Hogyan oldjuk meg a kinematikai és dinamikai feladatokat

Egy vonat egyenes pályán állandó 72 km/h sebességgel megy. Mennyi idő alatt tesz meg 1,8 km utat?

Az idő az út osztva a sebességgel. Aki viszont fogja a számológépet, és elosztja az 1,8-et hetvenkettővel, 0,025-öt kap, és nem tudja, mihez kezdjen vele. Másodperc nem lehet, perc sem. Aki pedig 1800 métert oszt el hetvenkettővel, 25-öt kap, ami elég hihetően néz ki, pedig értelmetlen. Az ilyen feladatot könnyű kiszámolni, a nehezebb az, hogy közben ne rontsunk el semmit. A fizikában ezért megéri minden feladatnál ugyanúgy, lépésről lépésre haladni. Rögtön kipróbáljuk ezt a vonaton.

Mit tudunk és mit keresünk

A szövegből először kiírjuk az összes ismert mennyiséget, mindegyiket a saját betűjével, számmal és mértékegységgel. Alá odaírjuk, hogy mit keresünk, a szám helyére kérdőjelet téve:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Ez felesleges papírmunkának tűnhet, valójában viszont sok bosszúságtól kímél meg. Rögtön látjuk, mi áll rendelkezésünkre, és mi hiányzik. A mondatokban megfogalmazott szövegben a számok könnyen elsiklanak vagy felcserélődnek, az oszlopban nem. Abból is megállapítjuk a képletet, hogy melyik mennyiségek szerepelnek az oszlopban: az út, a sebesség és az idő, vagyis s = v · t.

Átváltjuk a mértékegységeket

A sebességünk kilométer per órában van, az utunk kilométerben. Mielőtt nekilátnánk a számolásnak, mindkettőt átváltjuk alapegységekre, vagyis méterre, másodpercre és méter per másodpercre. A sebességet elosztjuk a 3,6 számmal:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

az utat pedig megszorozzuk ezerrel:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1000\mathrm{m}=1800\mathrm{m}.$$

Az átváltott értékeket rögtön beírjuk a feljegyzésbe:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

A kérdőjel utáni zárójelben lévő mértékegység elárulja, miben kapjuk az eredményt. Ha méterekkel és méter per másodperccel helyettesítünk, az idő másodpercben jön ki.

Muszáj méternek és másodpercnek lennie? Nem muszáj. Nyugodtan számolhatunk kilométerben és órában is. Az út kilométerben, a sebesség kilométer per órában van, így az idő órában jönne ki. Egyetlen dolog fontos: a mértékegységeket nem szabad keverni. Ha az 1800 m utat elosztjuk a kilométer per órában megadott 72 sebességgel, 25 jön ki valamiben, ami nem másodperc és nem is óra. Éppen ez a hihetően kinéző huszonöt a bevezetőből.

Vázlat

A mozgással kapcsolatos feladatoknál szinte mindig megéri lerajzolni egy ábrát. Nem kell szépnek lennie, és léptékhelyesnek sem. Elég a vonat egy kerekes dobozként, egy nyíl, amerre megy, és a pályaszakasz, amelyet meg kell tennie.

A piros nyíl a v sebesség, a kék méretvonal az s út, amelyet a vonatnak meg kell tennie. Az ábra minden részéhez odaírjuk a mennyiség betűjét, esetleg az értékét is. Egyetlen vonatnál az egyenes pályán a vázlat szinte magától értetődő. Amint azonban két autó megy egymással szemben, vagy a vonat alagúton halad át, és számít a hossza, az ábra gyakran előbb elárulja, mi történik a feladatban, mint a számolás.

Először a betűk, a számok csak a végén

Legszívesebben rögtön behelyettesítenénk a számokat. Jobb azonban az egész feladatot először általánosan megoldani, vagyis csak betűkkel, és a számokat csak a kész képletbe írni be. Az s = v · t képletből kifejezzük az időt, mindkét oldalt elosztjuk a sebességgel:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Most jönnek az átváltott értékek:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

A vonat az 1,8 km utat 90 s alatt teszi meg, vagyis másfél perc alatt.

Minek ennyi szertartás, amikor rögtön oszthattunk is volna? Ilyen rövid feladatnál a különbség kicsi, de az általános megoldásnak van néhány előnye, amely a hosszabb feladatoknál gyorsan megmutatkozik:

• A betűkkel írt képletből megállapítjuk, van-e értelme. A $t=\frac{s}{v}$ képletben az út van a számlálóban, tehát hosszabb pálya hosszabb időt jelent. A sebesség a nevezőben van, tehát a gyorsabb vonat hamarabb odaér. Mindkettő stimmel.
• A képlet lehetővé teszi a mértékegységek ellenőrzését, erről mindjárt lesz szó.
• Ha hibázunk, tudjuk, hol keressük a hibát. A számokkal teli sorban a hiba sokkal jobban elbújik.
• A számológépet csak egyszer vesszük a kezünkbe, és csak az eredményt kerekítjük. Hogy ez miért számít, a tipikus hibáknál látjuk.
• Ha megváltozik a feladat, például a vonat gyorsabban megy, elég újra behelyettesíteni. A képlet már megvan.

Stimmelnek a mértékegységek?

A mértékegységekkel együtt helyettesítettünk be, és velük ugyanúgy számolunk, mint a számokkal. A méter egyszerűsödik a méterrel, és törttel osztani ugyanaz, mint a reciprokával szorozni:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Másodperc jött ki, vagyis az idő mértékegysége, amelyet keresünk. Kilométerrel és órával ugyanígy járnánk:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

A mértékegységek ellenőrzése a rosszul kifejezett képletet is leleplezi. Aki felcserélné a számlálót a nevezővel, és $t=\frac{v}{s}$ szerint számolna, ezt kapná:

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

az pedig nem az idő mértékegysége. Rögtön tudjuk, hogy valami nincs rendben, és számolnunk sem kell.

Mindkét út ugyanazt adja

A vonatot még egyszer végigvesszük kilométerben és órában, hogy meggyőződjünk róla, működik:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Itt a rejtélyes 0,025 a bevezetőből. Most tudjuk, hogy óra, mert kilométer osztva kilométer per órával órát ad. Másodpercre úgy váltunk át, hogy az óra helyére 3600 s kerül:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Ugyanaz a 90 s jött ki. Melyik út a jobb? A feladattól függ. A kinematikában és a dinamikában szinte mindig méterre és másodpercre váltunk át, mert ezekben számoljuk a gyorsulást és az erőket is. Autós vagy vonatos utazásnál, ahol minden kilométerben és órában van, kényelmesebb náluk maradni.

Ésszerű az eredmény?

Végül megbecsüljük, van-e értelme az eredménynek. A 72 km/h sebesség azt jelenti, hogy hatvan perc alatt 72 km, tehát percenként 1,2 km. Az 1,8 km út másfélszer olyan hosszú, így a vonatnak másfélszer annyi ideig tart, mint egy perc. Másfél perc, stimmel. A válasz: a vonat az 1,8 km utat másfél perc alatt teszi meg.

Gyakran elég a puszta tapasztalat. Panna gyalog megy az iskolába, 1,5 km az út, és 18 min alatt ér oda. Milyen sebességgel megy? Aki a métereket elosztja a percekkel, ezt kapja:

$$\frac{1500}{18}\approx 83,3,$$

és ha elfelejti, hogy ez méter per perc, nem méter per másodperc, és „átváltja” kilométer per órára, 83,3 · 3,6 ≈ 300 jön ki. Panna 300 km/h sebességgel járna iskolába, gyorsabban, mint egy nagysebességű vonat. Az ilyen eredmény hibás, még ha nem is tudjuk, hol történt a hiba. Helyesen a perceket másodpercre váltjuk, 18 · 60 s = 1080 s, és ezt kapjuk:

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{m}}{1080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

A 3,6 számmal megszorozva ez nagyjából 5 km/h, közönséges gyaloglás. A durva ellenőrzéshez jól jön a sebességek táblázata: a gyalogos körülbelül 5 km/h sebességgel megy, a kerékpáros körülbelül 20 km/h, az autó az autópályán 130 km/h. Az az autó, amely 3000 km/h sebességgel megy, vagy az a vonat, amely a kilométert három másodperc alatt teszi meg, egyértelmű jel, hogy hibát kell keresni.

Az eljárás dióhéjban

Az egész eljárást végigvettük a vonaton. Foglaljuk össze:

1. Adatok. Kiírjuk, amit tudunk, minden mennyiséget betűvel, számmal és mértékegységgel, és amit keresünk, kérdőjellel.

2. Mértékegységek átváltása. Mindent azonos mértékegységre váltunk át, általában méterre, másodpercre és méter per másodpercre.

3. Vázlat. Lerajzoljuk, mi történik, és az ábrához odaírjuk a mennyiségeket.

4. Általános megoldás. A képletből kifejezzük a keresett mennyiséget, csak betűkkel.

5. Behelyettesítés. A kész képletbe a számokat mértékegységgel együtt behelyettesítjük, és kiszámoljuk az eredményt.

6. A mértékegységek ellenőrzése. Ellenőrizzük, hogy a keresett mennyiség mértékegysége jött ki.

7. Becslés. Megkérdezzük, ésszerű-e az eredmény, és a feladat kérdésére egész mondattal válaszolunk.

Ugyanígy fogunk eljárni az összes további feladatban, a dinamikában is. Ott a mennyiségek közé erők is kerülnek, és a vázlat még fontosabb lesz, mert abba fogjuk berajzolni, melyik erő hová hat.

Tipikus hibák

Percek behelyettesítve órák helyett. A gyalogos 5 km/h sebességgel megy. Hová jut el 15 min alatt? Aki az s = v · t képletbe rögtön a tizenötöt írja, ezt kapja:

$$s=5\cdot 15=75,$$

és mivel a sebesség kilométer per órában volt, azt írja, hogy 75 km. Ennyit a gyalogos negyed óra alatt Budapestről majdnem Kecskemétig tenne meg. A sebesség kilométer per órában van, tehát az időnek órában kell lennie. A tizenöt perc negyed óra, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Az ilyen hibát könnyen átnézzük, ha a számokat mértékegység nélkül helyettesítjük be. A mértékegységekkel kilométer per óra szorozva perccel jönne ki, és az nem egyszerűsödik.

Az óra tizedei nem percek. Például az 1,5 h nem egy óra ötven perc, hanem egy óra harminc perc, mert az órának hatvan perce van, nem száz. Ugyanígy a 0,25 h nem huszonöt perc, hanem tizenöt. Az óra tizedes részét úgy váltjuk át percre, hogy megszorozzuk hatvannal:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

A közbenső eredmények kerekítése. Nézzük meg újra az órákban számolt vonatot. Az idő 0,025 h jött ki. Aki két tizedesjegyre szokott kerekíteni, azt írja, hogy 0,03 h, és folytatja:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

A 90 s helyett 108 s jött ki, 18 s értékkel több. A hiba húsz százalék, pusztán egyetlen ártatlannak tűnő kerekítés miatt. Hiszen csak öt ezredórát tettünk hozzá, de a 0,025 kis szám, és az öt ezred ennek az egész ötöde. A 3600-zal való szorzás után az öt ezredórából 18 s lett. A közbenső eredményeket ezért egyáltalán ne kerekítsd, vagy hagyj meg legalább két-három számjeggyel többet, mint amennyit az eredményben szeretnél. A legbiztosabb az általános megoldás: a számokkal csak a végén számolunk, és csak egyszer kerekítünk, a kész eredményt abban a mértékegységben, amelyben meg akarjuk kapni.

A kerékpáros az elejétől a végéig

Végül egy feladatot végigveszünk teljesen, lépésről lépésre. Egy kerékpáros kerékpárúton halad állandó 18 km/h sebességgel. Mennyi idő alatt tesz meg 4,5 km utat?

Felírjuk, amit tudunk és amit keresünk:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Az út kilométerben, a sebesség kilométer per órában van, a mértékegységek nincsenek keverve, ezért ezúttal nem kell átváltanunk, és az idő órában jön ki. Ellenőrzésképpen utána másodpercben is kiszámoljuk. A vázlat majdnem ugyanolyan, mint a vonatnál:

Az általános megoldást ismerjük a vonatról, $t=\frac{s}{v}$. Behelyettesítünk:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

A mértékegységek stimmelnek, kilométer osztva kilométer per órával órát ad. A negyed óra ennek felel meg:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Most ugyanez alapegységekben. Átváltunk:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4500\mathrm{m}\end{array}$$

és behelyettesítünk:

$$t=\frac{4500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

A percnek hatvan másodperce van, így $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Mindkét út ugyanarra az eredményre vezet.

Van értelme az eredménynek? Egy óra alatt a kerékpáros 18 km utat tenne meg, negyed óra alatt tehát ennek a negyedét, 4,5 km utat. Pontosan annyit, amennyit meg kellett tennie. A választ egész mondattal írjuk le: a kerékpáros a 4,5 km utat 15 min alatt teszi meg.

Ugyanezzel az eljárással megoldjuk a mozgásos szöveges feladatokat is, amelyekben két autó találkozik, vagy az egyik utoléri a másikat. Ott a vázlat és az általános megoldás igazán megéri.