Newtons anden lov

I supermarkedet står to indkøbsvogne ved siden af hinanden. Den ene er tom og har massen 10 kg, den anden er fyldt med vand og konserves og har massen 25 kg. Du skubber til begge med samme kraft, 50 N. Den tomme vogn skyder af sted som et projektil, den fulde sætter sig kun trægt i gang. Præcis hvor meget, afslører Newtons anden lov, som også kaldes kraftloven. Hjulenes gnidning ser vi for enkelhedens skyld bort fra.

Begge vogne starter fra hvile, og de orange mærker viser placeringen af deres forende med regelmæssige tidsmellemrum. Hos begge vokser afstandene, de har altså begge acceleration. Men den tomme vogn kører på samme tid to og en halv gang så langt som den fulde, for dens acceleration er to og en halv gang så stor. Kraftpilene er lige lange hos begge vogne. Forskellen skyldes alene lasten.

Kraftloven

Isaac Newton skrev den ned i 1687 nogenlunde sådan:

Ændringen af bevægelsen er proportional med den påvirkende kraft og sker i retning af den linje, som kraften virker langs.

Massen mangler her kun tilsyneladende. Med bevægelse mente Newton produktet af masse og hastighed, så den ligger skjult i den.

Med nutidens ord: Jo større den kraft er, der virker på et legeme, desto større acceleration får det, og jo større massen er, desto mindre er accelerationen:

$$a=\frac{F}{m}$$

Fordobler vi kraften, fordobles accelerationen. Fordobler vi massen, falder accelerationen til det halve. Oftere skrives loven ganget med massen:

$$F=m\cdot a$$

Kraft og acceleration er vektorer, så den fulde skrivemåde er $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. Accelerationen peger altid i samme retning som kraften. Skubber du til vognen fremad, har den acceleration fremad. Trækker du i den bagud, har den acceleration bagud, og hvis den kørte fremad, bremser den.

Hold øje med én ting: $\overrightarrow{F}$ er den resulterende kraft af alle de kræfter, der virker på legemet, ikke bare den, vi lægger mærke til først. Er den resulterende kraft nul, er accelerationen også nul, og legemet står stille eller kører jævnt ligeud. Det er præcis, hvad Newtons første lov siger, og den anden indeholder den som et særtilfælde.

Lad os vende tilbage til vognene og beregne deres acceleration. Vi begynder med den tomme:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Og den fulde:

$$a=\frac{50\mathrm{N}}{25\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Hvorfor vi fik meter pr. sekund i anden, forklarer vi om lidt. Accelerationen 5 m/s² betyder, at den tomme vogns hastighed vokser med 5 m/s hvert sekund, hos den fulde kun med 2 m/s. Den fulde vogn har to og en halv gang så stor masse, så dens acceleration er to og en halv gang mindre. Hvis du skubbede til den tomme vogn dobbelt så hårdt, med kraften 100 N, ville den have dobbelt så stor acceleration, 10 m/s².

Ingen skubber dog til en vogn ret længe. Når du skubber i et halvt sekund, kommer den tomme vogn op på 5 m/s² · 0,5 s = 2,5 m/s, den fulde kun op på 2 m/s² · 0,5 s = 1 m/s.

Massen som mål for inerti

Et legeme holder fast i sin hastighed, til en kraft tvinger det til at ændre den. Det kalder vi inerti. Den anden lov sætter tal på den: jo større masse, desto mere modsætter legemet sig en ændring af hastigheden. Massen er et mål for inerti.

Derfor kan du sætte en tom vogn i gang med en finger, mens det er hårdt arbejde at standse en kørende fuld vogn. Det samme er grunden til, at en lastbil sætter langsommere i gang fra lyskrydset end en personbil, selv om den har en langt stærkere motor.

Et større legeme behøver desuden ikke have større masse. En beachvolleybold er større end en bowlingkugle, men du ville ikke have lyst til at sparke til kuglen. Kuglen har nemlig en meget større masse, så et lige så kraftigt spark sætter den kun lidt i gang, og foden stopper op mod den.

Inertien slipper vi ikke for, heller ikke der, hvor tingene ikke vejer noget. En astronaut på en rumstation løfter en kasse på hundrede kilo med én hånd, for kassen og stationen falder sammen rundt om Jorden, og kassen svæver vægtløs. Men når han vil sætte den i gang eller standse den på stationen, må han tage lige så hårdt fat i den som på Jorden. Kassen har stadig massen 100 kg og den samme inerti.

Hvor kommer newton fra

Kraftens enhed er newton, N = kg·m/s². Hvorfor netop denne, forklarer den anden lov, efter hvilken newton er defineret: én newton er den kraft, der giver et legeme med massen 1 kg accelerationen 1 m/s². Vi sætter ind i F = m · a:

$$1\mathrm{N}=1\mathrm{kg}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=1{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Heraf følger også enheden for accelerationen hos vognene. Vi dividerer newton med kilogram:

$$\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}}=\frac{{\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kilogrammene forkortes, og meter pr. sekund i anden bliver tilbage.

Hvor stor er en newton? Omtrent som når du holder et lille æble i hånden. Stil en literflaske vand med massen cirka 1 kg på helt glat is og træk i den hele tiden med den samme kraft 1 N. Flasken accelererer hele tiden: efter et sekund kører den 1 m/s, efter to 2 m/s. En konstant kraft holder ikke hastigheden konstant, men ændrer den hele tiden.

Med hvilken kraft sætter en bil i gang

En familiebil med massen 1200 kg accelererer fra nul til 100 km/h på ti sekunder, så den har en acceleration på cirka 2,8 m/s². Hvor stor en resulterende kraft skal der virke på bilen for det?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{kg}\\ a& =2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Formlen er allerede isoleret, så vi sætter direkte ind:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =3360\mathrm{N}\end{array}$$

Enhederne passer: kilogram gange meter pr. sekund i anden er newton. Der skal virke en resulterende kraft på cirka 3360 N på bilen, altså over tre kilonewton. Læg mærke til ordet resulterende. Mod bilens bevægelse virker også luftmodstanden og dækkenes rullemodstand, så vejen må skubbe bilen via hjulene lidt hårdere endnu.

Flere kræfter på én gang

Som regel virker der flere kræfter på et legeme, og så går man altid frem på samme måde:

• tegn de kræfter, der virker på legemet, og vælg en positiv retning,
• læg dem sammen, og du får den resulterende kraft,
• divider den med massen, og du får accelerationen.

Tegn kun de kræfter, der virker på det legeme, du interesserer dig for. Den kraft, bilen trykker på vejen med, hører ikke med i beregningen af bilens acceleration, den virker på vejen. På denne fremgangsmåde bygger hele dynamikken, i de følgende artikler kommer der kun nye slags kræfter til.

Vores bil fra det forrige eksempel kører nu ad en landevej, og føreren giver mere gas. Vejen skubber den via hjulene fremad med kraften F₁ = 3000 N, luftmodstanden og rullemodstanden bremser den med kraften F₂ = 600 N.

Den røde pil er trækkraften, den blå modstanden og den grønne den resulterende kraft, alle i samme målestok. Lodret virker der på bilen desuden tyngdekraften nedad, og vejen trykker den opad med en lige så stor kraft. De ophæver hinanden, derfor tegner vi dem ikke ind på figuren.

Den positive retning vælger vi i kørselsretningen. Kræfterne har modsat retning, så deres størrelser trækkes fra hinanden:

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{N}-600\mathrm{N}=2400\mathrm{N}$$

Vi dividerer med massen:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Bilen har accelerationen 2 m/s². En hyppig fejl er kun at dividere trækkraften med massen. Så ville vi få 2,5 m/s², og det er for meget, for luftmodstanden ville gå tabt i sådan en beregning.

Samme fremgangsmåde virker i andre situationer. På motorvejen kører bilen med konstant fart, modstanden er her cirka 600 N, og trækkraften er lige så stor som modstanden, den resulterende kraft er nul, og det er accelerationen også. Når føreren slipper speederen, forsvinder trækkraften, og kun modstanden er tilbage, som peger mod den positive retning (vi ser bort fra motorbremsning):

$$a=\frac{-600\mathrm{N}}{1200\mathrm{kg}}=-0,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Negativ acceleration betyder, at bilen bremser.

Fremgangsmåden virker også den anden vej, fra accelerationen tilbage til kraften. Hvor stor en trækkraft har bilen brug for, for at have accelerationen 2,8 m/s² også med modstanden 600 N? Den resulterende kraft skal være F = m · a = 3360 N, som vi udregnede ovenfor. Af sammenhængen for den resulterende kraft isolerer vi trækkraften:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Vi sætter ind:

$$F_1=3360\mathrm{N}+600\mathrm{N}=3960\mathrm{N}$$

Trækkraften skal altså op på næsten fire kilonewton. Glemmer man modstanden, sætter bilen langsommere i gang, end beregningen viste.

Hvorfor tunge og lette ting falder lige hurtigt

I frit fald har alle legemer på samme sted den samme acceleration g ≈ 9,81 m/s², både en sten og nøgler. Det frister til at tro, at den tungere sten må falde hurtigere, fordi Jorden trækker i den med en større kraft. Det gør den, men den tungere sten har samtidig større masse, og derfor modsætter den sig mere en ændring af hastigheden.

Hvor hårdt Jorden trækker i et kilogram, viser en kraftmåler: Jorden trækker i hvert kilogram med cirka 9,81 N. Tyngdekraften vokser altså ligefrem proportionalt med massen:

$$F_t=m\cdot g$$

Tallet g optræder her som kraft pr. kilogram, N/kg, og det er det samme som m/s². I en bold med massen 0,5 kg trækker Jorden med cirka 4,9 N, i en bowlingkugle med massen 5 kg med ti gange så stor en kraft, cirka 49 N. Men kuglen har også ti gange så stor masse:

$$a=\frac{F_t}{m}=\frac{49\mathrm{N}}{5\mathrm{kg}}=\frac{4,9\mathrm{N}}{0,5\mathrm{kg}}\approx 9,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ti gange så stor kraft, ti gange så stor masse, den samme acceleration. Generelt er $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, massen forkortes.

Massen spiller en dobbelt rolle: Den bestemmer, hvor kraftigt Jorden trækker i legemet, og samtidig, hvor meget legemet modsætter sig en ændring af hastigheden. At det er det samme tal i begge roller, er ikke selvindlysende; det kontrolleres ved målinger og gælder med enorm nøjagtighed. Derfor falder en hammer som et søm.

I luft kommer der en modstand, der peger opad, og den resulterende kraft er tyngdekraften formindsket med modstanden. Ved en sten er modstanden ubetydelig i forhold til tyngdekraften, ved en fjer, der næsten ingenting vejer, tager den næsten hele tyngdekraften. Derfor svæver fjeren på Jorden, og stenen falder. Luftmodstanden afhænger af legemets form og hastighed, ikke af dets masse. Luften bremser lige store kugler af stål og af polystyren lige meget ved samme hastighed. Men jo større massen er, desto mindre trækker modstanden fra accelerationen, så for stålkuglen tager den kun en ubetydelig bid, mens polystyrenkuglen bremses mærkbart.

Hvorfor sædet trykker os i ryggen

Når bilen accelererer kraftigt, mærker du, hvordan ryglænet trykker dig i ryggen. Det er den kraft, der giver dig den samme acceleration som bilen, og nu kan vi regne på den. Passageren på forsædet har massen 60 kg. I familiebilen med accelerationen 2,8 m/s² trykker ryglænet på hende med kraften

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 2,8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=168\mathrm{N}.$$

I en sportsvogn med accelerationen 9,3 m/s² er det allerede

$$F=60\mathrm{kg}\cdot 9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=558\mathrm{N}.$$

Til sammenligning støtter sædet hende nedefra med en kraft svarende til tyngdekraften, 60 kg · 9,81 m/s² ≈ 589 N. Ryglænet trykker hende altså i ryggen næsten lige så kraftigt som sædet nedefra, og derfor taler vi om en g-kraft på næsten 1g i vandret retning. Forholdet mellem de to kræfter er det samme som forholdet mellem accelerationerne $\frac{9,3{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 0,95$, passagerens masse forkortes igen.

Newtons anden lov fortæller altså, hvad en kraft gør ved et legeme. Tilbage er spørgsmålet, hvor kræfterne kommer fra, og hvem de virker på. Når du skubber til en vogn, mærker du, at vognen trykker tilbage på din hånd. Det handler Newtons tredje lov om.

Hvordan kræfter virker i par, viser den næste artikel, Newtons tredje lov.