmo comprimento. Só a carga faz a diferença.

A lei da força

Isaac Newton a escreveu em 1687 mais ou menos assim:

A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa e se faz na direção da reta segundo a qual essa força é aplicada.

A massa aqui só aparentemente está ausente. Por movimento, Newton entendia o produto da massa pela velocidade, então ela está escondida nele.

Na linguagem de hoje: quanto maior a força que age sobre o corpo, maior é a aceleração dele, e quanto maior é a sua massa, menor a aceleração:

$$a=\frac{F}{m}$$

Se dobramos a força, a aceleração também dobra. Se dobramos a massa, a aceleração cai à metade. Com mais frequência a lei se escreve multiplicada pela massa:

$$F=m\cdot a$$

A força e a aceleração são vetores, então a escrita completa é $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. A aceleração aponta sempre na mesma direção e no mesmo sentido da força. Se você empurra o carrinho para a frente, ele tem aceleração para a frente. Se você o puxa para trás, ele tem aceleração para trás e, se andava para a frente, desacelera.

Atenção a uma coisa: $\overrightarrow{F}$ é a força resultante de todas as forças que agem sobre o corpo, e não só daquela que notamos primeiro. Quando a resultante é nula, a aceleração também é nula e o corpo fica parado ou anda em movimento retilíneo uniforme. É exatamente isso que diz a primeira lei de Newton, a segunda a contém como caso particular.

Voltemos aos carrinhos e calculemos as acelerações deles. Começamos pelo vazio:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

E o cheio:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Daqui a pouco explicaremos por que saíram metros por segundo ao quadrado. A aceleração 5 m/s² significa que a velocidade do carrinho vazio aumenta a cada segundo 5 m/s, a do cheio só 2 m/s. O carrinho cheio tem uma massa duas vezes e meia maior, então a aceleração dele é duas vezes e meia menor. Se você empurrasse o carrinho vazio com o dobro da força, 100 N, ele teria aceleração dupla, 10 m/s².

Ninguém, porém, empurra o carrinho por muito tempo. Quando você empurra por meio segundo, o carrinho vazio sai com 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, o cheio só com 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

A massa como medida da inércia

Um corpo permanece com a sua velocidade até que uma força o obrigue a mudá-la. Isso se chama inércia. A segunda lei acrescenta a ela um número: quanto maior a massa, mais o corpo resiste à mudança de velocidade. A massa é a medida da inércia.

Por isso você põe o carrinho vazio em movimento com um dedo, enquanto parar o carrinho cheio em movimento dá trabalho. O mesmo motivo está por trás de o caminhão arrancar do semáforo mais devagar do que o carro de passeio, embora tenha um motor muito mais forte.

Um corpo maior, aliás, não precisa ter mais massa. Uma bola de vôlei de praia é maior que uma bola de boliche, mas você não ia querer chutar a bola de boliche. Ela tem muito mais massa, então um chute de mesma força apenas a move um pouco e o pé trava nela.

Não nos livramos da inércia nem onde as coisas não pesam nada. O astronauta numa estação espacial levanta com uma mão uma caixa de cem quilos, porque a caixa e a estação caem juntas em torno da Terra e a caixa flutua em ausência de peso. Mas, quando quer pôr a caixa em movimento pela estação ou pará-la, precisa fazer força como na Terra. A caixa continua com massa de 100 kg e a mesma inércia.

De onde veio o newton

A unidade de força é o newton, N = kg·m/s². A segunda lei explica por que exatamente isso, já que o newton é definido por ela: um newton é a força que dá a um corpo de massa 1 kg a aceleração de 1 m/s². Substituímos em F = m · a:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Disso decorre também a unidade da aceleração nos carrinhos. Dividimos o newton pelo quilograma:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Os quilogramas se cancelam e sobram metros por segundo ao quadrado.

Quão grande é um newton? Mais ou menos como quando você segura na mão uma pequena maçã. Ponha sobre um gelo perfeitamente liso uma garrafa de um litro de água, de massa de cerca de 1 kg, e puxe-a sempre com a mesma força de 1 N. A garrafa acelera o tempo todo: depois de um segundo andará a 1 m/s, depois de dois a 2 m/s. A força constante não mantém a velocidade constante, mas a muda o tempo todo.

Com que força um carro arranca

Um carro familiar de massa 1.200 kg acelera de zero a 100 km/h em dez segundos, então tem aceleração de cerca de 2,8 m/s². Que força resultante precisa agir sobre o carro para isso?

$$\begin{array}{rl}m& =1.200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

A fórmula já está pronta, então substituímos direto:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1.200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3.360\mathrm{N}\end{array}$$

As unidades conferem: quilograma vezes metro por segundo ao quadrado é newton. Sobre o carro precisa agir uma força resultante de cerca de 3.360 N, isto é, mais de três quilonewtons. Repare na palavra resultante. Contra o movimento do carro agem também a resistência do ar e a resistência ao rolamento dos pneus, então a estrada precisa empurrar o carro, pelas rodas, ainda um pouco mais.

Várias forças ao mesmo tempo

Na maioria das vezes, sobre o corpo agem várias forças e então se procede sempre do mesmo modo:

• desenhe as forças que agem sobre o corpo e escolha o sentido positivo,
• some-as e obtenha a resultante,
• divida-a pela massa e obtenha a aceleração.

Desenhe apenas as forças que agem sobre o corpo que lhe interessa. A força com que o carro empurra a estrada não entra no cálculo da aceleração do carro, ela age sobre a estrada. Neste procedimento se baseia toda a dinâmica, e nos próximos artigos só se acrescentarão a ele novos tipos de forças.

O nosso carro do exemplo anterior agora anda por uma estrada secundária e o motorista pisa no acelerador. A estrada o empurra, pelas rodas, para a frente com a força F₁ = 3.000 N, a resistência do ar e a resistência ao rolamento o freiam com a força F₂ = 600 N.

A seta vermelha é a tração, a azul a resistência e a verde a resultante, todas na mesma escala. Na vertical agem ainda sobre o carro a força peso para baixo e a estrada o empurra com uma força de mesmo módulo para cima. Elas se anulam mutuamente, por isso não as desenhamos na figura.

Escolhemos o sentido positivo no sentido da marcha. As forças têm sentidos opostos, então os módulos delas se subtraem:

$$F=F_1-F_2=3.000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2.400\mathrm{N}$$

Dividimos pela massa:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2.400\mathrm{N}}{1.200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

O carro tem aceleração de 2 m/s². Um erro frequente é dividir pela massa só a tração. Sairiam 2,5 m/s² e isso é demais, porque a resistência do ar se perderia num cálculo desses.

O mesmo procedimento funciona também em outras situações. Na rodovia o carro anda com velocidade constante, a resistência aqui é de cerca de 600 N e a tração tem o mesmo módulo que a resistência, a resultante é nula e a aceleração também. Quando o motorista tira o pé do acelerador, a tração desaparece e sobra só a resistência, que aponta contra o sentido positivo (desprezamos o freio-motor):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1.200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

A aceleração negativa significa que o carro desacelera.

O procedimento funciona também no sentido contrário, da aceleração de volta à força. De que tração o carro precisa para ter, mesmo com a resistência de 600 N, aceleração de 2,8 m/s²? A resultante precisa ser F = m · a = 3.360 N, como calculamos acima. Na relação para a resultante, isolamos a tração:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Substituímos:

$$F_1=3.360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3.960\mathrm{N}$$

A tração, portanto, precisa chegar a quase quatro quilonewtons. Quem esquecesse a resistência teria um carro que arranca mais devagar do que saiu no cálculo.

Por que os pesados e os leves caem do mesmo jeito

Na queda livre, todos os corpos num mesmo lugar têm a mesma aceleração g ≈ 9,81 m/s², uma pedra e as chaves. Isso leva a pensar que a pedra mais pesada deve cair mais depressa, porque a Terra a puxa com força maior. Puxa, mas a pedra mais pesada tem ao mesmo tempo massa maior e, assim, resiste mais à mudança de velocidade.

O dinamômetro mostra quanto pesa um quilograma: a Terra puxa cada quilograma com uma força de cerca de 9,81 N. A força peso, portanto, cresce em proporção direta com a massa:

$$P=m\cdot g$$

O número g aparece aqui como força por quilograma, N/kg, e isso é o mesmo que m/s². A Terra puxa uma bola de massa 0,5 kg com uma força de cerca de 4,9 N, uma bola de boliche de massa 5 kg com uma força dez vezes maior, cerca de 49 N. A bola de boliche, porém, tem também uma massa dez vezes maior:

$$a=\frac{P}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Força dez vezes maior, massa dez vezes maior, a mesma aceleração. Em geral, $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, a massa se cancela.

A massa desempenha um duplo papel: determina com que intensidade a Terra puxa o corpo e, ao mesmo tempo, quanto o corpo resiste à mudança de velocidade. Que nos dois papéis apareça o mesmo número não é óbvio; verifica-se por medição e vale com enorme precisão. Graças a isso, o martelo cai como um prego.

No ar se acrescenta a resistência, que aponta para cima, e a resultante é a força peso diminuída da resistência. Numa pedra, a resistência diante da força peso é desprezível, numa pena, que quase não pesa nada, ela tira da força peso quase tudo. Por isso a pena plana na Terra e a pedra cai. A resistência do ar depende da forma e da velocidade do corpo, não da massa dele. Na mesma velocidade, o ar freia do mesmo jeito bolinhas do mesmo tamanho, de aço e de isopor. Mas, quanto maior a massa, menos a resistência tira da aceleração, então da bolinha de aço ela tira só um pedacinho insignificante, enquanto freia a de isopor de modo visível.

Por que o assento nos empurra nas costas

Quando o carro arranca bruscamente, você sente o encosto empurrar suas costas. Essa é a força que dá a você a mesma aceleração que ao carro, e agora sabemos calculá-la. A passageira tem massa de 60 kg. No carro familiar, com aceleração de 2,8 m/s², o encosto a empurra com a força

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

No carro esportivo, com aceleração de 9,3 m/s², já são

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Para comparação, por baixo o assento a sustenta com uma força igual à força peso, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. O encosto, portanto, empurra as costas quase tão forte quanto o assento por baixo, e por isso falamos de uma força g de quase 1g na direção horizontal. A razão das duas forças é igual à razão das acelerações $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, a massa da passageira de novo se cancela.

A segunda lei diz, então, o que a força faz com o corpo. Resta a pergunta de onde vêm as forças e sobre quem agem. Quando você empurra o carrinho, sente que o carrinho empurra de volta a sua mão. A isso se dedica a terceira lei de Newton.

O próximo artigo, Terceira lei de Newton, mostra como as forças funcionam em pares.