Cum rezolvi probleme de cinematică și dinamică

Un tren merge pe o linie dreaptă cu viteza constantă de 72 km/h. În cât timp parcurge 1,8 km?

Timpul este distanța împărțită la viteză. Cine ia însă calculatorul și împarte 1,8 la șaptezeci și doi obține 0,025 și nu știe ce să facă cu el. Secunde nu sunt, minute nici atât. Iar cine împarte 1.800 de metri la șaptezeci și doi obține 25, ceea ce pare destul de credibil și totuși este o prostie. O astfel de problemă se calculează ușor, mai greu este să nu greșești nimic. De aceea, în fizică merită să procedezi la fiecare problemă la fel, pas cu pas. Încercăm pașii imediat pe trenul acesta.

Ce știm și ce căutăm

Din enunț scriem mai întâi toate mărimile pe care le cunoaștem, fiecare cu litera ei, cu număr și cu unitate de măsură. Sub ele scriem ce căutăm, iar în loc de număr punem un semn de întrebare:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Poate părea o birocrație inutilă, dar în realitate ne scutește de multe necazuri. Vedem imediat ce avem la dispoziție și ce lipsește. Într-un enunț scris în propoziții numerele se pot trece ușor cu vederea sau se pot încurca, într-o coloană nu. Din mărimile care apar în coloană recunoaștem și formula: distanța, viteza și timpul, adică s = v · t.

Transformăm unitățile

Viteza o avem în kilometri pe oră, distanța în kilometri. Înainte de calculul propriu-zis transformăm ambele în unități fundamentale, adică în metri, secunde și metri pe secundă. Viteza o împărțim la numărul 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

iar distanța o înmulțim cu o mie:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1.000\mathrm{m}=1.800\mathrm{m}.$$

Valorile transformate le completăm direct în notare:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1.800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

Unitatea din paranteză după semnul întrebării ne spune în ce vom obține rezultatul. Dacă înlocuim metri și metri pe secundă, timpul iese în secunde.

Trebuie să fie neapărat metri și secunde? Nu. Putem calcula foarte bine și în kilometri și ore. Distanța este în kilometri, viteza în kilometri pe oră, deci timpul ar ieși în ore. Important este un singur lucru: unitățile nu se amestecă. Dacă împărțim 1.800 m la viteza 72, care este în kilometri pe oră, iese 25 într-o unitate care nu este nici secundă, nici oră. Și tocmai acesta este acel 25 aparent credibil din introducere.

Schița

La problemele despre mișcare aproape întotdeauna merită să desenezi o figură. Nu trebuie să fie frumoasă și nici la scară. Ajunge un tren ca o cutie cu roți, o săgeată încotro merge și tronsonul de linie pe care trebuie să-l parcurgă.

Săgeata roșie este viteza v, cota albastră este distanța s pe care trebuie s-o parcurgă trenul. La fiecare parte a figurii adăugăm litera mărimii, eventual și valoarea. Cu un singur tren pe o linie dreaptă schița e aproape de la sine înțeleasă. De îndată ce vor merge două mașini una spre alta sau trenul va trece printr-un tunel și va conta lungimea lui, figura arată adesea înaintea calculului ce se întâmplă de fapt în problemă.

Mai întâi literele, numerele abia la urmă

Numerele am vrea să le înlocuim imediat. Mai bine însă rezolvăm mai întâi toată problema în general, adică doar cu litere, și numerele le înlocuim abia în formula finală. Din formula s = v · t exprimăm timpul, împărțind ambele părți la viteză:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Abia acum vin la rând valorile transformate:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1.800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Trenul parcurge 1,8 km în 90 s, adică într-un minut și jumătate.

De ce atâta ceremonie, când puteam împărți direct? La o problemă atât de scurtă diferența este mică, dar rezolvarea generală are mai multe avantaje, care se văd repede la problemele mai lungi:

• După formula cu litere putem vedea dacă are sens. În formula $t=\frac{s}{v}$ distanța este la numărător, deci o linie mai lungă înseamnă un timp mai lung. Viteza este la numitor, deci un tren mai rapid ajunge mai repede. Amândouă se potrivesc.
• Formula ne permite să verificăm unitățile, despre asta peste puțin.
• Dacă greșim, știm unde să căutăm. Într-un rând plin de numere greșeala se ascunde mult mai bine.
• Calculatorul îl luăm în mână o singură dată și rotunjim abia rezultatul. De ce contează, vom vedea la greșelile tipice.
• Dacă se schimbă enunțul, de exemplu trenul va merge mai repede, ajunge să înlocuim din nou. Formula o avem deja.

Se potrivesc unitățile?

Am înlocuit și cu unitățile de măsură și cu ele calculăm la fel ca cu numerele. Metrii se simplifică cu metrii, iar a împărți la o fracție este același lucru cu a înmulți cu fracția inversată:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Au ieșit secunde, adică unitatea timpului pe care îl căutăm. Cu kilometri și ore ar ieși la fel:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Verificarea unităților descoperă și o formulă exprimată greșit. Cine ar inversa numărătorul cu numitorul și ar calcula $t=\frac{v}{s}$ ar obține

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

iar asta nu este unitate de timp. Știm imediat că ceva nu e bine, fără să mai calculăm nimic.

Ambele căi dau același rezultat

Trenul îl mai parcurgem o dată în kilometri și ore, ca să ne convingem că funcționează:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Iată misteriosul 0,025 din introducere. De data aceasta știm că sunt ore, pentru că kilometrii împărțiți la kilometri pe oră dau ore. În secunde transformăm înlocuind ora cu 3.600 s:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3.600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Au ieșit aceleași 90 s. Care cale este mai bună? Depinde de enunț. În cinematică și dinamică vom transforma aproape întotdeauna în metri și secunde, pentru că în ele se calculează și accelerațiile, și forțele. La călătoriile cu mașina sau cu trenul, unde totul este în kilometri și ore, e de obicei mai comod să rămânem la ele.

Este rezultatul rezonabil?

La sfârșit estimăm dacă rezultatul are sens. Viteza 72 km/h înseamnă 72 km în șaizeci de minute, adică 1,2 km pe minut. Distanța 1,8 km este de 1,5 ori mai lungă, așa că trenului îi va lua de 1,5 ori mai mult decât un minut. Un minut și jumătate, se potrivește. Răspuns: trenul parcurge 1,8 km într-un minut și jumătate.

Adesea ajunge experiența obișnuită. Raluca merge pe jos la școală 1,5 km și îi ia 18 min. Cu ce viteză merge? Cine împarte metrii la minute obține

$$\frac{1.500}{18}\approx 83,3,$$

iar dacă uită că sunt metri pe minut, și nu pe secundă, și „transformă” în kilometri pe oră, îi iese 83,3 · 3,6 ≈ 300. Raluca ar merge la școală cu viteza de 300 km/h, mai repede decât un TGV. Un astfel de rezultat este greșit, chiar dacă nu bănuim unde s-a produs greșeala. Corect transformăm minutele în secunde, 18 · 60 s = 1.080 s, și obținem

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1.500\mathrm{m}}{1.080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

După înmulțirea cu numărul 3,6 este aproximativ 5 km/h, un mers obișnuit. Pentru o verificare grosieră e bun tabelul vitezelor: pietonul merge cu aproximativ 5 km/h, biciclistul cu aproximativ 20 km/h, mașina pe autostradă cu 130 km/h. O mașină care merge cu 3.000 km/h sau un tren care parcurge un kilometru în trei secunde este un semnal clar că trebuie să căutăm greșeala.

Procedeul pe scurt

Tot procedeul l-am parcurs pe tren. Îl rezumăm:

1. Notarea datelor. Scriem ce știm, fiecare mărime cu literă, număr și unitate de măsură, și ce căutăm, cu semn de întrebare.

2. Transformarea unităților. Transformăm totul în aceleași unități, de obicei în metri, secunde și metri pe secundă.

3. Schița. Desenăm ce se întâmplă și scriem pe figură mărimile.

4. Rezolvarea generală. Din formulă exprimăm mărimea căutată, doar cu litere.

5. Înlocuirea. În formula finală înlocuim numerele cu tot cu unități și calculăm rezultatul.

6. Verificarea unităților. Verificăm că a ieșit unitatea mărimii căutate.

7. Estimarea. Ne întrebăm dacă rezultatul este rezonabil și răspundem cu o propoziție întreagă la întrebarea din enunț.

La fel vom proceda în toate problemele următoare, inclusiv la dinamică. Acolo la mărimi se adaugă forțele, iar schița va fi și mai importantă, pentru că vom desena în ea ce forță acționează încotro.

Greșeli tipice

Minute introduse ca ore. Un pieton merge cu viteza 5 km/h. Unde ajunge în 15 min? Cine înlocuiește în s = v · t direct numărul 15 obține

$$s=5\cdot 15=75,$$

iar pentru că viteza era în kilometri pe oră, scrie 75 km. Atunci pietonul ar ajunge într-un sfert de oră de la București aproape până la Târgoviște. Viteza este în kilometri pe oră, deci timpul trebuie să fie în ore. Cincisprezece minute înseamnă un sfert de oră, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

O astfel de greșeală o trecem ușor cu vederea când înlocuim numerele fără unități. Cu unitățile ne-ar fi ieșit kilometri pe oră ori minute, iar asta nu se simplifică.

Zecimile de oră nu sunt minute. De exemplu 1,5 h nu înseamnă o oră și cincizeci, ci o oră și treizeci de minute, pentru că ora are șaizeci de minute, nu o sută. La fel, 0,25 h nu înseamnă douăzeci și cinci de minute, ci cincisprezece. Partea zecimală a orei o transformi în minute înmulțind-o cu șaizeci:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Rotunjirea rezultatelor intermediare. Să ne uităm din nou la trenul calculat în ore. Ne-a ieșit 0,025 h. Cine este obișnuit să rotunjească la două zecimale scrie 0,03 h și continuă:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3.600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

În loc de 90 s a ieșit 108 s, cu 18 s mai mult. Eroarea este de douăzeci la sută și doar din cauza unei rotunjiri care pare nevinovată. Am adăugat doar cinci miimi de oră, dar 0,025 este un număr mic, iar cinci miimi sunt o cincime întreagă din el. După înmulțirea cu 3.600, din cinci miimi de oră au ieșit 18 s. De aceea nu rotunji deloc rezultatele intermediare sau păstrează cu două-trei cifre mai mult decât vrei să ai în rezultat. Cea mai sigură este rezolvarea generală: calculăm cu numere abia la sfârșit și rotunjim o singură dată, rezultatul final, în unitățile în care îl vrem.

Biciclistul de la început până la sfârșit

La sfârșit parcurgem o problemă întreagă, pas cu pas. Un biciclist merge pe o pistă de biciclete cu viteza constantă de 18 km/h. În cât timp parcurge 4,5 km?

Scriem ce știm și ce căutăm:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Distanța este în kilometri, iar viteza în kilometri pe oră, unitățile nu se amestecă, așa că de data aceasta nu trebuie să transformăm și timpul ne iese în ore. Pentru verificare îl vom calcula apoi și în secunde. Schița este aproape aceeași ca la tren:

Rezolvarea generală o știm de la tren, $t=\frac{s}{v}$. Înlocuim:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Unitățile se potrivesc, kilometrii împărțiți la kilometri pe oră dau ore. Un sfert de oră corespunde apoi la

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Acum același lucru în unități fundamentale. Transformăm:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4.500\mathrm{m}\end{array}$$

și înlocuim:

$$t=\frac{4.500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Minutul are șaizeci de secunde, deci $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Ambele căi duc la același rezultat.

Are rezultatul sens? Într-o oră biciclistul ar parcurge 18 km, într-un sfert de oră deci un sfert, 4,5 km. Exact cât trebuia să parcurgă. Răspunsul îl scriem cu o propoziție întreagă: biciclistul parcurge 4,5 km în 15 min.

Cu același procedeu rezolvăm și probleme de mișcare în care două mașini se întâlnesc sau una o ajunge din urmă pe cealaltă. Acolo schița și rezolvarea generală merită cu adevărat.