Näin ratkaiset kinematiikan ja dynamiikan tehtäviä

Juna ajaa suoralla radalla vakionopeudella 72 km/h. Kuinka kauan sillä kestää kulkea 1,8 km?

Aika on matka jaettuna nopeudella. Joka kuitenkin ottaa laskimen ja jakaa 1,8 luvulla seitsemänkymmentäkaksi, saa 0,025 eikä tiedä, mitä sillä tekisi. Sekunteja se ei ole, minuutteja ei myöskään. Ja joka jakaa 1 800 metriä luvulla seitsemänkymmentäkaksi, saa 25, mikä näyttää varsin uskottavalta ja on silti täyttä hölynpölyä. Tällainen tehtävä lasketaan helposti, vaikeampaa on olla sotkematta mitään. Fysiikassa kannattaa siksi jokaisessa tehtävässä edetä samalla tavalla, vaihe vaiheelta. Kokeillaan vaiheita heti tuohon junaan.

Mitä tiedetään ja mitä etsitään

Tehtävänannosta kirjoitetaan ensin ylös kaikki tunnetut suureet, kukin tunnuksellaan, luvulla ja yksiköllä. Niiden alle kirjoitetaan, mitä etsitään, ja luvun tilalle laitetaan kysymysmerkki:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Se voi vaikuttaa turhalta kirjoittamiselta, mutta todellisuudessa se säästää paljon vaivaa. Heti näkee, mitä on käytettävissä ja mikä puuttuu. Lauseina kirjoitetussa tehtävänannossa luvut jäävät helposti huomaamatta tai menevät sekaisin, luettelossa eivät. Sen mukaan, mitkä suureet luettelossa ovat, tunnistaa myös kaavan: matka, nopeus ja aika, eli s = v · t.

Muunnetaan yksiköt

Nopeus on kilometreinä tunnissa, matka kilometreinä. Ennen varsinaista laskemista molemmat muunnetaan perusyksiköiksi, eli metreiksi, sekunneiksi ja metreiksi sekunnissa. Nopeus jaetaan luvulla 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

ja matka kerrotaan tuhannella:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1000\mathrm{m}=1800\mathrm{m}.$$

Muunnetut arvot lisätään suoraan merkintään:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

Kysymysmerkin perässä sulkeissa oleva yksikkö paljastaa, missä tulos saadaan. Kun sijoitetaan metrit ja metrit sekunnissa, aika tulee sekunteina.

Pitääkö niiden olla metrejä ja sekunteja? Ei tarvitse. Aivan hyvin voi laskea myös kilometreinä ja tunteina. Matka on kilometreinä, nopeus kilometreinä tunnissa, joten aika tulisi tunteina. Tärkeää on vain yksi asia: yksiköitä ei saa sekoittaa. Jos 1 800 m jaetaan nopeudella 72, joka on kilometreinä tunnissa, tulee 25 jotakin, mikä ei ole sekunteja eikä tunteja. Ja juuri se on se uskottavan näköinen kaksikymmentäviisi johdannosta.

Havainnekuva

Liikettä koskevissa tehtävissä kannattaa lähes aina piirtää kuva. Sen ei tarvitse olla kaunis eikä mittakaavassa. Riittää juna laatikkona, jossa on pyörät, nuoli, mihin se ajaa, ja ratapätkä, jonka sen pitää kulkea.

Punainen nuoli on nopeus v, sininen mittajana on matka s, jonka junan pitää kulkea. Jokaisen kuvan osan viereen kirjoitetaan suureen kirjain ja tarvittaessa arvonkin. Yhden suoralla radalla kulkevan junan kohdalla kuva on melkein itsestään selvä. Heti kun kaksi autoa ajaa toisiaan vastaan tai juna ajaa tunnelin läpi ja tunnelin pituudella on väliä, kuva paljastaa usein ennen laskua, mitä tehtävässä oikeastaan tapahtuu.

Ensin kirjaimet, luvut vasta lopuksi

Luvut tekisi mieli sijoittaa heti. Parempi on kuitenkin ratkaista ensin koko tehtävä yleisesti, eli pelkillä kirjaimilla, ja sijoittaa luvut vasta valmiiseen kaavaan. Kaavasta s = v · t ratkaistaan aika jakamalla molemmat puolet nopeudella:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Nyt on muunnettujen arvojen vuoro:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Juna kulkee 1,8 km ajassa 90 s, eli minuutissa ja puolessa.

Miksi tämä kaikki, kun olisi voinut jakaa suoraan? Näin lyhyessä tehtävässä ero on pieni, mutta yleisellä ratkaisulla on useita etuja, jotka pitkissä tehtävissä tulevat nopeasti esiin:

• Kirjaimilla kirjoitetusta kaavasta näkee, onko se järkevä. Kaavassa $t=\frac{s}{v}$ matka on osoittajassa, joten pidempi rata tarkoittaa pidempää aikaa. Nopeus on nimittäjässä, joten nopeampi juna ehtii aiemmin. Molemmat pitävät paikkansa.
• Kaavan avulla voi tarkistaa yksiköt, siitä hetken kuluttua.
• Kun virhe sattuu, tiedetään, mistä etsiä. Lukuja täynnä olevalta riviltä virhe löytyy paljon huonommin.
• Laskin otetaan käteen vain kerran ja vasta tulos pyöristetään. Miksi sillä on väliä, nähdään tyypillisten virheiden kohdalla.
• Kun tehtävänanto muuttuu, vaikka juna ajaisikin nopeammin, riittää sijoittaa uudestaan. Kaava on jo valmiina.

Täsmäävätkö yksiköt?

Myös yksiköt sijoitettiin, ja niillä lasketaan samoin kuin luvuilla. Metrit supistuvat metrien kanssa ja murtoluvulla jakaminen on sama kuin käänteisluvulla kertominen:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Tuli sekunteja, eli etsityn ajan yksikkö. Kilometreillä ja tunneilla kävisi samoin:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Yksiköiden tarkistus paljastaa myös väärin ratkaistun kaavan. Joka vaihtaisi osoittajan ja nimittäjän ja laskisi $t=\frac{v}{s}$, saisi

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

eikä se ole ajan yksikkö. Heti tiedetään, että jokin on vialla, eikä mitään tarvitse edes laskea.

Molemmat tiet antavat saman

Ajetaan juna vielä kerran kilometreinä ja tunteina, jotta nähdään, että se toimii:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Tässä on se arvoituksellinen 0,025 johdannosta. Tällä kertaa tiedetään, että kyse on tunneista, koska kilometrit jaettuna kilometreillä tunnissa antavat tunteja. Sekunneiksi muunnetaan sijoittamalla tunnin tilalle 3 600 s:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Tuli samat 90 s. Kumpi tie on parempi? Se riippuu tehtävästä. Kinematiikassa ja dynamiikassa muunnetaan melkein aina metreiksi ja sekunneiksi, koska niillä lasketaan myös kiihtyvyydet ja voimat. Auto- tai junamatkoissa, joissa kaikki on kilometreinä ja tunteina, on yleensä kätevämpää pysyä niissä.

Onko tulos järkevä?

Lopuksi arvioidaan, onko tulos järkevä. Nopeus 72 km/h tarkoittaa 72 km kuudessakymmenessä minuutissa, eli 1,2 km minuutissa. Matka 1,8 km on puolitoista kertaa pidempi, joten junalta menee siihen puolitoista kertaa minuutin verran. Minuutti ja puoli, täsmää. Vastaus: juna kulkee 1,8 km minuutissa ja puolessa.

Usein riittää tavallinen kokemus. Pihla kävelee kouluun 1,5 km ja siihen menee 18 min. Millä nopeudella hän kävelee? Joka jakaa metrit minuuteilla, saa

$$\frac{1500}{18}\approx 83,3,$$

ja jos hän unohtaa, että ne ovat metrejä minuutissa eikä sekunnissa, ja ”muuntaa” kilometreiksi tunnissa, tulee 83,3 · 3,6 ≈ 300. Pihla kävelisi kouluun nopeudella 300 km/h, nopeammin kuin suurnopeusjuna. Tällainen tulos on väärä, vaikka ei tietäisi, missä virhe tapahtui. Oikein minuutit muunnetaan sekunneiksi, 18 · 60 s = 1 080 s, ja saadaan

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{m}}{1080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Kerrottuna luvulla 3,6 se on noin 5 km/h, tavallista kävelyä. Summittaiseen tarkistukseen sopii nopeuksien taulukko: jalankulkija kulkee noin 5 km/h, pyöräilijä noin 20 km/h, auto moottoritiellä 130 km/h. Auto, joka ajaa 3 000 km/h, tai juna, joka kulkee kilometrin kolmessa sekunnissa, on selvä merkki siitä, että virhettä pitää etsiä.

Menettely lyhyesti

Koko menettely käytiin läpi junan avulla. Kootaan se:

1. Kirjaaminen. Kirjoitetaan ylös, mitä tiedetään, jokainen suure kirjaimella, luvulla ja yksiköllä, ja mitä etsitään, kysymysmerkillä.

2. Yksiköiden muuntaminen. Kaikki muunnetaan samoiksi yksiköiksi, yleensä metreiksi, sekunneiksi ja metreiksi sekunnissa.

3. Havainnekuva. Piirretään, mitä tapahtuu, ja kirjoitetaan kuvaan suureet.

4. Yleinen ratkaisu. Kaavasta ratkaistaan etsitty suure, pelkillä kirjaimilla.

5. Sijoitus. Valmiiseen kaavaan sijoitetaan luvut yksiköineen ja lasketaan tulos.

6. Yksiköiden tarkistus. Tarkistetaan, että tuli etsityn suureen yksikkö.

7. Arvio. Mietitään, onko tulos järkevä, ja vastataan tehtävänannon kysymykseen kokonaisella lauseella.

Samoin edetään kaikissa seuraavissa tehtävissä, dynamiikka mukaan lukien. Siellä suureisiin tulevat lisäksi voimat ja havainnekuva on vielä tärkeämpi, koska siihen piirretään, mikä voima vaikuttaa mihinkin.

Tyypilliset virheet

Minuutit sijoitettuna tunteina. Jalankulkija kävelee nopeudella 5 km/h. Minne hän ehtii ajassa 15 min? Joka sijoittaa kaavaan s = v · t suoraan viisitoista, saa

$$s=5\cdot 15=75,$$

ja koska nopeus oli kilometreinä tunnissa, hän kirjoittaa 75 km. Niin jalankulkija kävelisi neljännestunnissa Helsingistä melkein Lohjalle. Nopeus on kilometreinä tunnissa, joten ajan täytyy olla tunteina. Viisitoista minuuttia on neljännestunti, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Tällainen virhe jää helposti huomaamatta, kun lukuja sijoitetaan ilman yksiköitä. Yksiköiden kanssa tulisi kilometriä tunnissa kertaa minuutteja, eikä se supistu.

Tunnin kymmenesosat eivät ole minuutteja. Esimerkiksi 1,5 h ei ole tunti viisikymmentä vaan tunti ja kolmekymmentä minuuttia, koska tunnissa on kuusikymmentä minuuttia, ei sata. Samoin 0,25 h ei ole kaksikymmentäviisi minuuttia vaan viisitoista. Tunnin desimaaliosan muunnat minuuteiksi kertomalla sen kuudellakymmenellä:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Välitulosten pyöristäminen. Katsotaan vielä tunteina laskettua junaa. Tulokseksi saatiin 0,025 h. Joka on tottunut pyöristämään kahteen desimaaliin, kirjoittaa 0,03 h ja jatkaa:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

Luvun 90 s sijaan tuli 108 s, 18 s enemmän. Virhe on kaksikymmentä prosenttia, ja vain yhden viattoman näköisen pyöristyksen vuoksi. Lisäystä oli vain viisi tuhannesosatuntia, mutta 0,025 on pieni luku ja viisi tuhannesosaa on siitä kokonainen viidesosa. Kerrottaessa luvulla 3 600 viidestä tuhannesosatunnista tuli 18 s. Älä siksi pyöristä välituloksia lainkaan tai jätä vähintään kaksi tai kolme numeroa enemmän kuin haluat tulokseen. Varmin on yleinen ratkaisu: luvuilla lasketaan vasta lopussa ja pyöristetään vain kerran, vasta valmis tulos siinä yksikössä, jossa se halutaan.

Pyöräilijä alusta loppuun

Lopuksi käydään yksi tehtävä läpi kokonaan, vaihe vaiheelta. Pyöräilijä ajaa pyörätiellä vakionopeudella 18 km/h. Kuinka kauan häneltä kestää kulkea 4,5 km?

Kirjoitetaan, mitä tiedetään ja mitä etsitään:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Matka on kilometreinä ja nopeus kilometreinä tunnissa, yksiköt eivät sekoitu, joten tällä kertaa ei tarvitse muuntaa ja aika tulee tunteina. Tarkistukseksi se lasketaan vielä sekunteina. Havainnekuva on melkein sama kuin junalla:

Yleinen ratkaisu on tuttu junasta, $t=\frac{s}{v}$. Sijoitetaan:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Yksiköt täsmäävät, kilometrit jaettuna kilometreillä tunnissa antavat tunteja. Neljännestunti vastaa sitten

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Nyt sama perusyksiköillä. Muunnetaan:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4500\mathrm{m}\end{array}$$

ja sijoitetaan:

$$t=\frac{4500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Minuutissa on kuusikymmentä sekuntia, joten $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Molemmat tiet johtavat samaan tulokseen.

Onko tulos järkevä? Tunnissa pyöräilijä kulkisi 18 km, neljännestunnissa siis neljänneksen, 4,5 km. Täsmälleen sen, minkä hänen piti kulkea. Vastaus kirjoitetaan kokonaisella lauseella: pyöräilijä kulkee 4,5 km ajassa 15 min.

Samalla menettelyllä ratkeavat myös sanalliset liiketehtävät, joissa kaksi autoa kohtaa tai toinen ottaa toista kiinni. Niissä sekä havainnekuva että yleinen ratkaisu todella kannattavat.