Newton második törvénye

A szupermarketben két bevásárlókocsi áll egymás mellett. Az egyik üres, a tömege 10 kg, a másik tele van vízzel és konzervekkel, és 25 kg a tömege. Mindkettőt egyformán meglököd, 50 N erővel. Az üres kocsi úgy indul el, mint a lövedék, a teli csak lustán mozdul meg. Hogy pontosan mennyire, azt Newton második törvénye árulja el, amelyet a dinamika alaptörvényének is nevezünk. A kerekek súrlódását az egyszerűség kedvéért elhanyagoljuk.

Mindkét kocsi nyugalomból indul, a narancssárga jelek pedig az elejük helyzetét mutatják egyenlő időközönként. Mindkettőnél növekednek a távolságok, tehát mindkettő gyorsul. Az üres kocsi azonban ugyanannyi idő alatt két és félszer hosszabb utat tesz meg, mint a teli, mert a gyorsulása két és félszer nagyobb. Az erő nyilai mindkét kocsinál egyforma hosszúak. A különbséget csak a rakomány okozza.

A dinamika alaptörvénye

Isaac Newton 1687-ben körülbelül így írta le:

A mozgás megváltozása arányos a ható erővel, és annak az egyenesnek az irányában történik, amelyben az erő hat.

A tömeg itt csak látszólag hiányzik. Newton mozgás alatt a tömeg és a sebesség szorzatát értette, tehát benne van.

Mai nyelven: minél nagyobb erő hat a testre, annál nagyobb a gyorsulása, és minél nagyobb a tömege, annál kisebb a gyorsulás:

$$a=\frac{F}{m}$$

Ha megkétszerezzük az erőt, megkétszereződik a gyorsulás is. Ha megkétszerezzük a tömeget, a gyorsulás felére csökken. A törvényt gyakrabban írjuk a tömeggel megszorozva:

$$F=m\cdot a$$

Az erő és a gyorsulás is vektor, ezért a teljes alak $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. A gyorsulás mindig ugyanabba az irányba mutat, mint az erő. Ha előre tolod a kocsit, a gyorsulása előre mutat. Ha hátrafelé húzod, a gyorsulása hátrafelé mutat, és ha a kocsi előre haladt, akkor lassul.

Egy dologra ügyelj: az $\overrightarrow{F}$ a testre ható összes erő eredője, nem csak az, amelyet először észreveszünk. Ha az eredő nulla, a gyorsulás is nulla, és a test áll, vagy egyenes vonalban egyenletesen halad. Pontosan ezt mondja Newton első törvénye, a második különleges esetként tartalmazza.

Térjünk vissza a kocsikhoz, és számoljuk ki a gyorsulásukat. Kezdjük az üressel:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

És a teli:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Hogy miért méter per másodpercnégyzet jött ki, mindjárt megmagyarázzuk. Az 5 m/s² gyorsulás azt jelenti, hogy az üres kocsi sebessége másodpercenként 5 m/s értékkel nő, a teliét csak 2 m/s értékkel. A teli kocsi két és félszer nagyobb tömegű, ezért a gyorsulása két és félszer kisebb. Ha az üres kocsit kétszer olyan erősen löknéd meg, 100 N erővel, a gyorsulása kétszeres lenne, 10 m/s².

A kocsit viszont senki sem tolja sokáig. Ha fél másodpercig lököd, az üres kocsi 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s sebességre gyorsul, a teli csak 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s sebességre.

A tömeg mint a tehetetlenség mértéke

A test megtartja a sebességét, amíg erő nem kényszeríti a megváltoztatására. Ezt hívjuk tehetetlenségnek. A második törvény számot ad hozzá: minél nagyobb a tömeg, annál jobban ellenáll a test a sebességváltozásnak. A tömeg a tehetetlenség mértéke.

Ezért az üres kocsit egy ujjal megmozdíthatod, a mozgásban lévő teli kocsit megállítani viszont nehéz. Ugyanez az oka annak, hogy a kamion lassabban indul a jelzőlámpánál, mint a személyautó, pedig sokkal erősebb a motorja.

A nagyobb test persze nem feltétlenül nagyobb tömegű. A strandröplabda nagyobb, mint a bowlinggolyó, de a golyóba nem szívesen rúgnál bele. A golyó ugyanis sokkal nagyobb tömegű, ezért ugyanolyan erős rúgás csak kicsit mozdítja meg, a lábad pedig egyszerűen megáll rajta.

A tehetetlenségtől ott sem szabadulunk, ahol a dolgoknak nincs súlyuk. Az űrállomáson az űrhajós egy kézzel felemel egy százkilós ládát, mert a láda és az állomás együtt esik a Föld körül, és a láda súlytalanságban lebeg. Amint azonban az állomáson meg akarja mozdítani vagy meg akarja állítani, ugyanúgy meg kell erőlködnie, mint a Földön. A ládának továbbra is 100 kg a tömege, és ugyanakkora a tehetetlensége.

Honnan a newton

Az erő mértékegysége a newton, N = kg·m/s². Hogy miért éppen ez, azt a második törvény magyarázza meg, amely szerint a newtont definiáljuk: egy newton az az erő, amely az 1 kg tömegű testnek 1 m/s² gyorsulást ad. Behelyettesítünk az F = m · a képletbe:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ebből adódik a kocsiknál a gyorsulás mértékegysége is. Elosztjuk a newtont a kilogrammal:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

A kilogrammok kiesnek, és marad a méter per másodpercnégyzet.

Mekkora egy newton? Körülbelül akkora, mint amikor egy kis almát tartasz a kezedben. Állíts egy literes, nagyjából 1 kg tömegű vizespalackot a tökéletesen sima jégre, és húzd végig ugyanakkora, 1 N erővel. A palack végig gyorsul: egy másodperc után 1 m/s sebességgel megy, kettő után 2 m/s sebességgel. Az állandó erő nem állandó sebességet tart fenn, hanem folyamatosan változtatja.

Mekkora erővel indul el az autó

Egy 1200 kg tömegű családi autó tíz másodperc alatt gyorsul fel nulláról 100 km/h sebességre, így a gyorsulása körülbelül 2,8 m/s². Mekkora eredő erőnek kell hatnia az autóra?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

A képlet már ki van fejezve, ezért rögtön behelyettesítünk:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3360\mathrm{N}\end{array}$$

A mértékegységek kijönnek: kilogramm szorozva méter per másodpercnégyzettel newtont ad. Az autóra körülbelül 3360 N eredő erőnek kell hatnia, azaz több mint három kilonewtonnak. Figyeld meg az eredő szót. Az autó mozgásával szemben a légellenállás és a gumiabroncsok gördülési ellenállása is hat, így az útnak a kerekeken keresztül még valamivel erősebben kell tolnia az autót.

Több erő egyszerre

A testre többnyire több erő hat, és ilyenkor mindig ugyanígy járunk el:

• rajzold fel az erőket, amelyek a testre hatnak, és válassz pozitív irányt,
• add össze őket, és megkapod az eredőt,
• oszd el a tömeggel, és megkapod a gyorsulást.

Csak azokat az erőket rajzold fel, amelyek arra a testre hatnak, amelyik érdekel. Az az erő, amellyel az autó az úton nyom, nem tartozik az autó gyorsulásának kiszámításába, az az útra hat. Erre az eljárásra épül az egész dinamika, a következő cikkekben csak újfajta erők kerülnek hozzá.

Az előző példa autója most mellékúton halad, és a sofőr gázt ad. Az út a kerekeken keresztül előre tolja F₁ = 3000 N erővel, a légellenállás és a gördülési ellenállás pedig F₂ = 600 N erővel fékezi.

A piros nyíl a vonóerő, a kék az ellenállás, a zöld az eredő, mindegyik ugyanabban a méretarányban. Függőlegesen az autóra még a nehézségi erő hat lefelé, az út pedig ugyanakkora erővel felfelé nyomja. Kioltják egymást, ezért nem rajzoljuk be az ábrába.

A pozitív irányt a haladás irányába választjuk. Az erők ellentétes irányúak, ezért a nagyságuk kivonódik:

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2400\mathrm{N}$$

Elosztjuk a tömeggel:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Az autó gyorsulása 2 m/s². Gyakori hiba, hogy csak a vonóerőt osztják el a tömeggel. Akkor 2,5 m/s² jönne ki, ami túl sok, mert a légellenállás elveszne a számításban.

Ugyanez az eljárás más helyzetekre is működik. Az autópályán az autó állandó sebességgel megy, az ellenállás itt nagyjából 600 N, a vonóerő pedig ugyanakkora, mint az ellenállás, az eredő nulla, és a gyorsulás is. Amikor a sofőr felengedi a gázt, a vonóerő megszűnik, és csak az ellenállás marad, amely a pozitív iránnyal szemben mutat (a motorféket elhanyagoljuk):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

A negatív gyorsulás azt jelenti, hogy az autó lassul.

Az eljárás fordítva is működik, a gyorsulásból vissza az erőre. Mekkora vonóerő kell ahhoz, hogy az autó 600 N ellenállás mellett is 2,8 m/s² gyorsulással menjen? Az eredőnek F = m · a = 3360 N kell lennie, ahogy fentebb kiszámoltuk. Az eredő képletéből kifejezzük a vonóerőt:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Behelyettesítünk:

$$F_1=3360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3960\mathrm{N}$$

A vonóerőnek tehát majdnem négy kilonewtonnak kell lennie. Aki megfeledkezne az ellenállásról, annak az autója lassabban gyorsulna, mint ahogy a számításban kijött.

Miért esik egyformán a nehéz és a könnyű test

Szabadesésben minden test gyorsulása ugyanazon a helyen egyforma, g ≈ 9,81 m/s², a kőé és a kulcsé is. Az ember könnyen azt gondolja, hogy a nehezebb kőnek gyorsabban kell esnie, mert a Föld nagyobb erővel húzza. Valóban nagyobb erővel húzza, csakhogy a nehezebb kőnek egyben nagyobb a tömege is, ezért jobban ellenáll a sebességváltozásnak.

Hogy mekkora erővel vonzza a Föld a kilogrammot, azt az erőmérő megmutatja: minden kilogrammot körülbelül 9,81 N erővel húz. A nehézségi erő tehát egyenesen arányos a tömeggel:

$$F_g=m\cdot g$$

A g szám itt egy kilogrammra jutó erőként szerepel, N/kg, és ez ugyanaz, mint az m/s². A 0,5 kg tömegű labdát a Föld körülbelül 4,9 N erővel húzza, az 5 kg tömegű bowlinggolyót tízszer nagyobb erővel, körülbelül 49 N erővel. A golyó tömege viszont szintén tízszer nagyobb:

$$a=\frac{F_g}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Tízszer nagyobb erő, tízszer nagyobb tömeg, ugyanaz a gyorsulás. Általánosan $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, a tömeg kiesik.

A tömegnek kettős szerepe van: meghatározza, milyen erősen húzza a Föld a testet, és azt is, mennyire áll ellen a test a sebességváltozásnak. Hogy mindkét szerepben ugyanaz a szám szerepel, az nem magától értetődő; méréssel ellenőrzik, és óriási pontossággal érvényes. Ennek köszönhető, hogy a kalapács ugyanúgy esik, mint a szög.

Levegőben megjelenik a felfelé mutató ellenállás, és az eredő a nehézségi erő mínusz az ellenállás. A kőnél az ellenállás a nehézségi erőhöz képest elhanyagolható, a tollnál, amelynek szinte nincs tömege, a nehézségi erő majdnem egészét elveszi. Ezért lebeg a toll a Földön, a kő pedig leesik. A légellenállás a test alakjától és sebességétől függ, nem a tömegétől. Az egyforma méretű acél- és polisztirolgolyócskát a levegő azonos sebességnél egyformán fékezi. Minél nagyobb viszont a tömeg, annál kevesebbet vesz el az ellenállás a gyorsulásból, így az acélgolyócskától csak egy csekély darabot, a polisztirolgolyócskát viszont érezhetően lefékezi.

Miért nyom az ülés a hátadba

Amikor az autó hirtelen elindul, érzed, ahogy a háttámla a hátadba nyom. Ez az az erő, amely neked is ugyanakkora gyorsulást ad, mint az autónak, és most már ki tudjuk számolni. Az utas tömege 60 kg. A családi autóban 2,8 m/s² gyorsulásnál a háttámla ekkora erővel nyomja:

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

A 9,3 m/s² gyorsulású sportautóban ez már

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Összehasonlításul, alulról az ülés a nehézségi erővel megegyező erővel támasztja, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N erővel. A háttámla tehát majdnem olyan erősen nyom a hátába, mint az ülés alulról, ezért beszélünk majdnem 1g túlterhelésről vízszintes irányban. A két erő aránya ugyanaz, mint a gyorsulások aránya, $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, az utas tömege megint kiesik.

A második törvény tehát megmondja, mit tesz az erő a testtel. Marad a kérdés, honnan jönnek az erők, és mire hatnak. Amikor meglököd a kocsit, érzed, hogy a kocsi visszanyom a kezedre. Ezzel Newton harmadik törvénye foglalkozik.

Hogyan működnek az erők párokban, azt a következő, Newton harmadik törvénye című cikk mutatja meg.