Slik løser du oppgaver i kinematikk og dynamikk

Et tog kjører på et rett spor med konstant fart 72 km/h. Hvor lang tid bruker det på 1,8 km?

Tiden er strekningen delt på farten. Men den som tar kalkulatoren og deler 1,8 på syttito, får 0,025 og vet ikke hva han skal bruke det til. Sekunder er det ikke, minutter heller ikke. Og den som deler 1800 meter på syttito, får 25, som ser ganske troverdig ut, og likevel er det tull. En slik oppgave er lett å regne ut, det vanskelige er å ikke rote den til. I fysikk lønner det seg derfor å gå fram på samme måte i hver oppgave, steg for steg. Vi prøver det straks på toget.

Hva vi vet og hva vi leter etter

Fra oppgaveteksten skriver vi først opp alle størrelsene vi kjenner, hver med sin bokstav, med tall og enhet. Under skriver vi hva vi leter etter, og setter et spørsmålstegn i stedet for tallet:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Det kan virke som unødvendig papirarbeid, men det sparer deg for mye strev. Vi ser straks hva vi har til rådighet og hva som mangler. I en oppgavetekst skrevet med setninger er det lett å overse eller bytte om på tallene, i en kolonne er det ikke det. Ut fra hvilke størrelser som står i kolonnen kjenner vi også igjen formelen: strekning, fart og tid, det er s = v · t.

Vi regner om enhetene

Farten har vi i kilometer i timen, strekningen i kilometer. Før selve regningen regner vi begge om til grunnenheter, altså meter, sekunder og meter per sekund. Farten deler vi på tallet 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

og strekningen multipliserer vi med tusen:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1000\mathrm{m}=1800\mathrm{m}.$$

De omregnede verdiene setter vi rett inn i oppsettet:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

Enheten i parentes bak spørsmålstegnet røper hva vi får resultatet i. Når vi setter inn meter og meter per sekund, blir tiden i sekunder.

Må det være meter og sekunder? Nei. Vi kan godt regne i kilometer og timer også. Strekningen er i kilometer, farten i kilometer i timen, så tiden ville blitt i timer. Det eneste som er viktig: enhetene må ikke blandes. Når vi deler 1800 m på farten 72, som er i kilometer i timen, får vi 25 av noe som verken er sekunder eller timer. Og det er nettopp den troverdig utseende femogtjueren fra innledningen.

Skisse

Ved oppgaver om bevegelse lønner det seg nesten alltid å tegne et bilde. Det trenger ikke være pent eller i målestokk. Det holder med et tog som en eske med hjul, en pil som viser hvor det kjører, og stykket av sporet det skal tilbakelegge.

Den røde pilen er farten v, det blå målet er strekningen s som toget skal tilbakelegge. Ved hver del av bildet skriver vi bokstaven for størrelsen, eventuelt også verdien. Med ett tog på et rett spor er skissen nesten selvsagt. Men så snart to biler kjører mot hverandre, eller et tog kjører gjennom en tunnel og lengden på det har betydning, avslører bildet ofte før regningen hva som egentlig skjer i oppgaven.

Først bokstavene, tallene til slutt

Vi ville helst satt inn tallene med en gang. Det er imidlertid bedre å løse hele oppgaven først generelt, altså bare med bokstaver, og sette inn tallene først i den ferdige formelen. Fra formelen s = v · t løser vi ut tiden ved å dele begge sider på farten:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Først nå er det de omregnede verdienes tur:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Toget tilbakelegger 1,8 km på 90 s, altså på halvannet minutt.

Hvorfor all denne seremonien når vi kunne dele rett løs? I en så kort oppgave er forskjellen liten, men den generelle løsningen har flere fordeler som raskt viser seg i lengre oppgaver:

• Ut fra formelen med bokstaver ser vi om den gir mening. I formelen $t=\frac{s}{v}$ står strekningen i telleren, så lengre strekning betyr lengre tid. Farten står i nevneren, så et raskere tog rekker det tidligere. Begge deler stemmer.
• Formelen lar oss kontrollere enhetene, mer om det om litt.
• Når vi gjør en feil, vet vi hvor vi skal lete. I en linje full av tall gjemmer feilen seg mye bedre.
• Kalkulatoren tar vi i hånden bare én gang, og vi runder av først resultatet. Hvorfor det har noe å si, ser vi ved de typiske feilene.
• Hvis oppgaven endres, for eksempel at toget kjører raskere, er det bare å sette inn på nytt. Formelen har vi allerede.

Stemmer enhetene?

Vi har satt inn med enheter, og dem regner vi med som med tall. Meter forkortes mot meter, og å dele på en brøk er det samme som å multiplisere med den omvendte brøken:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Vi fikk sekunder, altså enheten for tid, som er det vi leter etter. Med kilometer og timer ville det gått på samme måte:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Kontrollen av enheter avslører også en formel som er løst feil. Den som byttet om teller og nevner og regnet $t=\frac{v}{s}$, ville fått

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

og det er ikke en enhet for tid. Vi vet med en gang at noe er galt, og trenger ikke engang regne.

Begge veier gir det samme

Toget kjører vi en gang til i kilometer og timer, for å overbevise oss om at det fungerer:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Her er det mystiske 0,025 fra innledningen. Denne gangen vet vi at det er timer, fordi kilometer delt på kilometer i timen gir timer. Til sekunder regner vi om ved å sette inn 3600 s for en time:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Vi fikk de samme 90 s. Hvilken vei er best? Det kommer an på oppgaven. I kinematikk og dynamikk regner vi nesten alltid om til meter og sekunder, fordi akselerasjon og krefter regnes i dem. Ved reiser med bil eller tog, der alt er i kilometer og timer, er det ofte praktisk å bli der.

Er resultatet rimelig?

Til slutt gjør vi et overslag for å se om resultatet gir mening. Farten 72 km/h betyr 72 km på seksti minutter, altså 1,2 km per minutt. Strekningen 1,8 km er halvannen gang så lang, så toget bruker halvannen gang så lang tid som ett minutt. Halvannet minutt, det stemmer. Svar: toget tilbakelegger 1,8 km på halvannet minutt.

Ofte holder det med vanlig erfaring. Pernille har 1,5 km til skolen og bruker 18 min på å gå dit. Hvilken fart har hun? Den som deler meter på minutter, får

$$\frac{1500}{18}\approx 83,3,$$

og hvis han glemmer at det er meter per minutt, og ikke per sekund, og «regner om» til kilometer i timen, får han 83,3 · 3,6 ≈ 300. Pernille ville gått til skolen med farten 300 km/h, raskere enn et høyhastighetstog. Et slikt resultat er feil, selv om vi ikke aner hvor feilen skjedde. Riktig regner vi om minutter til sekunder, 18 · 60 s = 1080 s, og får

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{m}}{1080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Multiplisert med tallet 3,6 er det omtrent 5 km/h, helt vanlig gange. Til en grov kontroll passer tabellen over farter: en fotgjenger går omtrent 5 km/h, en syklist omtrent 20 km/h, en bil på motorveien 130 km/h. En bil som kjører 3000 km/h, eller et tog som tilbakelegger en kilometer på tre sekunder, er et klart tegn på at du må lete etter en feil.

Framgangsmåten i et nøtteskall

Hele framgangsmåten har vi gått gjennom på toget. Vi oppsummerer den:

1. Oppsett. Vi skriver opp det vi vet, hver størrelse med bokstav, tall og enhet, og det vi leter etter, med spørsmålstegn.

2. Omregning av enheter. Vi regner alt om til de samme enhetene, vanligvis meter, sekunder og meter per sekund.

3. Skisse. Vi tegner hva som skjer og skriver størrelsene inn i bildet.

4. Generell løsning. Fra formelen løser vi ut størrelsen vi leter etter, bare med bokstaver.

5. Innsetting. I den ferdige formelen setter vi inn tallene med enheter og regner ut resultatet.

6. Kontroll av enheter. Vi sjekker at vi fikk enheten til størrelsen vi leter etter.

7. Overslag. Vi spør om resultatet er rimelig, og svarer med en hel setning på spørsmålet i oppgaven.

Slik går vi fram i alle de neste oppgavene, også i dynamikk. Der kommer det krefter i tillegg til størrelsene, og skissen blir enda viktigere, fordi vi tegner inn hvilken kraft som virker hvor.

Typiske feil

Minutter satt inn som timer. En fotgjenger går med farten 5 km/h. Hvor langt kommer han på 15 min? Den som setter femten rett inn i s = v · t, får

$$s=5\cdot 15=75,$$

og siden farten var i kilometer i timen, skriver han 75 km. Da ville fotgjengeren på et kvarter kommet fra Praha nesten til Plzeň. Farten er i kilometer i timen, så tiden må være i timer. Femten minutter er en kvart time, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

En slik feil overser vi lett når vi setter inn tallene uten enheter. Med enheter ville vi fått kilometer i timen ganger minutter, og det forkortes ikke.

Tideler av en time er ikke minutter. For eksempel er 1,5 h ikke en time og femti, men en time og tretti minutter, fordi en time har seksti minutter, ikke hundre. På samme måte er 0,25 h ikke tjuefem minutter, men femten. Desimaldelen av en time regner du om til minutter ved å multiplisere med seksti:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Avrunding av mellomresultater. Vi ser på toget regnet i timer en gang til. Vi fikk 0,025 h. Den som er vant til å runde av til to desimaler, skriver 0,03 h og regner videre:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

I stedet for 90 s fikk vi 108 s, 18 s mer. Feilen er tjue prosent, og det bare på grunn av én uskyldig utseende avrunding. Vi la jo bare til fem tusendeler av en time, men 0,025 er et lite tall, og fem tusendeler er en hel femtedel av det. Multiplisert med 3600 ble fem tusendeler av en time til 18 s. Mellomresultater bør du derfor ikke runde av i det hele tatt, eller beholde minst to tre siffer mer enn du vil ha i resultatet. Tryggest er den generelle løsningen: vi regner med tallene først helt til slutt og runder av bare én gang, det ferdige resultatet i enhetene vi vil ha det i.

Syklisten fra start til mål

Til slutt går vi gjennom ett eksempel helt, steg for steg. En syklist kjører på en sykkelvei med konstant fart 18 km/h. Hvor lang tid bruker han på 4,5 km?

Vi skriver opp hva vi vet og hva vi leter etter:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Strekningen er i kilometer og farten i kilometer i timen, enhetene blandes ikke, så denne gangen trenger vi ikke regne om, og tiden blir i timer. Til kontroll regner vi den etterpå ut også i sekunder. Skissen er nesten den samme som for toget:

Den generelle løsningen kjenner vi fra toget, $t=\frac{s}{v}$. Vi setter inn:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Enhetene stemmer, kilometer delt på kilometer i timen gir timer. En kvart time tilsvarer

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Nå det samme i grunnenheter. Vi regner om:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4500\mathrm{m}\end{array}$$

og setter inn:

$$t=\frac{4500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Et minutt har seksti sekunder, så $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Begge veier fører til samme resultat.

Gir resultatet mening? På en time ville syklisten kjørt 18 km, på en kvart time altså en fjerdedel, 4,5 km. Akkurat så mye som han skulle kjøre. Svaret skriver vi med en hel setning: syklisten kjører 4,5 km på 15 min.

Med samme framgangsmåte klarer vi også tekstoppgaver om bevegelse, der to biler møtes eller den ene tar igjen den andre. Der lønner både skissen og den generelle løsningen seg virkelig.