Aufgaben zur Kinematik und Dynamik lösen
Ein Zug fährt auf gerader Strecke mit konstanten 72 km/h. Wie lange braucht er für 1,8 km?
Die Zeit ist der Weg geteilt durch die Geschwindigkeit. Wer aber den Taschenrechner nimmt und 1,8 durch zweiundsiebzig teilt, erhält 0,025 und weiß nichts damit anzufangen. Sekunden sind das nicht, Minuten auch nicht. Und wer 1.800 Meter durch zweiundsiebzig teilt, erhält 25, was ziemlich glaubwürdig aussieht und trotzdem Unsinn ist. Eine solche Aufgabe ist leicht zu rechnen, schwerer ist es, dabei nichts zu verpatzen. In der Physik lohnt es sich deshalb, bei jeder Aufgabe gleich vorzugehen, Schritt für Schritt. Wir probieren es gleich an diesem Zug aus.
Gegeben und gesucht
Aus der Aufgabe schreiben wir zuerst alle Größen heraus, die wir kennen, jede mit ihrem Buchstaben, mit Zahl und Einheit. Darunter schreiben wir, was wir suchen, und setzen statt der Zahl ein Fragezeichen:
Das kann wie unnötiger Schreibkram wirken, erspart aber in Wirklichkeit viel Ärger. Sofort sehen wir, was uns zur Verfügung steht und was fehlt. In einer Aufgabe, die in Sätzen geschrieben ist, übersieht oder vertauscht man Zahlen leicht, in einer Spalte nicht. Anhand der Größen in der Spalte erkennen wir auch die Formel: Weg, Geschwindigkeit und Zeit, das ist s = v · t.
Einheiten umrechnen
Die Geschwindigkeit haben wir in Kilometern pro Stunde, den Weg in Kilometern. Bevor wir loslegen, rechnen wir beides in Basiseinheiten um, also in Meter, Sekunden und Meter pro Sekunde. Die Geschwindigkeit teilen wir durch die Zahl 3,6:
und den Weg multiplizieren wir mit tausend:
Die umgerechneten Werte tragen wir gleich in die Aufstellung ein:
Die Einheit in der Klammer hinter dem Fragezeichen verrät, in welcher Einheit das Ergebnis herauskommt. Wenn wir Meter und Meter pro Sekunde einsetzen, kommt die Zeit in Sekunden heraus.
Müssen es Meter und Sekunden sein? Nein. Wir können genauso gut in Kilometern und Stunden rechnen. Der Weg ist in Kilometern, die Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde, also käme die Zeit in Stunden heraus. Wichtig ist nur eines: Einheiten dürfen nicht gemischt werden. Wenn wir 1.800 m durch die Geschwindigkeit 72 teilen, die in Kilometern pro Stunde ist, kommt 25 von etwas heraus, das weder Sekunden noch Stunden sind. Und das ist genau die glaubwürdig aussehende Fünfundzwanzig aus der Einleitung.
Skizze
Bei Bewegungsaufgaben lohnt es sich fast immer, ein Bild zu zeichnen. Es muss nicht schön sein und nicht maßstabsgetreu. Es genügt ein Zug als Kästchen mit Rädern, ein Pfeil, wohin er fährt, und der Streckenabschnitt, den er zurücklegen soll.
Der rote Pfeil ist die Geschwindigkeit v, die blaue Bemaßung der Weg s, den der Zug zurücklegen soll. Zu jedem Teil des Bildes schreiben wir den Buchstaben der Größe an, gegebenenfalls auch den Wert. Bei einem einzigen Zug auf gerader Strecke ist die Skizze fast selbstverständlich. Sobald aber zwei Autos aufeinander zufahren oder ein Zug durch einen Tunnel fährt und es auf seine Länge ankommt, verrät oft das Bild früher als die Rechnung, was in der Aufgabe eigentlich geschieht.
Zuerst die Buchstaben, die Zahlen erst am Ende
Am liebsten würden wir die Zahlen sofort einsetzen. Besser ist es aber, die ganze Aufgabe zuerst allgemein zu lösen, also nur mit Buchstaben, und die Zahlen erst in die fertige Formel einzusetzen. Aus der Formel s = v · t drücken wir die Zeit aus und teilen beide Seiten durch die Geschwindigkeit:
Erst jetzt sind die umgerechneten Werte an der Reihe:
Der Zug legt 1,8 km in 90 s zurück, also in anderthalb Minuten.
Wozu der ganze Aufwand, wo wir doch gleich hätten teilen können? Bei einer so kurzen Aufgabe ist der Unterschied klein, aber die allgemeine Lösung hat mehrere Vorteile, die sich bei längeren Aufgaben schnell zeigen:
- An der Formel mit Buchstaben erkennen wir, ob sie sinnvoll ist. In der Formel
- Die Formel erlaubt uns, die Einheiten zu kontrollieren, dazu gleich mehr.
- Wenn wir uns verrechnen, wissen wir, wo wir suchen müssen. In einer Zeile voller Zahlen versteckt sich ein Fehler viel besser.
- Den Taschenrechner nehmen wir nur einmal in die Hand und runden erst das Ergebnis. Warum das wichtig ist, sehen wir bei den typischen Fehlern.
- Wenn sich die Aufgabe ändert, der Zug zum Beispiel schneller fährt, genügt es, neu einzusetzen. Die Formel haben wir ja schon.
Stimmen die Einheiten?
Wir haben auch die Einheiten eingesetzt, und mit ihnen rechnen wir genauso wie mit Zahlen. Meter kürzen sich mit Metern, und durch einen Bruch zu teilen ist dasselbe, wie mit dem Kehrbruch zu multiplizieren:
Es kamen Sekunden heraus, also die Einheit der Zeit, die wir suchen. Mit Kilometern und Stunden ginge es genauso aus:
Die Einheitenkontrolle deckt auch eine falsch umgestellte Formel auf. Wer Zähler und Nenner vertauschte und
und das ist keine Einheit der Zeit. Sofort wissen wir, dass etwas nicht stimmt, und müssen nicht einmal etwas ausrechnen.
Beide Wege führen zum selben Ergebnis
Den Zug rechnen wir noch einmal in Kilometern und Stunden durch, damit wir uns überzeugen, dass es funktioniert:
Da ist die rätselhafte 0,025 aus der Einleitung. Diesmal wissen wir, dass es Stunden sind, denn Kilometer geteilt durch Kilometer pro Stunde ergeben Stunden. In Sekunden rechnen wir um, indem wir für die Stunde 3.600 s einsetzen:
Es kamen dieselben 90 s heraus. Welcher Weg ist besser? Das hängt von der Aufgabe ab. In der Kinematik und Dynamik werden wir fast immer in Meter und Sekunden umrechnen, weil auch Beschleunigungen und Kräfte in ihnen gerechnet werden. Bei Reisen mit dem Auto oder Zug, wo alles in Kilometern und Stunden angegeben ist, ist es bequemer, bei ihnen zu bleiben.
Ist das Ergebnis vernünftig?
Zum Schluss schätzen wir ab, ob das Ergebnis Sinn ergibt. Die Geschwindigkeit 72 km/h bedeutet 72 km in sechzig Minuten, also 1,2 km in einer Minute. Der Weg 1,8 km ist anderthalbmal so lang, der Zug braucht also anderthalbmal so lange wie eine Minute. Anderthalb Minuten, passt. Antwort: Der Zug legt 1,8 km in anderthalb Minuten zurück.
Oft genügt die gewöhnliche Erfahrung. Paula geht 1,5 km zu Fuß zur Schule und braucht dafür 18 min. Mit welcher Geschwindigkeit geht sie? Wer Meter durch Minuten teilt, erhält
und wenn er vergisst, dass das Meter pro Minute sind und nicht pro Sekunde, und es in Kilometer pro Stunde „umrechnet“, kommt 83,3 · 3,6 ≈ 300 heraus. Paula würde mit 300 km/h zur Schule gehen, schneller als ein ICE. Ein solches Ergebnis ist falsch, auch wenn wir nicht ahnen, wo der Fehler passiert ist. Richtig rechnen wir die Minuten in Sekunden um, 18 · 60 s = 1.080 s, und erhalten
Mit 3,6 multipliziert sind das etwa 5 km/h, ein gewöhnliches Gehtempo. Für eine grobe Kontrolle eignet sich die Tabelle der Geschwindigkeiten: Ein Fußgänger geht mit etwa 5 km/h, ein Radfahrer mit etwa 20 km/h, ein Auto auf der Autobahn fährt 130 km/h. Ein Auto, das mit 3.000 km/h fährt, oder ein Zug, der einen Kilometer in drei Sekunden zurücklegt, ist ein klares Zeichen, dass man nach einem Fehler suchen muss.
Das Vorgehen im Überblick
Das ganze Vorgehen sind wir am Zug durchgegangen. Fassen wir es zusammen:
1. Angaben notieren. Wir schreiben auf, was wir kennen, jede Größe mit Buchstabe, Zahl und Einheit, und was wir suchen, mit Fragezeichen.
2. Einheiten umrechnen. Wir rechnen alles auf gleiche Einheiten um, meist auf Meter, Sekunden und Meter pro Sekunde.
3. Skizze. Wir zeichnen, was geschieht, und schreiben die Größen zum Bild.
4. Allgemeine Lösung. Wir drücken die gesuchte Größe aus der Formel aus, nur mit Buchstaben.
5. Einsetzen. In die fertige Formel setzen wir die Zahlen samt Einheiten ein und berechnen das Ergebnis.
6. Einheitenkontrolle. Wir kontrollieren, dass die Einheit der gesuchten Größe herauskam.
7. Abschätzung. Wir fragen uns, ob das Ergebnis vernünftig ist, und beantworten die Frage aus der Aufgabe mit einem ganzen Satz.
Genauso gehen wir in allen weiteren Aufgaben vor, auch in der Dynamik. Dort kommen zu den Größen Kräfte hinzu, und die Skizze wird noch wichtiger, weil wir in sie einzeichnen, welche Kraft wo wirkt.
Typische Fehler
Minuten als Stunden eingesetzt. Ein Fußgänger geht mit 5 km/h. Wie weit kommt er in 15 min? Wer in s = v · t gleich die Fünfzehn einsetzt, erhält
und weil die Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde war, schreibt er 75 km. Damit käme der Fußgänger in einer Viertelstunde von Frankfurt fast bis nach Mannheim. Die Geschwindigkeit ist in Kilometern pro Stunde, also muss die Zeit in Stunden sein. Fünfzehn Minuten sind eine Viertelstunde, 0,25 h:
Einen solchen Fehler übersieht man leicht, wenn man Zahlen ohne Einheiten einsetzt. Mit Einheiten kämen Kilometer pro Stunde mal Minuten heraus, und das kürzt sich nicht.
Zehntelstunden sind keine Minuten. Zum Beispiel sind 1,5 h nicht eine Stunde fünfzig, sondern eine Stunde und dreißig Minuten, weil eine Stunde sechzig Minuten hat, nicht hundert. Genauso sind 0,25 h nicht fünfundzwanzig Minuten, sondern fünfzehn. Den Dezimalteil einer Stunde rechnest du in Minuten um, indem du ihn mit sechzig multiplizierst:
Runden von Zwischenergebnissen. Schauen wir uns noch einmal den in Stunden gerechneten Zug an. Es kamen 0,025 h heraus. Wer es gewohnt ist, auf zwei Dezimalstellen zu runden, schreibt 0,03 h und rechnet weiter:
Statt 90 s kamen 108 s heraus, also 18 s mehr. Der Fehler beträgt zwanzig Prozent, und das nur wegen einer harmlos aussehenden Rundung. Wir haben ja nur fünf Tausendstel einer Stunde dazugegeben, aber 0,025 ist eine kleine Zahl, und fünf Tausendstel sind ein ganzes Fünftel davon. Nach der Multiplikation mit 3.600 wurden aus fünf Tausendstel einer Stunde 18 s. Zwischenergebnisse solltest du deshalb gar nicht runden, oder zumindest zwei, drei Stellen mehr behalten, als du im Ergebnis haben willst. Am sichersten ist die allgemeine Lösung: Mit Zahlen rechnen wir erst am Ende und runden nur einmal, erst das fertige Ergebnis in der Einheit, in der wir es haben wollen.
Ein Radfahrer von Anfang bis Ende
Zum Schluss gehen wir ein Beispiel ganz durch, Schritt für Schritt. Ein Radfahrer fährt auf einem Radweg mit konstanten 18 km/h. Wie lange braucht er für 4,5 km?
Wir schreiben auf, was wir wissen und was wir suchen:
Der Weg ist in Kilometern und die Geschwindigkeit in Kilometern pro Stunde, die Einheiten werden nicht gemischt, also müssen wir diesmal nicht umrechnen, und die Zeit kommt in Stunden heraus. Zur Kontrolle rechnen wir sie danach noch in Sekunden. Die Skizze ist fast dieselbe wie beim Zug:
Die allgemeine Lösung kennen wir vom Zug,
Die Einheiten stimmen, Kilometer geteilt durch Kilometer pro Stunde ergeben Stunden. Eine Viertelstunde entspricht
Jetzt dasselbe in Basiseinheiten. Wir rechnen um:
und setzen ein:
Eine Minute hat sechzig Sekunden, also sind
Ergibt das Ergebnis Sinn? In einer Stunde würde der Radfahrer 18 km zurücklegen, in einer Viertelstunde also ein Viertel davon, 4,5 km. Genau so viel, wie er zurücklegen sollte. Die Antwort schreiben wir als ganzen Satz: Der Radfahrer legt 4,5 km in 15 min zurück.
Mit demselben Vorgehen schaffen wir auch Bewegungsaufgaben, in denen sich zwei Autos begegnen oder eines das andere einholt. Dort lohnen sich Skizze und allgemeine Lösung wirklich.
