Newtons andre lov

I en dagligvarebutikk står to handlevogner ved siden av hverandre. Den ene er tom og har massen 10 kg, den andre er fylt med vann og hermetikk og har 25 kg. Du dytter til begge med samme kraft, 50 N. Den tomme vogna farer av gårde som et skudd, den fulle kommer seg bare dovent i gang. Hvor mye nøyaktig, røper Newtons andre lov, som også kalles kraftloven. Friksjonen i hjulene ser vi for enkelhets skyld bort fra.

Begge vognene starter fra ro, og de oransje merkene viser posisjonen til fronten med jevne tidsmellomrom. For begge blir avstandene lengre, så begge har akselerasjon. Men den tomme vogna kommer på samme tid to og en halv gang så langt som den fulle, fordi akselerasjonen er to og en halv gang større. Kraftpilene er like lange for begge vognene. Forskjellen gjør bare lasten.

Kraftloven

Isaac Newton skrev den ned i 1687 omtrent slik:

Endringen av bevegelsen er proporsjonal med den påvirkende kraften og skjer i retning av den rette linjen kraften virker langs.

Massen mangler her bare tilsynelatende. Med bevegelse mente Newton produktet av masse og fart, så massen er skjult der.

Med dagens ord: jo større kraft som virker på et legeme, desto større akselerasjon har det, og jo større massen er, desto mindre er akselerasjonen:

$$a=\frac{F}{m}$$

Når vi dobler kraften, dobles også akselerasjonen. Når vi dobler massen, synker akselerasjonen til det halve. Oftere skrives loven multiplisert med massen:

$$F=m\cdot a$$

Både kraft og akselerasjon er vektorer, så den fullstendige skrivemåten er $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. Akselerasjonen peker alltid i samme retning som kraften. Dytter du vogna framover, har den akselerasjon framover. Drar du i den bakover, har den akselerasjon bakover, og hvis den kjørte framover, bremser den.

Pass på én ting: $\overrightarrow{F}$ er resultanten av alle kreftene som virker på legemet, ikke bare den vi legger merke til først. Når resultanten er null, er også akselerasjonen null, og legemet står stille eller beveger seg rettlinjet med konstant fart. Nøyaktig det sier Newtons første lov, og den andre inneholder den som et spesialtilfelle.

Vi går tilbake til vognene og regner ut akselerasjonen deres. Vi begynner med den tomme:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Og den fulle:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Hvorfor det ble meter per sekund i andre, forklarer vi om litt. Akselerasjonen 5 m/s² betyr at farten til den tomme vogna øker med 5 m/s hvert sekund, for den fulle bare med 2 m/s. Den fulle vogna har to og en halv gang så stor masse, så akselerasjonen er to og en halv gang mindre. Hvis du dyttet til den tomme vogna dobbelt så hardt, med kraften 100 N, ville den hatt dobbelt så stor akselerasjon, 10 m/s².

Ingen dytter imidlertid lenge på vogna. Når du dytter i et halvt sekund, kommer den tomme vogna opp i 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, den fulle bare i 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Masse som mål på treghet

Et legeme holder på hastigheten sin til en kraft tvinger det til å endre den. Det kalles treghet. Den andre loven legger et tall til den: jo større masse, desto mer motsetter legemet seg en endring av farten. Masse er et mål på treghet.

Derfor kan du sette den tomme vogna i gang med én finger, mens det er hardt arbeid å stoppe en full vogn i fart. Den samme grunnen ligger bak at en lastebil kommer saktere i gang fra lyskrysset enn en personbil, selv om den har en mye kraftigere motor.

Et større legeme trenger imidlertid ikke ha større masse. En strandvolleyball er større enn en bowlingkule, men du ville ikke ha lyst til å sparke til kulen. Kulen har nemlig mye større masse, så et like hardt spark setter den bare svakt i bevegelse, og foten stopper mot den.

Treghet blir vi ikke kvitt selv der tingene ikke veier noe. En astronaut på romstasjonen løfter med én hånd en kasse på hundre kilo, for kassen og stasjonen faller sammen rundt Jorda, og kassen svever vektløs. Men så snart han vil sette den i bevegelse eller stoppe den i stasjonen, må han anstrenge seg like mye som på Jorda. Kassen har fortsatt massen 100 kg og den samme tregheten.

Hvor newton kommer fra

Enheten for kraft er newton, N = kg·m/s². Hvorfor akkurat det, forklarer den andre loven, som newton er definert etter: én newton er kraften som gir et legeme med massen 1 kg akselerasjonen 1 m/s². Vi setter inn i F = m · a:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Av det følger også enheten for akselerasjon ved vognene. Vi deler newton på kilogram:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kilogrammene forkortes, og meter per sekund i andre blir igjen.

Hvor stor er én newton? Omtrent som når du holder et lite eple i hånden. Sett en literflaske vann med massen omtrent 1 kg på helt glatt is og dra i den med hele tiden den samme kraften 1 N. Flaska akselererer hele tiden: etter ett sekund går den 1 m/s, etter to 2 m/s. En konstant kraft holder ikke farten konstant, men endrer den hele tiden.

Med hvilken kraft kommer bilen i gang

En familiebil med massen 1200 kg akselererer fra null til 100 km/h på ti sekunder, så den har akselerasjonen omtrent 2,8 m/s². Hvor stor resulterende kraft må virke på bilen for det?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Formelen er allerede løst ut, så vi setter inn med en gang:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3360\mathrm{N}\end{array}$$

Enhetene stemmer: kilogram ganger meter per sekund i andre er newton. Den resulterende kraften på bilen må være omtrent 3360 N, altså over tre kilonewton. Legg merke til ordet resulterende. Mot bevegelsen til bilen virker også luftmotstand og rullemotstand fra dekkene, så veien må trykke bilen via hjulene enda litt hardere.

Flere krefter samtidig

Som regel virker flere krefter på et legeme, og da går vi alltid fram på samme måte:

• tegn kreftene som virker på legemet, og velg en positiv retning,
• legg dem sammen, så får du resultanten,
• del den på massen, så får du akselerasjonen.

Tegn bare kreftene som virker på legemet du er interessert i. Kraften bilen trykker mot veien med, hører ikke med i utregningen av akselerasjonen til bilen, den virker på veien. På denne framgangsmåten hviler hele dynamikken, i de neste artiklene kommer det bare nye typer krefter til.

Bilen fra forrige eksempel kjører nå på landeveien, og sjåføren gir gass. Veien trykker den via hjulene framover med kraften F₁ = 3000 N, luftmotstanden og rullemotstanden bremser den med kraften F₂ = 600 N.

Den røde pilen er drivkraften, den blå motstanden og den grønne resultanten, alle i samme målestokk. Loddrett virker tyngdekraften nedover på bilen, og veien trykker den oppover med en like stor kraft. De opphever hverandre, derfor tegner vi dem ikke inn i bildet.

Positiv retning velger vi i kjøreretningen. Kreftene har motsatt retning, så størrelsene trekkes fra hverandre:

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2400\mathrm{N}$$

Vi deler på massen:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Bilen har akselerasjonen 2 m/s². En vanlig feil er å dele bare drivkraften på massen. Da ville vi fått 2,5 m/s², og det er for mye, fordi luftmotstanden ville gått tapt i en slik utregning.

Den samme framgangsmåten fungerer for flere situasjoner. På motorveien kjører bilen med konstant fart, motstanden er her omtrent 600 N og drivkraften er like stor som motstanden, resultanten er null og akselerasjonen også. Når sjåføren slipper gassen, forsvinner drivkraften og bare motstanden blir igjen, som peker mot den positive retningen (motorbremsing ser vi bort fra):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Negativ akselerasjon betyr at bilen bremser.

Framgangsmåten fungerer også motsatt vei, fra akselerasjon tilbake til kraft. Hvor stor drivkraft trenger bilen for å ha akselerasjonen 2,8 m/s² også med motstanden 600 N? Resultanten må være F = m · a = 3360 N, som vi regnet ut ovenfor. Fra sammenhengen for resultanten løser vi ut drivkraften:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Vi setter inn:

$$F_1=3360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3960\mathrm{N}$$

Drivkraften må altså nå nesten fire kilonewton. Den som glemte motstanden, ville fått en bil som kom saktere i gang enn det han hadde regnet ut.

Hvorfor tunge og lette ting faller like fort

I fritt fall har alle legemer på ett sted den samme akselerasjonen g ≈ 9,81 m/s², både en stein og nøkler. Det frister til å tro at en tyngre stein må falle fortere, fordi Jorda drar i den med større kraft. Det gjør den, men en tyngre stein har samtidig større masse, og motsetter seg derfor endring av farten mer.

Hva et kilogram veier, viser kraftmåleren: Jorda drar i hvert kilogram med omtrent 9,81 N. Tyngdekraften vokser altså proporsjonalt med massen:

$$G=m\cdot g$$

Tallet g opptrer her som kraft per kilogram, N/kg, og det er det samme som m/s². Jorda drar i en ball med massen 0,5 kg med omtrent 4,9 N, i en bowlingkule med massen 5 kg med ti ganger så stor kraft, omtrent 49 N. Men kulen har også ti ganger så stor masse:

$$a=\frac{G}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ti ganger så stor kraft, ti ganger så stor masse, samme akselerasjon. Generelt $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, massen forkortes.

Massen spiller en dobbel rolle: den bestemmer hvor sterkt Jorda drar i legemet, og samtidig hvor mye legemet motsetter seg en endring av farten. At det er det samme tallet som opptrer i begge rollene, er ikke selvsagt; det kontrolleres ved måling og gjelder med enorm nøyaktighet. Takket være det faller en hammer like fort som en spiker.

I luft kommer det til en motstand som peker oppover, og resultanten er tyngdekraften redusert med motstanden. For en stein er motstanden ubetydelig mot tyngdekraften, for en fjær, som nesten ikke veier noe, tar den nesten hele tyngdekraften. Derfor seiler fjæren på Jorda og steinen faller. Luftmotstanden avhenger av formen og farten til legemet, ikke av massen. Like store kuler av stål og av isopor bremses av luften like mye ved samme fart. Men jo større massen er, desto mindre tar motstanden av akselerasjonen, så den tar bare en liten bit av stålkulen, mens den bremser isoporkulen merkbart.

Hvorfor setet presser oss i ryggen

Når bilen brått kommer i gang, kjenner du ryggstøtten presse deg i ryggen. Det er kraften som gir deg samme akselerasjon som bilen, og nå kan vi regne den ut. Passasjeren ved siden av har massen 60 kg. I en familiebil med akselerasjonen 2,8 m/s² presser ryggstøtten henne med kraften

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

I en sportsbil med akselerasjonen 9,3 m/s² er det allerede

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Til sammenligning støtter setet henne nedenfra med en kraft som er lik tyngdekraften, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Ryggstøtten presser altså i ryggen nesten like hardt som setet nedenfra, og derfor snakker vi om en g-kraft på nesten 1g i vannrett retning. Forholdet mellom de to kreftene er det samme som forholdet mellom akselerasjonene $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, massen til passasjeren forkortes igjen.

Den andre loven sier altså hva en kraft gjør med et legeme. Det gjenstår spørsmålet om hvor kreftene kommer fra og hvem de virker på. Når du dytter til en vogn, kjenner du at vogna trykker tilbake på hånden din. Det handler Newtons tredje lov om.

Hvordan krefter virker i par, viser neste artikkel, Newtons tredje lov.