Cómo resolver problemas de cinemática y dinámica

Un tren va por una vía recta a una velocidad constante de 72 km/h. ¿En cuánto tiempo recorre 1,8 km?

El tiempo es la distancia dividida entre la velocidad. Pero quien coge la calculadora y divide 1,8 entre setenta y dos obtiene 0,025 y no sabe qué hacer con eso. No son segundos, ni tampoco minutos. Y quien divide 1800 metros entre setenta y dos obtiene 25, que parece bastante verosímil y, sin embargo, es un disparate. Un problema así se calcula fácilmente; lo difícil es no estropear nada. En física conviene, por eso, proceder en cada problema del mismo modo, paso a paso. Vamos a probarlo enseguida con ese tren.

Qué sabemos y qué buscamos

Del enunciado escribimos primero todas las magnitudes que conocemos, cada una con su letra, con el número y la unidad. Debajo escribimos lo que buscamos, la incógnita, y en lugar del número ponemos un interrogante:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Puede parecer papeleo innecesario, pero en realidad ahorra muchos disgustos. Enseguida vemos de qué disponemos y qué falta. En un enunciado escrito con frases es fácil pasar por alto los números o intercambiarlos; en una columna, no. Por las magnitudes que hay en la columna reconocemos también la fórmula: distancia, velocidad y tiempo, es decir, s = v · t.

Cambiamos las unidades

Tenemos la velocidad en kilómetros por hora y la distancia en kilómetros. Antes de calcular pasamos ambas a unidades básicas, es decir, a metros, segundos y metros por segundo. La velocidad la dividimos entre el número 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

y la distancia la multiplicamos por mil:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1000\mathrm{m}=1800\mathrm{m}.$$

Los valores convertidos los añadimos directamente a los datos:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

La unidad entre paréntesis tras el interrogante nos dice en qué obtendremos el resultado. Si sustituimos metros y metros por segundo, el tiempo saldrá en segundos.

¿Tienen que ser metros y segundos? No necesariamente. Podemos calcular perfectamente en kilómetros y horas. La distancia está en kilómetros, la velocidad en kilómetros por hora, así que el tiempo saldría en horas. Lo importante es una sola cosa: las unidades no se pueden mezclar. Si dividimos 1800 m entre la velocidad 72, que está en kilómetros por hora, sale 25 de algo que no son ni segundos ni horas. Y ese es justamente el veinticinco de aspecto verosímil de la introducción.

Esquema

En los problemas de movimiento casi siempre conviene hacer un dibujo. No tiene que ser bonito ni estar a escala. Basta el tren como una cajita con ruedas, una flecha hacia donde va y el tramo de vía que tiene que recorrer.

La flecha roja es la velocidad v, la cota azul es la distancia s que debe recorrer el tren. A cada parte del dibujo añadimos la letra de la magnitud, y si hace falta, también su valor. Con un solo tren en una vía recta el esquema es casi obvio. Pero en cuanto dos coches vayan uno hacia el otro o un tren pase por un túnel y importe su longitud, el dibujo suele revelar antes que el cálculo qué ocurre realmente en el problema.

Primero las letras, los números al final

Querríamos sustituir los números enseguida. Pero es mejor resolver primero todo el problema de forma general, es decir, solo con letras, y sustituir los números al final en la fórmula ya terminada. De la fórmula s = v · t despejamos el tiempo dividiendo ambos lados entre la velocidad:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Solo ahora llega el turno de los valores convertidos:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

El tren recorre 1,8 km en 90 s, es decir, en minuto y medio.

¿Por qué tanta ceremonia, si podríamos haber dividido directamente? En un problema tan corto la diferencia es pequeña, pero la resolución general tiene varias ventajas que en los problemas más largos se notan enseguida:

• Por la fórmula con letras reconocemos si tiene sentido. En la fórmula $t=\frac{s}{v}$ la distancia está en el numerador, así que una vía más larga significa más tiempo. La velocidad está en el denominador, así que un tren más rápido llega antes. Las dos cosas encajan.
• La fórmula nos permite comprobar las unidades, de lo que hablaremos enseguida.
• Cuando nos equivocamos, sabemos dónde buscar. En una línea llena de números el error se esconde mucho mejor.
• La calculadora la cogemos solo una vez y redondeamos solo el resultado. Por qué importa lo veremos en los errores típicos.
• Si cambia el enunciado, por ejemplo si el tren va más rápido, basta sustituir de nuevo. La fórmula ya la tenemos.

¿Cuadran las unidades?

Hemos sustituido también con las unidades y con ellas calculamos igual que con los números. Los metros se simplifican con los metros y dividir entre una fracción es lo mismo que multiplicar por la fracción inversa:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Han salido segundos, es decir, la unidad del tiempo que buscamos. Con kilómetros y horas saldría lo mismo:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

La comprobación de las unidades descubre también una fórmula mal despejada. Quien intercambiara el numerador y el denominador y calculara $t=\frac{v}{s}$, obtendría

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

y eso no es una unidad de tiempo. Enseguida sabemos que algo va mal y ni siquiera tenemos que calcular nada.

Los dos caminos dan lo mismo

Repitamos el cálculo del tren en kilómetros y horas, para convencernos de que funciona:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Aquí está aquel misterioso 0,025 de la introducción. Esta vez sabemos que son horas, porque kilómetros divididos entre kilómetros por hora dan horas. A segundos lo pasamos sustituyendo la hora por 3600 s:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Han salido los mismos 90 s. ¿Cuál es el mejor camino? Depende del enunciado. En cinemática y dinámica casi siempre pasaremos a metros y segundos, porque en ellos se calculan también las aceleraciones y las fuerzas. Al viajar en coche o en tren, donde todo está en kilómetros y horas, suele ser más cómodo quedarse en ellos.

¿Es razonable el resultado?

Por último estimamos si el resultado tiene sentido. La velocidad de 72 km/h significa 72 km en sesenta minutos, es decir, 1,2 km por minuto. La distancia de 1,8 km es una vez y media mayor, así que el tren tardará una vez y media más de un minuto. Minuto y medio, cuadra. Respuesta: el tren recorre 1,8 km en minuto y medio.

A menudo basta la experiencia corriente. Paula va andando al colegio 1,5 km y tarda 18 min. ¿A qué velocidad va? Quien divide los metros entre los minutos obtiene

$$\frac{1500}{18}\approx 83,3,$$

y si olvida que son metros por minuto y no por segundo, y «convierte» a kilómetros por hora, le sale 83,3 · 3,6 ≈ 300. Paula iría al colegio a una velocidad de 300 km/h, tan rápido como un AVE. Un resultado así es erróneo, aunque no sepamos dónde se ha producido el error. Pasamos correctamente los minutos a segundos, 18 · 60 s = 1080 s, y obtenemos

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{m}}{1080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Multiplicado por el número 3,6 son aproximadamente 5 km/h, un paso normal. Para una comprobación aproximada va bien la tabla de velocidades: una persona camina a unos 5 km/h, un ciclista a unos 20 km/h, un coche en la autopista a 130 km/h. Un coche que va a 3000 km/h, o un tren que recorre un kilómetro en tres segundos, es una señal clara de que hay que buscar el error.

El método en resumen

Todo el método lo hemos recorrido con el tren. Lo resumimos:

1. Datos. Escribimos lo que conocemos, cada magnitud con su letra, su número y su unidad, y lo que buscamos, con un interrogante.

2. Cambio de unidades. Pasamos todo a las mismas unidades, normalmente a metros, segundos y metros por segundo.

3. Esquema. Dibujamos lo que ocurre y añadimos las magnitudes al dibujo.

4. Resolución general. De la fórmula despejamos la magnitud buscada, solo con letras.

5. Sustitución. En la fórmula ya terminada sustituimos los números con sus unidades y calculamos el resultado.

6. Comprobación de las unidades. Comprobamos que ha salido la unidad de la magnitud buscada.

7. Estimación. Nos preguntamos si el resultado es razonable y respondemos con una frase completa a la pregunta del enunciado.

Del mismo modo procederemos en todos los problemas siguientes, también en los de dinámica. Allí a las magnitudes se añaden las fuerzas y el esquema será todavía más importante, porque en él dibujaremos qué fuerza actúa y hacia dónde.

Errores típicos

Minutos sustituidos como horas. Una persona camina a 5 km/h. ¿Adónde llega en 15 min? Quien sustituye en s = v · t directamente el quince, obtiene

$$s=5\cdot 15=75,$$

y como la velocidad estaba en kilómetros por hora, escribe 75 km. Con eso la persona habría llegado en un cuarto de hora de Madrid casi a Toledo. La velocidad está en kilómetros por hora, así que el tiempo tiene que estar en horas. Quince minutos son un cuarto de hora, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Un error así lo pasamos por alto fácilmente cuando sustituimos los números sin unidades. Con las unidades nos habrían salido kilómetros por hora por minutos, y eso no se simplifica.

Las décimas de hora no son minutos. Por ejemplo, 1,5 h no es una hora cincuenta, sino una hora y treinta minutos, porque una hora tiene sesenta minutos, no cien. Del mismo modo, 0,25 h no son veinticinco minutos, sino quince. La parte decimal de una hora la pasas a minutos multiplicándola por sesenta:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Redondeo de resultados intermedios. Miremos otra vez el tren calculado en horas. Nos salió 0,025 h. Quien está acostumbrado a redondear a dos decimales escribe 0,03 h y sigue:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

En lugar de 90 s ha salido 108 s, 18 s más. El error es del veinte por ciento, y solo por un redondeo de apariencia inocente. Hemos añadido, al fin y al cabo, solo cinco milésimas de hora, pero 0,025 es un número pequeño y cinco milésimas son una quinta parte entera de él. Al multiplicar por 3600, las cinco milésimas de hora se convirtieron en 18 s. Los resultados intermedios, por tanto, no los redondees en absoluto, o conserva al menos dos o tres cifras más de las que quieres tener en el resultado. Lo más seguro es la resolución general: calculamos con números solo al final y redondeamos una sola vez, el resultado ya terminado, en las unidades en que lo queremos tener.

El ciclista de principio a fin

Para terminar, repasaremos un problema entero, paso a paso. Un ciclista va por un carril bici a una velocidad constante de 18 km/h. ¿En cuánto tiempo recorre 4,5 km?

Escribimos lo que sabemos y lo que buscamos:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

La distancia está en kilómetros y la velocidad en kilómetros por hora, las unidades no se mezclan, así que esta vez no tenemos que convertir y el tiempo nos saldrá en horas. Para comprobarlo lo calcularemos después también en segundos. El esquema es casi igual que el del tren:

La resolución general la conocemos del tren, $t=\frac{s}{v}$. Sustituimos:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Las unidades cuadran: kilómetros divididos entre kilómetros por hora dan horas. Un cuarto de hora corresponde entonces a

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Ahora lo mismo en unidades básicas. Convertimos:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4500\mathrm{m}\end{array}$$

y sustituimos:

$$t=\frac{4500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Un minuto tiene sesenta segundos, así que $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Los dos caminos llevan al mismo resultado.

¿Tiene sentido el resultado? En una hora el ciclista recorrería 18 km, en un cuarto de hora, por tanto, la cuarta parte, 4,5 km. Exactamente lo que tenía que recorrer. La respuesta la escribimos con una frase completa: el ciclista recorre 4,5 km en 15 min.

Con el mismo método resolveremos también los problemas de móviles, en los que dos coches se encuentran o uno alcanza al otro. Allí el esquema y la resolución general sí que valen la pena.