Secondo principio della dinamica

Al supermercato due carrelli aspettano uno accanto all’altro. Uno è vuoto e ha una massa di 10 kg, l’altro è carico di acqua e di scatolette e ha una massa di 25 kg. A tutti e due dai la stessa spinta, con una forza di 50 N. Il carrello vuoto parte come un razzo, quello pieno si mette in moto con fatica. Di quanto esattamente, lo dice il secondo principio della dinamica, chiamato anche legge fondamentale della dinamica. Per semplicità trascuriamo l’attrito delle ruote.

Entrambi i carrelli partono da fermi e i segni arancioni mostrano la posizione della loro parte anteriore a intervalli di tempo regolari. In entrambi i casi le distanze tra i segni aumentano, quindi tutti e due accelerano. Nello stesso tempo però il carrello vuoto percorre una distanza due volte e mezzo più lunga di quello pieno, perché la sua accelerazione è due volte e mezzo maggiore. Le frecce della forza, invece, hanno la stessa lunghezza per entrambi i carrelli. A fare la differenza è solo il carico.

La legge fondamentale della dinamica

Isaac Newton lo scrisse nel 1687 più o meno così:

Il cambiamento del moto è proporzionale alla forza che agisce e avviene nella direzione della retta lungo cui la forza agisce.

La massa manca solo in apparenza. Con «moto» Newton intendeva il prodotto della massa per la velocità, quindi la massa vi è nascosta.

Con le parole di oggi: più grande è la forza che agisce sul corpo, maggiore è la sua accelerazione, e più grande è la sua massa, minore è l’accelerazione:

$$a=\frac{F}{m}$$

Se raddoppiamo la forza, raddoppia anche l’accelerazione. Se raddoppiamo la massa, l’accelerazione si dimezza. Più spesso il principio si scrive moltiplicato per la massa:

$$F=m\cdot a$$

La forza e l’accelerazione sono vettori, quindi la scrittura completa è $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. L’accelerazione ha sempre la stessa direzione e lo stesso verso della forza. Se spingi il carrello in avanti, la sua accelerazione è in avanti. Se lo tiri indietro, l’accelerazione è all’indietro e, se il carrello andava avanti, rallenta.

Una cosa va tenuta d’occhio: $\overrightarrow{F}$ è la risultante di tutte le forze che agiscono sul corpo, non solo di quella che notiamo per prima. Quando la risultante è nulla, è nulla anche l’accelerazione e il corpo sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. È esattamente ciò che dice il primo principio della dinamica, che il secondo contiene come caso particolare.

Torniamo ai carrelli e calcoliamo le loro accelerazioni. Cominciamo da quello vuoto:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

E quello pieno:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Perché sono venuti metri al secondo quadrato lo spieghiamo tra poco. Un’accelerazione di 5 m/s² significa che la velocità del carrello vuoto aumenta di 5 m/s ogni secondo, quella del carrello pieno di soli 2 m/s. Il carrello pieno ha una massa due volte e mezzo maggiore, quindi la sua accelerazione è due volte e mezzo minore. Se spingessi il carrello vuoto con una forza doppia, di 100 N, avrebbe un’accelerazione doppia, 10 m/s².

Nessuno, però, spinge un carrello a lungo. Se spingi per mezzo secondo, il carrello vuoto arriva a 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, quello pieno solo a 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

La massa come misura dell’inerzia

Un corpo conserva la propria velocità finché una forza non lo costringe a cambiarla. Questa è l’inerzia. Il secondo principio le aggiunge un numero: più grande è la massa, più il corpo si oppone al cambiamento di velocità. La massa è la misura dell’inerzia.

Per questo il carrello vuoto lo metti in moto con un dito, mentre fermare un carrello pieno in corsa richiede fatica. Lo stesso motivo spiega perché un camion al semaforo parte più lentamente di un’auto, anche se ha un motore molto più potente.

Un corpo più grande non è per forza di massa maggiore. Un pallone da beach volley è più grande di una palla da bowling, ma a una palla da bowling non vorresti dare un calcio. La palla da bowling ha infatti una massa molto maggiore, quindi lo stesso calcio la mette in moto appena un poco e il piede si ferma contro di essa.

Dell’inerzia non ci liberiamo neppure dove le cose non pesano nulla. Un astronauta sulla stazione spaziale solleva con una mano una cassa da cento chili, perché la cassa e la stazione cadono insieme attorno alla Terra e la cassa in assenza di peso fluttua. Ma appena vuole spostarla all’interno della stazione o fermarla, deve fare la stessa fatica che farebbe sulla Terra. La cassa ha sempre una massa di 100 kg e la stessa inerzia.

Da dove viene il newton

L’unità di forza è il newton, N = kg·m/s². Perché proprio questa lo spiega il secondo principio, in base al quale il newton è definito: un newton è la forza che imprime a un corpo di massa 1 kg un’accelerazione di 1 m/s². Sostituiamo in F = m · a:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Da qui deriva anche l’unità di accelerazione dei carrelli. Dividiamo il newton per il chilogrammo:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

I chilogrammi si semplificano e restano metri al secondo quadrato.

Quanto è grande un newton? Più o meno quanto pesa in mano una piccola mela. Metti su un ghiaccio perfettamente liscio una bottiglia da un litro d’acqua, di massa circa 1 kg, e tirala sempre con la stessa forza di 1 N. La bottiglia accelera per tutto il tempo: dopo un secondo va a 1 m/s, dopo due a 2 m/s. Una forza costante non mantiene costante la velocità, ma la cambia continuamente.

Con quale forza parte un’auto

Un’auto familiare di massa 1200 kg accelera da zero a 100 km/h in dieci secondi, quindi ha un’accelerazione di circa 2,8 m/s². Quanto grande deve essere la forza risultante che agisce sull’auto?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

La formula è già esplicitata, quindi sostituiamo direttamente:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3360\mathrm{N}\end{array}$$

Le unità tornano: chilogrammo per metro al secondo quadrato è un newton. Sull’auto deve agire una forza risultante di circa 3360 N, cioè più di tre kilonewton. Nota la parola risultante. Contro il moto dell’auto agiscono anche la resistenza dell’aria e l’attrito volvente dei pneumatici, quindi la strada deve spingere l’auto attraverso le ruote ancora un po’ di più.

Più forze insieme

Di solito su un corpo agiscono più forze e allora si procede sempre allo stesso modo:

• disegna le forze che agiscono sul corpo e scegli un verso positivo,
• sommale e ottieni la risultante,
• dividila per la massa e ottieni l’accelerazione.

Disegna solo le forze che agiscono sul corpo che ti interessa. Nel calcolo dell’accelerazione dell’auto non rientra la forza con cui l’auto spinge sulla strada: quella agisce sulla strada. Su questo procedimento si regge tutta la dinamica; negli articoli successivi si aggiungeranno solo nuovi tipi di forze.

La nostra auto dell’esempio precedente ora percorre una strada provinciale e il conducente dà gas. La strada la spinge in avanti attraverso le ruote con una forza F₁ = 3000 N, la resistenza dell’aria e l’attrito volvente la frenano con una forza F₂ = 600 N.

La freccia rossa è la trazione, quella blu la resistenza e quella verde la risultante, tutte nella stessa scala. In verticale sull’auto agiscono anche la forza peso verso il basso e la forza di pari modulo con cui la strada la spinge verso l’alto. Si annullano a vicenda, perciò non le disegniamo.

Scegliamo il verso positivo nel verso di marcia. Le forze hanno versi opposti, quindi i loro moduli si sottraggono:

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2400\mathrm{N}$$

Dividiamo per la massa:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

L’auto ha un’accelerazione di 2 m/s². Un errore frequente è dividere per la massa soltanto la trazione. Verrebbero 2,5 m/s², ed è troppo, perché in un calcolo del genere la resistenza dell’aria andrebbe persa.

Lo stesso procedimento funziona anche per altre situazioni. In autostrada l’auto viaggia a velocità costante, la resistenza è qui di circa 600 N e la trazione è uguale alla resistenza, quindi la risultante è nulla e lo è anche l’accelerazione. Quando il conducente toglie il piede dall’acceleratore, la trazione sparisce e resta solo la resistenza, diretta contro il verso positivo (il freno motore lo trascuriamo):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

L’accelerazione negativa significa che l’auto rallenta.

Il procedimento funziona anche nel verso opposto, dall’accelerazione alla forza. Quanto grande deve essere la trazione perché l’auto, anche con la resistenza di 600 N, abbia un’accelerazione di 2,8 m/s²? La risultante deve essere F = m · a = 3360 N, come abbiamo calcolato sopra. Dalla relazione per la risultante ricaviamo la trazione:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Sostituiamo:

$$F_1=3360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3960\mathrm{N}$$

La trazione deve quindi arrivare a quasi quattro kilonewton. Chi dimenticasse la resistenza, avrebbe un’auto che parte più lentamente di quanto risulta dal calcolo.

Perché i corpi pesanti e leggeri cadono allo stesso modo

In caduta libera tutti i corpi nello stesso luogo hanno la stessa accelerazione g ≈ 9,81 m/s², un sasso come le chiavi. Viene da pensare che il sasso più pesante debba cadere più in fretta, perché la Terra lo attira con una forza maggiore. Lo attira, ma il sasso più pesante ha anche una massa maggiore e quindi si oppone di più al cambiamento di velocità.

Quanto pesa un chilogrammo lo mostra il dinamometro: la Terra attira ogni chilogrammo con una forza di circa 9,81 N. La forza peso cresce quindi in proporzione diretta alla massa:

$$F_P=m\cdot g$$

Il numero g qui compare come forza per chilogrammo, N/kg, che è la stessa cosa di m/s². Un pallone di massa 0,5 kg la Terra lo attira con una forza di circa 4,9 N, una palla da bowling di massa 5 kg con una forza dieci volte maggiore, circa 49 N. Ma la palla ha anche una massa dieci volte maggiore:

$$a=\frac{F_P}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Forza dieci volte maggiore, massa dieci volte maggiore, stessa accelerazione. In generale $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, la massa si semplifica.

La massa ha un duplice ruolo: determina con quale forza la Terra attira il corpo e, allo stesso tempo, quanto il corpo si oppone al cambiamento di velocità. Che nei due ruoli compaia lo stesso numero non è scontato; lo si verifica con le misure e vale con enorme precisione. Grazie a questo un martello cade come un chiodo.

Nell’aria si aggiunge la resistenza, diretta verso l’alto, e la risultante è la forza peso diminuita della resistenza. Per un sasso la resistenza rispetto alla forza peso è trascurabile, per una piuma, che non pesa quasi niente, toglie alla forza peso quasi tutto. Per questo sulla Terra la piuma plana e il sasso cade. La resistenza dell’aria dipende dalla forma e dalla velocità del corpo, non dalla sua massa. Palline di acciaio e di polistirolo della stessa dimensione sono frenate dall’aria nello stesso modo alla stessa velocità. Ma quanto maggiore è la massa, tanto meno la resistenza ne toglie all’accelerazione, perciò alla pallina d’acciaio ne toglie solo una piccola parte, mentre quella di polistirolo la frena in modo evidente.

Perché il sedile ci preme sulla schiena

Quando l’auto parte di scatto, senti lo schienale che ti preme sulla schiena. È la forza che ti dà la stessa accelerazione dell’auto e ora siamo in grado di calcolarla. Una passeggera ha una massa di 60 kg. In un’auto familiare con un’accelerazione di 2,8 m/s² lo schienale la spinge con una forza di

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

In un’auto sportiva con un’accelerazione di 9,3 m/s² è già

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Per confronto, da sotto il sedile la sostiene con una forza pari alla forza peso, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Lo schienale spinge quindi contro la schiena quasi con la stessa forza del sedile da sotto, per questo si parla di una forza g di quasi 1g in direzione orizzontale. Il rapporto tra le due forze è uguale al rapporto tra le accelerazioni $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, la massa della passeggera si semplifica ancora.

Il secondo principio dice dunque che cosa fa una forza a un corpo. Resta la domanda da dove vengano le forze e su chi agiscano. Quando spingi un carrello, senti che il carrello spinge a sua volta sulla tua mano. Se ne occupa il terzo principio della dinamica.

Come funzionano le forze a coppie lo mostra il prossimo articolo, il terzo principio della dinamica.