Другий закон Ньютона

У супермаркеті поруч стоять два візки. Один порожній і має масу 10 кг, другий наповнений водою та консервами і має масу 25 кг. Ти штовхаєш обидва однаковою силою 50 Н. Порожній візок зривається з місця, як куля, а повний ледве-ледве зрушує. Наскільки саме, підкаже другий закон Ньютона, який ще називають законом сили. Тертя коліс для простоти не враховуємо.

Обидва візки рушають зі стану спокою, а помаранчеві позначки показують положення їхнього переду через однакові проміжки часу. В обох відстані між позначками збільшуються, отже, обидва мають прискорення. Але порожній візок за той самий час проїжджає в дві з половиною рази довший шлях, бо його прискорення в дві з половиною рази більше. Стрілки сили в обох візків однаково довгі. Різницю робить лише вантаж.

Закон сили

Ісаак Ньютон записав його 1687 року приблизно так:

Зміна руху пропорційна прикладеній силі та відбувається в напрямку тієї прямої, вздовж якої ця сила діє.

Маси тут немає лише на позір. Рухом Ньютон називав добуток маси та швидкості, тож маса в ньому прихована.

Сучасною мовою: що більша сила діє на тіло, то більше його прискорення, а що більша маса тіла, то прискорення менше:

$$a=\frac{F}{m}$$

Якщо подвоїти силу, прискорення теж подвоїться. Якщо подвоїти масу, прискорення зменшиться вдвічі. Частіше закон записують помноженим на масу:

$$F=m\cdot a$$

Сила й прискорення — вектори, тож повний запис такий: $\overrightarrow{F}=m\cdot \overrightarrow{a}$. Прискорення завжди напрямлене так само, як сила. Якщо штовхнути візок уперед, його прискорення напрямлене вперед. Якщо потягнути назад, прискорення напрямлене назад, а коли візок їхав уперед, він сповільнюється.

Одне варто пам'ятати: $\overrightarrow{F}$ — це рівнодійна всіх сил, що діють на тіло, а не лише тієї, яку ми помітили першою. Коли рівнодійна нульова, нульове й прискорення, а тіло стоїть або рухається рівномірно прямолінійно. Саме це стверджує перший закон Ньютона, і другий закон містить його як окремий випадок.

Повернімося до візків і обчислімо їхні прискорення. Почнімо з порожнього:

$$a=\frac{50\mathrm{Н}}{10\mathrm{к}\mathrm{г}}=5{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

А тепер повний:

$$a=\frac{50\mathrm{Н}}{25\mathrm{к}\mathrm{г}}=2{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Чому вийшли метри за секунду в квадраті, пояснимо за мить. Прискорення 5 м/с² означає, що швидкість порожнього візка щосекунди зростає на 5 м/с, а повного — лише на 2 м/с. Повний візок у дві з половиною рази масивніший, тож його прискорення в стільки ж разів менше. Якби штовхнути порожній візок удвічі сильніше, силою 100 Н, його прискорення було б удвічі більшим, 10 м/с².

Але візок ніхто не штовхає довго. Якщо штовхнути його на півсекунди, порожній візок розженеться до 5 м/с² · 0,5 с = 2,5 м/с, а повний лише до 2 м/с² · 0,5 с = 1 м/с.

Маса як міра інерції

Тіло зберігає свою швидкість, доки сила не змусить її змінити. Це називають інерцією. Другий закон додає до неї число: що більша маса, то сильніше тіло опирається зміні швидкості. Маса є мірою інерції.

Тому порожній візок можна зрушити одним пальцем, а зупинити розігнаний повний візок дуже важко. З тієї самої причини вантажівка від світлофора рушає повільніше, ніж легковик, хоча має набагато потужніший двигун.

Більше тіло при цьому не обов'язково масивніше. М'яч для пляжного волейболу більший за кулю для боулінгу, але копнути кулю тобі не захочеться. Куля набагато масивніша, тож однаково сильний удар лише трохи її зрушить, а нога об неї вдариться.

Інерції не позбутися й там, де речі нічого не важать. Астронавт на космічній станції піднімає однією рукою стокілограмову скриню, бо і скриня, і станція разом падають навколо Землі, а скриня в невагомості ширяє в повітрі. Але щойно він захоче зрушити її з місця чи зупинити, доведеться докласти стільки ж зусиль, як на Землі. Скриня має ту саму масу 100 кг і ту саму інерцію.

Звідки взявся ньютон

Одиниця сили — ньютон, Н = кг·м/с². Чому саме так, пояснює другий закон, за яким ньютон і визначено: один ньютон — це сила, що надає тілу масою 1 кг прискорення 1 м/с². Підставимо в F = m · a:

$$1\mathrm{Н}=1\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot 1{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2=1{\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Звідси випливає й одиниця прискорення у випадку візків. Поділимо ньютон на кілограм:

$$\frac{\mathrm{Н}}{\mathrm{к}\mathrm{г}}=\frac{{\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}{\mathrm{к}\mathrm{г}}={\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Кілограми скорочуються, і лишаються метри за секунду в квадраті.

Наскільки великий один ньютон? Приблизно такою силою мале яблуко тисне на твою руку. Постав на ідеально гладкий лід літрову пляшку води масою близько 1 кг і тягни її весь час однаковою силою 1 Н. Пляшка прискорюється весь час: за секунду її швидкість стане 1 м/с, за дві — 2 м/с. Стала сила не підтримує сталої швидкості, а постійно її змінює.

З якою силою розганяється авто

Сімейне авто масою 1 200 кг розганяється від нуля до 100 км/год за десять секунд, тож має прискорення приблизно 2,8 м/с². Яка рівнодійна сил має для цього діяти на авто?

$$\begin{array}{rl}m& =1200\mathrm{к}\mathrm{г}\\ a& =2,8{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\\ F& =?(\mathrm{Н})\end{array}$$

Формула вже виражена, тому підставляємо одразу:

$$\begin{array}{rl}F& =m\cdot a\\ & =1200\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot 2,8{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\\ & =3360\mathrm{Н}\end{array}$$

Одиниці сходяться: кілограм, помножений на метр за секунду в квадраті, дає ньютон. На авто має діяти рівнодійна близько 3 360 Н, тобто понад три кілоньютони. Зверни увагу на слово рівнодійна. Проти руху авто діють ще й опір повітря та опір кочення шин, тож дорога має штовхати авто через колеса ще трохи сильніше.

Кілька сил одночасно

Здебільшого на тіло діє кілька сил, і тоді завжди діємо однаково:

• намалюй сили, що діють на тіло, і вибери додатний напрямок,
• додай їх і отримаєш рівнодійну,
• поділи її на масу і отримаєш прискорення.

Малюй лише сили, що діють на те тіло, яке тебе цікавить. Сила, якою авто тисне на дорогу, до обчислення прискорення авто не належить, вона діє на дорогу. На цьому порядку тримається вся динаміка, у наступних статтях до нього додаватимуться лише нові види сил.

Наше авто з попередньої задачі тепер їде сільською дорогою, і водій додає газу. Дорога штовхає його через колеса вперед із силою F₁ = 3 000 Н, опір повітря та опір кочення гальмують його із силою F₂ = 600 Н.

Червона стрілка — тяга, синя — опір, зелена — рівнодійна, усі в однаковому масштабі. Вертикально на авто діє ще сила тяжіння вниз, а дорога штовхає його вгору такою самою силою. Вони компенсують одна одну, тому на рисунку їх не малюємо.

Додатний напрямок виберемо за напрямком руху. Сили напрямлені протилежно, тож їхні модулі віднімаються:

$$F=F_1-F_2=3000\mathrm{Н}-600\mathrm{Н}=2400\mathrm{Н}$$

Ділимо на масу:

$$a=\frac{F}{m}=\frac{2400\mathrm{Н}}{1200\mathrm{к}\mathrm{г}}=2{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Авто має прискорення 2 м/с². Часта помилка — ділити на масу лише силу тяги. Вийшло б 2,5 м/с², а це забагато, бо опір повітря в такому обчисленні загубився б.

Так само можна розібрати й інші ситуації. На трасі авто їде зі сталою швидкістю, опір тут приблизно 600 Н, а тяга така сама, як опір, тож рівнодійна нульова й прискорення теж. Коли водій відпускає газ, тяга зникає й лишається тільки опір, напрямлений проти додатного напрямку (гальмування двигуном не враховуємо):

$$a=\frac{-600\mathrm{Н}}{1200\mathrm{к}\mathrm{г}}=-0,5{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Від'ємне прискорення означає, що авто сповільнюється.

Можна йти й у зворотному напрямку, від прискорення до сили. Яка потрібна тяга, щоб авто навіть з опором 600 Н мало прискорення 2,8 м/с²? Рівнодійна має бути F = m · a = 3 360 Н, як ми обчислили вище. З формули для рівнодійної виразимо тягу:

$$\begin{array}{rcl}{F}_1-F_2& =& F/+F_2\\ F_1& =& F+F_2\end{array}$$

Підставимо:

$$F_1=3360\mathrm{Н}+600\mathrm{Н}=3960\mathrm{Н}$$

Отже, тяга має сягати майже чотирьох кілоньютонів. Хто забув би про опір, у того авто розганялося б повільніше, ніж вийшло в обчисленні.

Чому важкі та легкі тіла падають однаково

У вільному падінні всі тіла в одному місці мають однакове прискорення g ≈ 9,81 м/с², і камінь, і ключі. Може здатися, що важчий камінь мусить падати швидше, адже Земля тягне його з більшою силою. Тягне, але важчий камінь має й більшу масу, тож сильніше опирається зміні швидкості.

З якою силою Земля притягує кілограм, покаже динамометр: кожен кілограм вона тягне із силою приблизно 9,81 Н. Отже, сила тяжіння зростає прямо пропорційно до маси:

$$F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}=m\cdot g$$

Число g тут виступає як сила на кілограм, Н/кг, а це те саме, що м/с². М'яч масою 0,5 кг Земля тягне із силою приблизно 4,9 Н, а кулю для боулінгу масою 5 кг — удесятеро більшою силою, близько 49 Н. Але й маса кулі вдесятеро більша:

$$a=\frac{F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}}{m}=\frac{49\mathrm{Н}}{5\mathrm{к}\mathrm{г}}=\frac{4,9\mathrm{Н}}{0,5\mathrm{к}\mathrm{г}}\approx 9,8{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Вдесятеро більша сила, вдесятеро більша маса, те саме прискорення. Загалом $a=\frac{m\cdot g}{m}=g$, маса скорочується.

Маса відіграє подвійну роль: визначає, з якою силою Земля тягне тіло, і водночас, наскільки тіло опирається зміні швидкості. Те, що в обох ролях виступає те саме число, не очевидно; це перевіряють вимірюванням, і воно виконується з величезною точністю. Завдяки цьому молоток падає так само, як цвях.

У повітрі додається опір, напрямлений угору, і рівнодійна дорівнює силі тяжіння, зменшеній на опір. У каменя опір порівняно з силою тяжіння нехтовно малий, а в пір'їнки, яка майже нічого не важить, він забирає майже всю силу тяжіння. Тому пір'їнка на Землі пурхає, а камінь падає. Опір повітря залежить від форми та швидкості тіла, а не від його маси. Однакові за розміром кульки зі сталі та з пінопласту повітря за однакової швидкості гальмує однаково. Але що більша маса, то менше опір відбирає від прискорення, тож у сталевої кульки він забирає лише крихітну частку, а пінопластову помітно сповільнює.

Чому сидіння тисне нам у спину

Коли авто різко рушає, ти відчуваєш, як спинка тисне тобі в спину. Це сила, що надає тобі таке саме прискорення, як і авто, і тепер ми вміємо її обчислити. Пасажирка має масу 60 кг. У сімейному авто з прискоренням 2,8 м/с² спинка тисне на неї із силою

$$F=60\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot 2,8{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2=168\mathrm{Н}.$$

У спортивному авто з прискоренням 9,3 м/с² це вже

$$F=60\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot 9,3{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2=558\mathrm{Н}.$$

Для порівняння, знизу її підтримує сидіння із силою, що дорівнює силі тяжіння, 60 кг · 9,81 м/с² ≈ 589 Н. Отже, спинка тисне в спину майже так само сильно, як сидіння знизу, тому й кажуть про перевантаження майже 1g у горизонтальному напрямку. Відношення обох сил таке саме, як відношення прискорень $\frac{9,3{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}{9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2}\approx 0,95$, маса пасажирки знову скорочується.

Отже, другий закон каже, що сила робить з тілом. Лишається питання, звідки сили беруться і на кого діють. Коли штовхаєш візок, відчуваєш, що візок тисне назад на твою руку. Цьому присвячено третій закон Ньютона.

Як сили діють парами, покаже наступна стаття, Третій закон Ньютона.