Πώς λύνουμε ασκήσεις κινηματικής και δυναμικής

Ένα τρένο κινείται σε ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα 72 km/h. Σε πόσο χρόνο διανύει 1,8 km;

Ο χρόνος είναι το διάστημα διαιρεμένο με την ταχύτητα. Όποιος όμως πάρει το κομπιουτεράκι και διαιρέσει το 1,8 με το εβδομήντα δύο, βρίσκει 0,025 και δεν ξέρει τι να το κάνει. Δευτερόλεπτα δεν είναι, λεπτά επίσης όχι. Και όποιος διαιρέσει τα 1.800 μέτρα με το εβδομήντα δύο, βρίσκει 25, που φαίνεται αρκετά πιστευτό, και παρ' όλα αυτά είναι ανοησία. Μια τέτοια άσκηση λύνεται εύκολα, το δύσκολο είναι να μην κάνεις κανένα λάθος. Γι' αυτό στη φυσική αξίζει να ακολουθούμε σε κάθε άσκηση την ίδια διαδικασία, βήμα βήμα. Θα τη δοκιμάσουμε αμέσως σε αυτό το τρένο.

Τι ξέρουμε και τι ζητάμε

Από την εκφώνηση γράφουμε πρώτα όλα τα μεγέθη που γνωρίζουμε, το καθένα με το γράμμα του, με αριθμό και μονάδα. Από κάτω γράφουμε τι ζητάμε, και στη θέση του αριθμού βάζουμε ερωτηματικό:

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Μπορεί να φαίνεται περιττή γραφειοκρατία, στην πραγματικότητα όμως μας γλιτώνει από πολλή ταλαιπωρία. Αμέσως βλέπουμε τι έχουμε στη διάθεσή μας και τι λείπει. Σε εκφώνηση γραμμένη με προτάσεις οι αριθμοί εύκολα ξεφεύγουν ή μπερδεύονται μεταξύ τους, σε στήλη όχι. Από το ποια μεγέθη βρίσκονται στη στήλη καταλαβαίνουμε και τον τύπο: διάστημα, ταχύτητα και χρόνος, αυτό είναι το s = υ · t.

Μετατρέπουμε τις μονάδες

Την ταχύτητα την έχουμε σε χιλιόμετρα ανά ώρα, το διάστημα σε χιλιόμετρα. Πριν από τον ίδιο τον υπολογισμό μετατρέπουμε και τα δύο σε θεμελιώδεις μονάδες, δηλαδή σε μέτρα, δευτερόλεπτα και μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Την ταχύτητα τη διαιρούμε με τον αριθμό 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

και το διάστημα το πολλαπλασιάζουμε με το χίλια:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1.000\mathrm{m}=1.800\mathrm{m}.$$

Τις τιμές μετά τη μετατροπή τις συμπληρώνουμε κατευθείαν στην καταγραφή:

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1.800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

Η μονάδα σε παρένθεση μετά το ερωτηματικό μας λέει σε τι θα βρούμε το αποτέλεσμα. Όταν αντικαταστήσουμε μέτρα και μέτρα ανά δευτερόλεπτο, ο χρόνος βγαίνει σε δευτερόλεπτα.

Πρέπει να είναι μέτρα και δευτερόλεπτα; Δεν είναι υποχρεωτικό. Μπορούμε άνετα να υπολογίσουμε και σε χιλιόμετρα και ώρες. Το διάστημα είναι σε χιλιόμετρα, η ταχύτητα σε χιλιόμετρα ανά ώρα, άρα ο χρόνος θα βγει σε ώρες. Το μόνο που μετράει: οι μονάδες δεν πρέπει να αναμειγνύονται. Όταν διαιρέσουμε 1.800 m με την ταχύτητα 72, που είναι σε χιλιόμετρα ανά ώρα, βγαίνει 25 κάποιου πράγματος που δεν είναι ούτε δευτερόλεπτα ούτε ώρες. Και αυτό ακριβώς είναι εκείνο το πιστευτό εικοσιπεντάρι από την αρχή.

Σχήμα

Στις ασκήσεις κίνησης σχεδόν πάντα αξίζει να κάνουμε ένα σχήμα. Δεν χρειάζεται να είναι όμορφο ούτε υπό κλίμακα. Αρκεί το τρένο ως κουτάκι με ρόδες, ένα βέλος προς τα πού κινείται και το τμήμα της γραμμής που πρέπει να διανύσει.

Το κόκκινο βέλος είναι η ταχύτητα υ, η μπλε γραμμή διάστασης είναι το διάστημα s που πρέπει να διανύσει το τρένο. Σε κάθε μέρος του σχήματος σημειώνουμε το γράμμα του μεγέθους, ενδεχομένως και την τιμή. Με ένα τρένο σε ευθεία γραμμή το σχήμα είναι σχεδόν αυτονόητο. Μόλις όμως κινηθούν δύο αυτοκίνητα το ένα προς το άλλο ή περάσει το τρένο μέσα από σήραγγα και έχει σημασία το μήκος της, το σχήμα συχνά αποκαλύπτει πριν από τον υπολογισμό τι συμβαίνει πραγματικά στην άσκηση.

Πρώτα τα γράμματα, οι αριθμοί στο τέλος

Τους αριθμούς θα θέλαμε να τους αντικαταστήσουμε αμέσως. Καλύτερα όμως να λύσουμε πρώτα ολόκληρη την άσκηση γενικά, δηλαδή μόνο με γράμματα, και τους αριθμούς να τους αντικαταστήσουμε στον έτοιμο τύπο. Από τον τύπο s = υ · t εκφράζουμε τον χρόνο, διαιρώντας και τα δύο μέλη με την ταχύτητα:

$$\begin{array}{rcl}\upsilon \cdot t& =& s/:\upsilon \\ t& =& \frac{s}{\upsilon }\end{array}$$

Μόνο τώρα έρχεται η σειρά των τιμών μετά τη μετατροπή:

$$t=\frac{s}{\upsilon }=\frac{1.800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Το τρένο διανύει 1,8 km σε 90 s, δηλαδή σε ενάμισι λεπτό.

Γιατί τόση τελετουργία, αφού μπορούσαμε να διαιρέσουμε κατευθείαν; Σε τόσο σύντομη άσκηση η διαφορά είναι μικρή, η γενική λύση όμως έχει αρκετά πλεονεκτήματα, που φαίνονται γρήγορα στις μεγαλύτερες ασκήσεις:

• Από τον τύπο με γράμματα καταλαβαίνουμε αν βγάζει νόημα. Στον τύπο $t=\frac{s}{\upsilon }$ το διάστημα είναι στον αριθμητή, άρα μεγαλύτερη διαδρομή σημαίνει μεγαλύτερο χρόνο. Η ταχύτητα είναι στον παρονομαστή, άρα ένα πιο γρήγορο τρένο θα τα καταφέρει νωρίτερα. Και τα δύο ταιριάζουν.
• Ο τύπος μάς επιτρέπει να ελέγξουμε τις μονάδες, γι' αυτό θα μιλήσουμε σε λίγο.
• Όταν κάνουμε λάθος, ξέρουμε πού να ψάξουμε. Σε μια γραμμή γεμάτη αριθμούς το λάθος κρύβεται πολύ πιο εύκολα.
• Το κομπιουτεράκι το παίρνουμε στο χέρι μόνο μία φορά και στρογγυλοποιούμε μόνο το αποτέλεσμα. Γιατί έχει σημασία, θα το δούμε στα τυπικά λάθη.
• Όταν αλλάξει η εκφώνηση, για παράδειγμα το τρένο κινηθεί πιο γρήγορα, αρκεί να αντικαταστήσουμε ξανά. Τον τύπο τον έχουμε ήδη.

Βγαίνουν οι μονάδες;

Αντικαταστήσαμε και με τις μονάδες και με αυτές υπολογίζουμε όπως με τους αριθμούς. Τα μέτρα απλοποιούνται με τα μέτρα και η διαίρεση με κλάσμα είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό με το αντίστροφο κλάσμα:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Βγήκαν δευτερόλεπτα, δηλαδή η μονάδα του χρόνου που ζητάμε. Με χιλιόμετρα και ώρες θα κατέληγε το ίδιο:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Ο έλεγχος των μονάδων αποκαλύπτει και λάθος εκφρασμένο τύπο. Όποιος αντάλλαζε τον αριθμητή με τον παρονομαστή και υπολόγιζε $t=\frac{\upsilon }{s}$, θα έβρισκε

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

και αυτό δεν είναι μονάδα χρόνου. Αμέσως ξέρουμε ότι κάτι δεν πάει καλά και δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε τίποτα.

Και οι δύο δρόμοι δίνουν το ίδιο

Το τρένο θα το υπολογίσουμε άλλη μία φορά σε χιλιόμετρα και ώρες, για να βεβαιωθούμε ότι λειτουργεί:

$$t=\frac{s}{\upsilon }=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Να το αινιγματικό 0,025 από την αρχή. Αυτή τη φορά ξέρουμε ότι πρόκειται για ώρες, επειδή τα χιλιόμετρα διαιρεμένα με χιλιόμετρα ανά ώρα δίνουν ώρες. Σε δευτερόλεπτα μετατρέπουμε βάζοντας στη θέση της ώρας 3.600 s:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3.600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Βγήκαν τα ίδια 90 s. Ποιος δρόμος είναι καλύτερος; Εξαρτάται από την εκφώνηση. Στην κινηματική και τη δυναμική σχεδόν πάντα θα μετατρέπουμε σε μέτρα και δευτερόλεπτα, επειδή σε αυτά υπολογίζονται και οι επιταχύνσεις και οι δυνάμεις. Στα ταξίδια με αυτοκίνητο ή τρένο, όπου όλα είναι σε χιλιόμετρα και ώρες, είναι συνήθως πιο βολικό να μείνουμε σε αυτά.

Είναι λογικό το αποτέλεσμα;

Στο τέλος εκτιμούμε αν το αποτέλεσμα βγάζει νόημα. Ταχύτητα 72 km/h σημαίνει 72 km σε εξήντα λεπτά, δηλαδή 1,2 km σε ένα λεπτό. Το διάστημα 1,8 km είναι μιάμιση φορά μεγαλύτερο, άρα το τρένο θα χρειαστεί μιάμιση φορά περισσότερο από ένα λεπτό. Ενάμισι λεπτό, ταιριάζει. Απάντηση: το τρένο διανύει 1,8 km σε ενάμισι λεπτό.

Συχνά αρκεί η απλή εμπειρία. Η Παυλίνα πηγαίνει με τα πόδια στο σχολείο 1,5 km και κάνει 18 min. Με ποια ταχύτητα περπατά; Όποιος διαιρέσει τα μέτρα με τα λεπτά, βρίσκει

$$\frac{1.500}{18}\approx 83,3,$$

και αν ξεχάσει ότι αυτά είναι μέτρα ανά λεπτό και όχι ανά δευτερόλεπτο, και «μετατρέψει» σε χιλιόμετρα ανά ώρα, βγαίνει 83,3 · 3,6 ≈ 300. Η Παυλίνα θα πήγαινε στο σχολείο με ταχύτητα 300 km/h, πιο γρήγορα από ένα τρένο υψηλής ταχύτητας. Ένα τέτοιο αποτέλεσμα είναι λάθος, ακόμη κι αν δεν έχουμε ιδέα πού έγινε το λάθος. Σωστά μετατρέπουμε τα λεπτά σε δευτερόλεπτα, 18 · 60 s = 1.080 s, και βρίσκουμε

$$\upsilon =\frac{s}{t}=\frac{1.500\mathrm{m}}{1.080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Αν το πολλαπλασιάσουμε με τον αριθμό 3,6, είναι περίπου 5 km/h, ένα συνηθισμένο περπάτημα. Για πρόχειρο έλεγχο χρησιμεύει ο πίνακας ταχυτήτων: ο πεζός περπατά γύρω στα 5 km/h, ο ποδηλάτης γύρω στα 20 km/h, το αυτοκίνητο στον αυτοκινητόδρομο 130 km/h. Ένα αυτοκίνητο που κινείται με 3.000 km/h ή ένα τρένο που διανύει ένα χιλιόμετρο σε τρία δευτερόλεπτα είναι σαφές σημάδι ότι πρέπει να ψάξουμε για λάθος.

Η διαδικασία συνοπτικά

Ολόκληρη τη διαδικασία την περάσαμε πάνω στο τρένο. Θα τη συνοψίσουμε:

1. Καταγραφή. Γράφουμε τι ξέρουμε, κάθε μέγεθος με γράμμα, αριθμό και μονάδα, και τι ζητάμε, με ερωτηματικό.

2. Μετατροπή μονάδων. Μετατρέπουμε τα πάντα στις ίδιες μονάδες, συνήθως σε μέτρα, δευτερόλεπτα και μέτρα ανά δευτερόλεπτο.

3. Σχήμα. Σχεδιάζουμε τι συμβαίνει και σημειώνουμε στο σχήμα τα μεγέθη.

4. Γενική λύση. Από τον τύπο εκφράζουμε το μέγεθος που ζητάμε, μόνο με γράμματα.

5. Αντικατάσταση. Στον έτοιμο τύπο αντικαθιστούμε τους αριθμούς μαζί με τις μονάδες και υπολογίζουμε το αποτέλεσμα.

6. Έλεγχος μονάδων. Ελέγχουμε ότι βγήκε η μονάδα του μεγέθους που ζητάμε.

7. Εκτίμηση. Αναρωτιόμαστε αν το αποτέλεσμα είναι λογικό και απαντάμε με πλήρη πρόταση στο ερώτημα της εκφώνησης.

Με τον ίδιο τρόπο θα προχωρήσουμε σε όλες τις επόμενες ασκήσεις, και στη δυναμική. Εκεί στα μεγέθη προστίθενται οι δυνάμεις και το σχήμα θα είναι ακόμη πιο σημαντικό, επειδή θα σχεδιάζουμε σε αυτό ποια δύναμη ασκείται πού.

Τυπικά λάθη

Λεπτά που αντικαθίστανται ως ώρες. Ένας πεζός περπατά με ταχύτητα 5 km/h. Πού θα φτάσει σε 15 min; Όποιος αντικαταστήσει στο s = υ · t κατευθείαν το δεκαπέντε, βρίσκει

$$s=5\cdot 15=75,$$

και επειδή η ταχύτητα ήταν σε χιλιόμετρα ανά ώρα, γράφει 75 km. Έτσι ο πεζός σε ένα τέταρτο της ώρας θα έφτανε από την Αθήνα σχεδόν ως την Κόρινθο. Η ταχύτητα είναι σε χιλιόμετρα ανά ώρα, άρα ο χρόνος πρέπει να είναι σε ώρες. Δεκαπέντε λεπτά είναι ένα τέταρτο της ώρας, 0,25 h:

$$s=\upsilon \cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Ένα τέτοιο λάθος εύκολα μας ξεφεύγει, όταν αντικαθιστούμε αριθμούς χωρίς μονάδες. Με τις μονάδες θα μας έβγαιναν χιλιόμετρα ανά ώρα επί λεπτά, και αυτά δεν απλοποιούνται.

Τα δέκατα της ώρας δεν είναι λεπτά. Για παράδειγμα τα 1,5 h δεν είναι μία ώρα και πενήντα, αλλά μία ώρα και τριάντα λεπτά, επειδή η ώρα έχει εξήντα λεπτά, όχι εκατό. Το ίδιο και τα 0,25 h δεν είναι είκοσι πέντε λεπτά, αλλά δεκαπέντε. Το δεκαδικό μέρος της ώρας το μετατρέπεις σε λεπτά πολλαπλασιάζοντάς το με το εξήντα:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Στρογγυλοποίηση ενδιάμεσων αποτελεσμάτων. Ας δούμε ξανά το τρένο υπολογισμένο σε ώρες. Βγήκε 0,025 h. Όποιος έχει συνηθίσει να στρογγυλοποιεί σε δύο δεκαδικά, γράφει 0,03 h και συνεχίζει:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3.600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

Αντί για 90 s βγήκαν 108 s, κατά 18 s περισσότερα. Το λάθος είναι είκοσι τοις εκατό, και μόνο εξαιτίας μίας φαινομενικά αθώας στρογγυλοποίησης. Προσθέσαμε μόνο πέντε χιλιοστά της ώρας, αλλά το 0,025 είναι μικρός αριθμός και πέντε χιλιοστά είναι ένα ολόκληρο πέμπτο του. Μετά τον πολλαπλασιασμό με το 3.600 τα πέντε χιλιοστά της ώρας έγιναν 18 s. Γι' αυτό τα ενδιάμεσα αποτελέσματα να μην τα στρογγυλοποιείς καθόλου ή να κρατάς τουλάχιστον δύο τρία ψηφία παραπάνω από όσα θέλεις να έχεις στο αποτέλεσμα. Ασφαλέστερη είναι η γενική λύση: με τους αριθμούς υπολογίζουμε μόνο στο τέλος και στρογγυλοποιούμε μόνο μία φορά, το έτοιμο αποτέλεσμα στις μονάδες στις οποίες θέλουμε να το έχουμε.

Ο ποδηλάτης από την αρχή ως το τέλος

Στο τέλος θα λύσουμε μία άσκηση ολόκληρη, βήμα βήμα. Ένας ποδηλάτης κινείται σε ποδηλατόδρομο με σταθερή ταχύτητα 18 km/h. Σε πόσο χρόνο διανύει 4,5 km;

Καταγράφουμε τι ξέρουμε και τι ζητάμε:

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Το διάστημα είναι σε χιλιόμετρα και η ταχύτητα σε χιλιόμετρα ανά ώρα, οι μονάδες δεν αναμειγνύονται, άρα αυτή τη φορά δεν χρειάζεται να μετατρέψουμε και ο χρόνος θα βγει σε ώρες. Για έλεγχο θα τον υπολογίσουμε μετά και σε δευτερόλεπτα. Το σχήμα είναι σχεδόν ίδιο με του τρένου:

Τη γενική λύση την ξέρουμε από το τρένο, $t=\frac{s}{\upsilon }$. Αντικαθιστούμε:

$$t=\frac{s}{\upsilon }=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Οι μονάδες βγαίνουν, τα χιλιόμετρα διαιρεμένα με χιλιόμετρα ανά ώρα δίνουν ώρες. Το ένα τέταρτο της ώρας αντιστοιχεί τότε σε

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Τώρα το ίδιο σε θεμελιώδεις μονάδες. Μετατρέπουμε:

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4.500\mathrm{m}\end{array}$$

και αντικαθιστούμε:

$$t=\frac{4.500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Το λεπτό έχει εξήντα δευτερόλεπτα, άρα $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Και οι δύο δρόμοι οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα.

Βγάζει νόημα το αποτέλεσμα; Σε μία ώρα ο ποδηλάτης θα διένυε 18 km, σε ένα τέταρτο της ώρας επομένως το ένα τέταρτο, 4,5 km. Ακριβώς όσο έπρεπε να διανύσει. Την απάντηση τη γράφουμε με πλήρη πρόταση: ο ποδηλάτης διανύει 4,5 km σε 15 min.

Με την ίδια διαδικασία θα λύσουμε και τα προβλήματα κίνησης, στα οποία δύο αυτοκίνητα συναντιούνται ή το ένα φτάνει το άλλο. Εκεί το σχήμα και η γενική λύση αποδεικνύονται πραγματικά χρήσιμα.