Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα

Στο σούπερ μάρκετ περιμένουν δίπλα δίπλα δύο καροτσάκια. Το ένα είναι άδειο και έχει μάζα 10 kg, το άλλο είναι γεμάτο νερά και κονσέρβες και έχει 25 kg. Σπρώχνεις και τα δύο εξίσου, με δύναμη 50 N. Το άδειο καροτσάκι ξεκινά σαν βλήμα, το γεμάτο μόλις που κινείται νωχελικά. Πόσο ακριβώς, το φανερώνει ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα, που λέγεται και θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής. Την τριβή των τροχών για απλότητα την αγνοούμε.

Και τα δύο καροτσάκια ξεκινούν από την ηρεμία και τα πορτοκαλί σημάδια δείχνουν τη θέση του μπροστινού τους μέρους ανά ίσα χρονικά διαστήματα. Και στα δύο οι αποστάσεις μεγαλώνουν, άρα και τα δύο έχουν επιτάχυνση. Το άδειο καροτσάκι όμως διανύει στον ίδιο χρόνο δυόμισι φορές μεγαλύτερο διάστημα από το γεμάτο, επειδή η επιτάχυνσή του είναι δυόμισι φορές μεγαλύτερη. Τα βέλη της δύναμης είναι και στα δύο καροτσάκια εξίσου μακριά. Τη διαφορά την κάνει μόνο το φορτίο.

Ο θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής

Ο Ισαάκ Νεύτωνας τον έγραψε το 1687 περίπου ως εξής:

Η μεταβολή της κίνησης είναι ανάλογη της δύναμης που ασκείται και γίνεται κατά τη διεύθυνση της ευθείας στην οποία ασκείται η δύναμη.

Η μάζα λείπει από τη διατύπωση μόνο φαινομενικά. Με τον όρο κίνηση ο Νεύτωνας εννοούσε το γινόμενο της μάζας επί την ταχύτητα, και έτσι η μάζα κρύβεται μέσα της.

Με σημερινά λόγια: όσο μεγαλύτερη δύναμη ασκείται σε ένα σώμα, τόσο μεγαλύτερη επιτάχυνση αποκτά, και όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα του, τόσο μικρότερη είναι η επιτάχυνση:

$$\alpha =\frac{F}{m}$$

Αν διπλασιάσουμε τη δύναμη, διπλασιάζεται και η επιτάχυνση. Αν διπλασιάσουμε τη μάζα, η επιτάχυνση υποδιπλασιάζεται. Συχνότερα ο νόμος γράφεται πολλαπλασιασμένος με τη μάζα:

$$F=m\cdot \alpha$$

Η δύναμη και η επιτάχυνση είναι διανύσματα, άρα η πλήρης γραφή είναι $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{\alpha }$. Η επιτάχυνση έχει πάντα την ίδια κατεύθυνση με τη δύναμη. Αν σπρώξεις το καροτσάκι προς τα μπροστά, έχει επιτάχυνση προς τα μπροστά. Αν το τραβήξεις προς τα πίσω, έχει επιτάχυνση προς τα πίσω, και αν κινούνταν προς τα μπροστά, επιβραδύνεται.

Να προσέχεις ένα πράγμα: το $\overrightarrow{F}$ είναι η συνισταμένη όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα, όχι μόνο εκείνης που προσέχουμε πρώτη. Όταν η συνισταμένη είναι μηδέν, μηδέν είναι και η επιτάχυνση και το σώμα ηρεμεί ή κινείται ευθύγραμμα και ομαλά. Αυτό ακριβώς λέει ο πρώτος νόμος του Νεύτωνα, που ο δεύτερος τον περιέχει ως ειδική περίπτωση.

Ας γυρίσουμε στα καροτσάκια και ας υπολογίσουμε τις επιταχύνσεις τους. Αρχίζουμε από το άδειο:

$$\alpha =\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Και το γεμάτο:

$$\alpha =\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Γιατί βγήκαν μέτρα ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο, θα το εξηγήσουμε σε λίγο. Η επιτάχυνση 5 m/s² σημαίνει ότι η ταχύτητα του άδειου καροτσιού αυξάνεται κάθε δευτερόλεπτο κατά 5 m/s, ενώ του γεμάτου μόνο κατά 2 m/s. Το γεμάτο καροτσάκι έχει δυόμισι φορές μεγαλύτερη μάζα, άρα η επιτάχυνσή του είναι δυόμισι φορές μικρότερη. Αν σπρώξεις το άδειο καροτσάκι δύο φορές δυνατότερα, με δύναμη 100 N, η επιτάχυνσή του θα είναι διπλάσια, 10 m/s².

Κανείς όμως δεν σπρώχνει το καροτσάκι για πολλή ώρα. Αν σπρώξεις για μισό δευτερόλεπτο, το άδειο καροτσάκι θα αποκτήσει ταχύτητα 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, το γεμάτο μόνο 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Η μάζα ως μέτρο της αδράνειας

Ένα σώμα διατηρεί την ταχύτητά του, ώσπου μια δύναμη να το αναγκάσει να την αλλάξει. Αυτό το λέμε αδράνεια. Ο δεύτερος νόμος της προσθέτει έναν αριθμό: όσο μεγαλύτερη η μάζα, τόσο περισσότερο αντιστέκεται το σώμα στην αλλαγή της ταχύτητάς του. Η μάζα είναι το μέτρο της αδράνειας.

Γι' αυτό το άδειο καροτσάκι το βάζεις σε κίνηση με ένα δάχτυλο, ενώ το γεμάτο, όταν κινείται, το σταματάς με μεγάλη προσπάθεια. Για τον ίδιο λόγο ένα φορτηγό ξεκινά από το φανάρι πιο αργά από ένα επιβατικό αυτοκίνητο, παρότι έχει πολύ ισχυρότερο κινητήρα.

Ένα μεγαλύτερο σώμα όμως δεν έχει απαραίτητα και μεγαλύτερη μάζα. Η μπάλα του μπιτς βόλεϊ είναι μεγαλύτερη από μια μπάλα του μπόουλινγκ, αλλά δεν θα ήθελες να κλοτσήσεις τη δεύτερη. Η μπάλα του μπόουλινγκ έχει πολύ μεγαλύτερη μάζα, γι' αυτό μια εξίσου δυνατή κλοτσιά την κουνά μόνο λίγο και το πόδι σου σταματά πάνω της.

Της αδράνειας δεν απαλλασσόμαστε ούτε εκεί όπου τα πράγματα δεν ζυγίζουν τίποτα. Ένας αστροναύτης σε διαστημικό σταθμό σηκώνει με το ένα χέρι ένα κιβώτιο εκατό κιλών, επειδή και το κιβώτιο και ο σταθμός πέφτουν μαζί γύρω από τη Γη και το κιβώτιο αιωρείται σε έλλειψη βαρύτητας. Μόλις όμως θελήσει να το κουνήσει μέσα στον σταθμό ή να το σταματήσει, πρέπει να καταβάλει προσπάθεια όπως και στη Γη. Το κιβώτιο έχει ακόμη μάζα 100 kg και την ίδια αδράνεια.

Από πού προέρχεται το νιούτον

Η μονάδα της δύναμης είναι το νιούτον, N = kg·m/s². Γιατί ακριβώς αυτή, το εξηγεί ο δεύτερος νόμος, σύμφωνα με τον οποίο ορίζεται το νιούτον: ένα νιούτον είναι η δύναμη που προσδίδει σε σώμα μάζας 1 kg επιτάχυνση 1 m/s². Αντικαθιστούμε στο F = m · α:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Από εδώ προκύπτει και η μονάδα της επιτάχυνσης στα καροτσάκια. Διαιρούμε το νιούτον με το κιλό:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Τα κιλά απλοποιούνται και μένουν μέτρα ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο.

Πόσο μεγάλο είναι ένα νιούτον; Περίπου όσο όταν κρατάς στο χέρι ένα μικρό μήλο. Βάλε σε απόλυτα λείο πάγο ένα μπουκάλι νερό του ενός λίτρου, με μάζα περίπου 1 kg, και τράβα το συνεχώς με την ίδια δύναμη 1 N. Το μπουκάλι επιταχύνεται όλη την ώρα: μετά από ένα δευτερόλεπτο θα κινείται με 1 m/s, μετά από δύο με 2 m/s. Η σταθερή δύναμη δεν κρατά σταθερή ταχύτητα, την αλλάζει συνεχώς.

Με ποια δύναμη ξεκινά ένα αυτοκίνητο

Ένα οικογενειακό αυτοκίνητο μάζας 1.200 kg επιταχύνεται από το μηδέν στα 100 km/h σε δέκα δευτερόλεπτα, άρα έχει επιτάχυνση περίπου 2,8 m/s². Πόσο μεγάλη συνισταμένη δύναμη πρέπει να ασκείται γι' αυτό στο αυτοκίνητο;

$$\begin{array}{rl}m& =1.200\mathrm{kg}\\ \alpha & =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Ο τύπος είναι ήδη λυμένος ως προς τη δύναμη, οπότε αντικαθιστούμε αμέσως:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot \alpha \\ & =1.200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3.360\mathrm{N}\end{array}$$

Οι μονάδες βγαίνουν σωστά: κιλό επί μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο είναι νιούτον. Στο αυτοκίνητο πρέπει να ασκείται συνισταμένη δύναμη περίπου 3.360 N, δηλαδή πάνω από τρία κιλονιούτον. Πρόσεξε τη λέξη συνισταμένη. Ενάντια στην κίνηση του αυτοκινήτου ασκούνται και η αντίσταση του αέρα και η τριβή κύλισης των ελαστικών, οπότε ο δρόμος πρέπει να σπρώχνει το αυτοκίνητο μέσω των τροχών ακόμη λίγο περισσότερο.

Πολλές δυνάμεις μαζί

Συνήθως στο σώμα ασκούνται πολλές δυνάμεις και τότε προχωράμε πάντα με τον ίδιο τρόπο:

• σχεδίασε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα και διάλεξε θετική φορά,
• πρόσθεσέ τες και θα βρεις τη συνισταμένη,
• διαίρεσέ την με τη μάζα και θα βρεις την επιτάχυνση.

Σχεδίαζε μόνο τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα που σε ενδιαφέρει. Η δύναμη με την οποία το αυτοκίνητο πιέζει τον δρόμο δεν ανήκει στον υπολογισμό της επιτάχυνσης του αυτοκινήτου, αυτή ασκείται στον δρόμο. Σε αυτή τη διαδικασία στηρίζεται όλη η δυναμική, στα επόμενα άρθρα θα προστεθούν μόνο καινούργια είδη δυνάμεων.

Το αυτοκίνητο από το προηγούμενο παράδειγμα κινείται τώρα σε επαρχιακό δρόμο και ο οδηγός πατά γκάζι. Ο δρόμος το σπρώχνει μέσω των τροχών προς τα μπροστά με δύναμη F₁ = 3.000 N, η αντίσταση του αέρα και η τριβή κύλισης το φρενάρουν με δύναμη F₂ = 600 N.

Το κόκκινο βέλος είναι η έλξη, το μπλε η αντίσταση και το πράσινο η συνισταμένη, όλα στην ίδια κλίμακα. Κατακόρυφα στο αυτοκίνητο ασκείται ακόμη το βάρος του προς τα κάτω και ο δρόμος το σπρώχνει προς τα πάνω με εξίσου μεγάλη δύναμη. Αλληλοαναιρούνται, γι' αυτό δεν τις σχεδιάζουμε στο σχήμα.

Θετική φορά διαλέγουμε τη φορά της κίνησης. Οι δυνάμεις έχουν αντίθετη φορά, άρα τα μέτρα τους αφαιρούνται:

$$F=F_1-F_2=3.000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2.400\mathrm{N}$$

Διαιρούμε με τη μάζα:

$$\alpha =\frac{F}{m}=\frac{2.400\mathrm{N}}{1.200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Το αυτοκίνητο έχει επιτάχυνση 2 m/s². Συχνό λάθος είναι να διαιρέσεις με τη μάζα μόνο την έλξη. Θα έβγαινε 2,5 m/s², και αυτό είναι πολύ, επειδή σε έναν τέτοιο υπολογισμό χάνεται η αντίσταση του αέρα.

Η ίδια διαδικασία ισχύει και σε άλλες περιπτώσεις. Στον αυτοκινητόδρομο το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή ταχύτητα, η αντίσταση εδώ είναι περίπου 600 N και η έλξη είναι εξίσου μεγάλη με την αντίσταση, άρα η συνισταμένη είναι μηδέν και η επιτάχυνση επίσης. Όταν ο οδηγός αφήσει το γκάζι, η έλξη εξαφανίζεται και μένει μόνο η αντίσταση, που έχει φορά αντίθετη προς τη θετική (το φρενάρισμα με τον κινητήρα το αγνοούμε):

$$\alpha =\frac{-600\mathrm{N}}{1.200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Αρνητική επιτάχυνση σημαίνει ότι το αυτοκίνητο επιβραδύνεται.

Η διαδικασία δουλεύει και αντίστροφα, από την επιτάχυνση προς τη δύναμη. Πόση έλξη χρειάζεται το αυτοκίνητο, για να έχει επιτάχυνση 2,8 m/s² και με αντίσταση 600 N; Η συνισταμένη πρέπει να είναι F = m · α = 3.360 N, όπως υπολογίσαμε πιο πάνω. Από τη σχέση για τη συνισταμένη εκφράζουμε την έλξη:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Αντικαθιστούμε:

$$F_1=3.360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3.960\mathrm{N}$$

Η έλξη πρέπει λοιπόν να φτάσει σχεδόν τα τέσσερα κιλονιούτον. Όποιος ξεχνούσε την αντίσταση, το αυτοκίνητό του θα ξεκινούσε πιο αργά απ' ό,τι βγήκε στον υπολογισμό.

Γιατί τα βαριά και τα ελαφριά σώματα πέφτουν το ίδιο

Στην ελεύθερη πτώση όλα τα σώματα έχουν στο ίδιο σημείο την ίδια επιτάχυνση g ≈ 9,81 m/s², η πέτρα και τα κλειδιά. Αυτό παρασύρει κάποιον να νομίσει ότι η βαρύτερη πέτρα πρέπει να πέφτει ταχύτερα, επειδή η Γη την τραβά με μεγαλύτερη δύναμη. Την τραβά, αλλά η βαρύτερη πέτρα έχει ταυτόχρονα μεγαλύτερη μάζα και έτσι αντιστέκεται περισσότερο στην αλλαγή της ταχύτητας.

Πόσο ζυγίζει ένα κιλό, το δείχνει το δυναμόμετρο: η Γη τραβά κάθε κιλό με δύναμη περίπου 9,81 N. Το βάρος αυξάνεται λοιπόν ανάλογα με τη μάζα:

$$B=m\cdot g$$

Ο αριθμός g εμφανίζεται εδώ ως δύναμη ανά κιλό, N/kg, και αυτό είναι το ίδιο με m/s². Μια μπάλα μάζας 0,5 kg την τραβά η Γη με δύναμη περίπου 4,9 N, μια μπάλα του μπόουλινγκ μάζας 5 kg με δέκα φορές μεγαλύτερη δύναμη, περίπου 49 N. Η μπάλα του μπόουλινγκ έχει όμως και δέκα φορές μεγαλύτερη μάζα:

$$\alpha =\frac{B}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Δέκα φορές μεγαλύτερη δύναμη, δέκα φορές μεγαλύτερη μάζα, ίδια επιτάχυνση. Γενικά $\alpha =\frac{m\cdot g}{m}=g$, η μάζα απλοποιείται.

Η μάζα παίζει διπλό ρόλο: καθορίζει πόσο δυνατά τραβά η Γη το σώμα και ταυτόχρονα πόσο αντιστέκεται το σώμα στην αλλαγή της ταχύτητάς του. Ότι και στους δύο ρόλους εμφανίζεται ο ίδιος αριθμός δεν είναι αυτονόητο· επαληθεύεται με μετρήσεις και ισχύει με τεράστια ακρίβεια. Χάρη σε αυτό το σφυρί πέφτει όπως το καρφί.

Στον αέρα προστίθεται η αντίσταση, που έχει φορά προς τα πάνω, και η συνισταμένη είναι το βάρος μειωμένο κατά την αντίσταση. Στην πέτρα η αντίσταση είναι αμελητέα μπροστά στο βάρος, στο πούπουλο, που σχεδόν δεν έχει βάρος, αφαιρεί από το βάρος σχεδόν τα πάντα. Γι' αυτό το πούπουλο στη Γη αιωρείται και η πέτρα πέφτει. Η αντίσταση του αέρα εξαρτάται από το σχήμα και την ταχύτητα του σώματος, όχι από τη μάζα του. Ισομεγέθη σφαιρίδια από ατσάλι και από πολυστυρένιο τα φρενάρει ο αέρας εξίσου, όταν έχουν την ίδια ταχύτητα. Όσο μεγαλύτερη όμως είναι η μάζα, τόσο λιγότερο η αντίσταση μειώνει την επιτάχυνση, οπότε στο ατσάλινο σφαιρίδιο αφαιρεί μόνο ένα ελάχιστο κομμάτι, ενώ το σφαιρίδιο από πολυστυρένιο το φρενάρει αισθητά.

Γιατί το κάθισμα μας σπρώχνει στην πλάτη

Όταν το αυτοκίνητο ξεκινά απότομα, νιώθεις τη ράχη του καθίσματος να σε σπρώχνει στην πλάτη. Αυτή είναι η δύναμη που σου προσδίδει την ίδια επιτάχυνση με το αυτοκίνητο και τώρα μπορούμε να την υπολογίσουμε. Η συνοδηγός έχει μάζα 60 kg. Σε ένα οικογενειακό αυτοκίνητο με επιτάχυνση 2,8 m/s² τη σπρώχνει η ράχη του καθίσματος με δύναμη

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

Σε ένα σπορ αυτοκίνητο με επιτάχυνση 9,3 m/s² είναι ήδη

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Για σύγκριση, από κάτω το κάθισμα τη στηρίζει με δύναμη ίση με το βάρος της, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Η ράχη του καθίσματος σπρώχνει λοιπόν σχεδόν εξίσου δυνατά όσο το κάθισμα από κάτω, και γι' αυτό λέμε ότι η συνοδηγός δέχεται σχεδόν 1g στην οριζόντια διεύθυνση. Ο λόγος των δύο δυνάμεων είναι ίδιος με τον λόγο των επιταχύνσεων $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, η μάζα της συνοδηγού απλοποιείται και εδώ.

Ο δεύτερος νόμος λέει λοιπόν τι κάνει μια δύναμη σε ένα σώμα. Μένει το ερώτημα από πού προέρχονται οι δυνάμεις και σε ποιον ασκούνται. Όταν σπρώχνεις το καροτσάκι, νιώθεις ότι το καροτσάκι σπρώχνει πίσω το χέρι σου. Με αυτό ασχολείται ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα.

Πώς λειτουργούν οι δυνάμεις σε ζεύγη, θα το δείξει το επόμενο άρθρο, Τρίτος νόμος του Νεύτωνα.