Deuxième loi de Newton

Dans un supermarché, deux chariots attendent côte à côte. L’un est vide et a une masse de 10 kg, l’autre est chargé d’eau et de conserves et a une masse de 25 kg. Tu pousses les deux avec la même force, 50 N. Le chariot vide part comme une flèche, le plein se met en route paresseusement. C’est la deuxième loi de Newton, aussi appelée principe fondamental de la dynamique, qui dit précisément de combien. Pour simplifier, nous négligeons les frottements des roues.

Les deux chariots partent du repos et les repères orange montrent la position de leur avant à intervalles de temps réguliers. Pour les deux, les écarts s’allongent, les deux ont donc une accélération. Mais le chariot vide parcourt en un même temps une distance deux fois et demie plus longue que le plein, parce que son accélération est deux fois et demie plus grande. Les flèches de la force ont pourtant la même longueur pour les deux chariots. La différence tient seulement au chargement.

Le principe fondamental de la dynamique

Isaac Newton l’a écrit en 1687 à peu près ainsi :

Le changement de mouvement est proportionnel à la force qui s’exerce et se fait dans la direction de la droite suivant laquelle cette force s’exerce.

Ici, la masse ne manque qu’en apparence. Par mouvement, Newton entendait le produit de la masse et de la vitesse, elle y est donc cachée.

Dans le langage d’aujourd’hui : plus la force qui s’exerce sur un corps est grande, plus son accélération est grande, et plus sa masse est grande, plus son accélération est petite :

$$a=\frac{F}{m}$$

Si nous doublons la force, l’accélération double aussi. Si nous doublons la masse, l’accélération est divisée par deux. Plus souvent, la loi s’écrit multipliée par la masse :

$$F=m\cdot a$$

La force et l’accélération sont des vecteurs, l’écriture complète est donc $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. L’accélération est toujours dirigée comme la force. Si tu pousses le chariot vers l’avant, son accélération est vers l’avant. Si tu le tires vers l’arrière, son accélération est vers l’arrière, et s’il allait vers l’avant, il ralentit.

Fais attention à une chose : $\overrightarrow{F}$ est la résultante de toutes les forces qui s’exercent sur le corps, pas seulement de celle que nous remarquons en premier. Quand la résultante est nulle, l’accélération est nulle aussi et le corps est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. C’est exactement ce que dit la première loi de Newton, la deuxième la contient comme cas particulier.

Revenons aux chariots et calculons leurs accélérations. Commençons par le vide :

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Et le plein :

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Pourquoi nous avons obtenu des mètres par seconde carrée, nous l’expliquerons dans un instant. Une accélération de 5 m/s² signifie que la vitesse du chariot vide augmente de 5 m/s chaque seconde, celle du plein de 2 m/s seulement. Le chariot plein est deux fois et demie plus massif, son accélération est donc deux fois et demie plus petite. Si tu poussais le chariot vide deux fois plus fort, avec 100 N, son accélération serait double, 10 m/s².

Mais personne ne pousse un chariot longtemps. Si tu pousses pendant une demi-seconde, le chariot vide atteint 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, le plein seulement 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

La masse comme mesure de l’inertie

Un corps garde sa vitesse tant qu’une force ne l’oblige pas à la changer. C’est ce qu’on appelle l’inertie. La deuxième loi y ajoute un nombre : plus la masse est grande, plus le corps résiste à un changement de vitesse. La masse est la mesure de l’inertie.

C’est pourquoi tu mets en mouvement le chariot vide avec un seul doigt, alors qu’arrêter un chariot plein lancé n’est pas une mince affaire. C’est la même raison pour laquelle un camion démarre plus lentement qu’une voiture au feu, bien qu’il ait un moteur beaucoup plus puissant.

Un corps plus grand n’est d’ailleurs pas forcément plus massif. Un ballon de beach-volley est plus grand qu’une boule de bowling, mais tu ne voudrais pas donner un coup de pied dans la boule. Elle est en effet beaucoup plus massive, et un coup de pied tout aussi fort ne la met que légèrement en mouvement et le pied bute contre elle.

Nous ne nous débarrassons pas de l’inertie, même là où les choses ne pèsent rien. Un astronaute sur une station spatiale soulève d’une main une caisse de cent kilos, parce que la caisse et la station tombent ensemble autour de la Terre et que la caisse flotte en apesanteur. Mais dès qu’il veut la mettre en mouvement ou l’arrêter dans la station, il doit forcer autant que sur Terre. La caisse a toujours une masse de 100 kg et la même inertie.

D’où vient le newton

L’unité de force est le newton, N = kg·m/s². C’est la deuxième loi qui explique pourquoi, car c’est par elle que le newton est défini : un newton est la force qui communique à un corps de masse 1 kg une accélération de 1 m/s². Nous remplaçons dans F = m · a :

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

On en déduit aussi l’unité de l’accélération pour les chariots. Nous divisons le newton par le kilogramme :

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Les kilogrammes se simplifient et il reste des mètres par seconde carrée.

Que représente un newton ? À peu près ce que tu sens quand tu tiens une petite pomme dans la main. Pose sur une glace parfaitement lisse une bouteille d’un litre d’eau, d’une masse d’environ 1 kg, et tire-la toujours avec la même force 1 N. La bouteille accélère tout le temps : au bout d’une seconde elle ira à 1 m/s, au bout de deux à 2 m/s. Une force constante ne maintient pas une vitesse constante, mais elle la modifie sans arrêt.

Avec quelle force une voiture démarre-t-elle

Une voiture familiale de masse 1 200 kg passe de zéro à 100 km/h en dix secondes, elle a donc une accélération d’environ 2,8 m/s². Quelle résultante doit s’exercer sur la voiture pour cela ?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

La formule est déjà exprimée, nous remplaçons donc directement :

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3360\mathrm{N}\end{array}$$

Les unités sont cohérentes : un kilogramme fois un mètre par seconde carrée donne un newton. Une résultante d’environ 3 360 N doit s’exercer sur la voiture, donc plus de trois kilonewtons. Remarque le mot résultante. La résistance de l’air et la résistance au roulement des pneus s’opposent aussi au mouvement de la voiture, la route doit donc pousser la voiture par les roues encore un peu plus fort.

Plusieurs forces à la fois

En général, plusieurs forces s’exercent sur un corps et on procède alors toujours de la même façon :

• dessine les forces qui s’exercent sur le corps et choisis un sens positif,
• additionne-les et tu obtiens la résultante,
• divise-la par la masse et tu obtiens l’accélération.

Ne dessine que les forces qui s’exercent sur le corps qui t’intéresse. La force avec laquelle la voiture pousse la route n’entre pas dans le calcul de l’accélération de la voiture, elle s’exerce sur la route. Toute la dynamique repose sur cette marche à suivre, dans les articles suivants il ne s’y ajoutera que de nouveaux types de forces.

Notre voiture de l’exemple précédent roule maintenant sur une route départementale et le conducteur accélère. La route la pousse vers l’avant par les roues avec une force F₁ = 3 000 N, la résistance de l’air et la résistance au roulement la freinent avec une force F₂ = 600 N.

La flèche rouge est la traction, la bleue la résistance et la verte la résultante, toutes à la même échelle. Verticalement, le poids de la voiture s’exerce encore vers le bas et la route la pousse vers le haut avec une force de même valeur. Elles s’annulent, c’est pourquoi nous ne les dessinons pas sur la figure.

Nous choisissons comme sens positif le sens de marche. Les forces sont de sens opposés, leurs valeurs se soustraient donc :

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2400\mathrm{N}$$

Nous divisons par la masse :

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

La voiture a une accélération de 2 m/s². Une erreur fréquente est de diviser seulement la traction par la masse. On obtiendrait 2,5 m/s², et c’est trop, parce que la résistance de l’air serait perdue dans un tel calcul.

La même démarche fonctionne pour d’autres situations. Sur l’autoroute, la voiture roule à vitesse constante, la résistance est ici d’environ 600 N et la traction a la même valeur que la résistance, la résultante est nulle et l’accélération aussi. Quand le conducteur lève le pied, la traction disparaît et il ne reste que la résistance, dirigée contre le sens positif (nous négligeons le frein moteur) :

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Une accélération négative signifie que la voiture ralentit.

La démarche fonctionne aussi dans l’autre sens, de l’accélération vers la force. Quelle traction faut-il à la voiture pour avoir, avec une résistance de 600 N, une accélération de 2,8 m/s² ? La résultante doit être F = m · a = 3 360 N, comme nous l’avons calculé plus haut. De la relation de la résultante, nous exprimons la traction :

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Nous remplaçons :

$$F_1=3360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3960\mathrm{N}$$

La traction doit donc atteindre presque quatre kilonewtons. Celui qui oublierait la résistance verrait sa voiture démarrer plus lentement que dans le calcul.

Pourquoi les corps lourds et légers tombent de la même façon

En chute libre, tous les corps ont au même endroit la même accélération g ≈ 9,81 m/s², la pierre comme les clés. On est tenté de penser que la pierre plus lourde doit tomber plus vite, parce que la Terre la tire avec une force plus grande. C’est vrai, mais la pierre plus lourde a en même temps une masse plus grande, et résiste donc davantage à un changement de vitesse.

Un dynamomètre montre combien pèse un kilogramme : la Terre tire chaque kilogramme avec une force d’environ 9,81 N. Le poids augmente donc proportionnellement à la masse :

$$P=m\cdot g$$

Le nombre g intervient ici comme une force par kilogramme, N/kg, et c’est la même chose que m/s². Un ballon de masse 0,5 kg est tiré par la Terre avec une force d’environ 4,9 N, une boule de bowling de masse 5 kg avec une force dix fois plus grande, environ 49 N. Mais la boule a aussi une masse dix fois plus grande :

$$a=\frac{P}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Une force dix fois plus grande, une masse dix fois plus grande, la même accélération. En général $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, la masse se simplifie.

La masse joue un double rôle : elle détermine avec quelle force la Terre tire le corps et, en même temps, à quel point le corps résiste à un changement de vitesse. Que ce soit le même nombre dans les deux rôles n’a rien d’évident ; cela se vérifie par la mesure et vaut avec une précision énorme. C’est grâce à cela qu’un marteau tombe comme un clou.

Dans l’air s’ajoute la résistance, dirigée vers le haut, et la résultante est le poids diminué de la résistance. Pour une pierre, la résistance est négligeable devant le poids, pour une plume, qui ne pèse presque rien, elle compense presque tout le poids. C’est pourquoi la plume plane sur Terre et la pierre tombe. La résistance de l’air dépend de la forme et de la vitesse du corps, pas de sa masse. Des billes de même taille en acier et en polystyrène sont freinées de la même façon par l’air à la même vitesse. Mais plus la masse est grande, moins la résistance enlève à l’accélération : à la bille d’acier, elle n’en enlève qu’un petit bout, alors qu’elle freine nettement la bille de polystyrène.

Pourquoi le siège nous pousse dans le dos

Quand la voiture démarre brusquement, tu sens le dossier te pousser dans le dos. C’est la force qui te communique la même accélération qu’à la voiture, et nous savons maintenant la calculer. La passagère a une masse de 60 kg. Dans la voiture familiale avec une accélération de 2,8 m/s², le dossier la pousse avec une force de

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

Dans la voiture de sport avec une accélération de 9,3 m/s², c’est déjà

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

À titre de comparaison, l’assise la soutient par en dessous avec une force égale à son poids, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Le dossier pousse donc dans le dos presque aussi fort que l’assise par en dessous, c’est pourquoi on parle d’un facteur de charge de presque 1g dans le sens horizontal. Le rapport des deux forces est le même que le rapport des accélérations $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, la masse de la passagère se simplifie de nouveau.

La deuxième loi dit donc ce qu’une force fait à un corps. Reste la question de savoir d’où viennent les forces et sur qui elles s’exercent. Quand tu pousses un chariot, tu sens que le chariot repousse ta main. C’est ce dont traite la troisième loi de Newton.

Comment les forces fonctionnent par paires, c’est ce que montrera l’article suivant, Troisième loi de Newton.