Як розв'язувати задачі з кінематики та динаміки

Потяг їде по прямій колії зі сталою швидкістю 72 км/год. За який час він проїде 1,8 км?

Час — це шлях, поділений на швидкість. Але хто візьме калькулятор і поділить 1,8 на сімдесят два, отримає 0,025 і не знатиме, що з цим робити. Це не секунди, і не хвилини. А хто поділить 1 800 метрів на сімдесят два, отримає 25, що виглядає цілком правдоподібно, а насправді це нісенітниця. Така задача розв'язується легко, складніше в ній нічого не зіпсувати. Тому у фізиці варто в кожній задачі діяти однаково, крок за кроком. Одразу випробуємо це на тому потягу.

Що знаємо і що шукаємо

З умови спершу випишемо всі величини, які знаємо, кожну її позначенням, з числом і одиницею. Під ними напишемо, що шукаємо, а замість числа поставимо знак питання:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\\ s& =1,8\mathrm{к}\mathrm{м}\\ t& =?\end{array}$$

Може здатися, що це зайва писанина, але насправді це заощадить багато мороки. Одразу бачимо, що маємо в розпорядженні й чого бракує. В умові, записаній реченнями, числа легко пропустити або переплутати, а в стовпчику ні. За тим, які величини в стовпчику є, впізнаємо й формулу: шлях, швидкість і час — це s = v · t.

Переводимо одиниці

Швидкість маємо в кілометрах за годину, шлях у кілометрах. Перед самим обчисленням переведемо обидві величини в основні одиниці, тобто в метри, секунди й метри за секунду. Швидкість поділимо на число 3,6:

$$72\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=\frac{72}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}=20\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

а шлях помножимо на тисячу:

$$1,8\mathrm{к}\mathrm{м}=1,8\cdot 1000\mathrm{м}=1800\mathrm{м}.$$

Переведені значення внесемо одразу в запис:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=20\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ s& =1,8\mathrm{к}\mathrm{м}=1800\mathrm{м}\\ t& =?(\mathrm{с})\end{array}$$

Одиниця в дужках після знака питання підкаже, в чому отримаємо результат. Коли підставимо метри й метри за секунду, час вийде в секундах.

Чи мусять це бути метри й секунди? Не мусять. Цілком можемо рахувати й у кілометрах та годинах. Шлях у кілометрах, швидкість у кілометрах за годину, тож час вийшов би в годинах. Важливе єдине: одиниці не можна змішувати. Коли поділимо 1 800 м на швидкість 72, яка в кілометрах за годину, вийде 25 чогось, що не є ні секундами, ні годинами. Це і є ті правдоподібні на вигляд двадцять п'ять зі вступу.

Схематичний рисунок

У задачах на рух майже завжди варто зробити рисунок. Він не мусить бути гарним чи в масштабі. Досить намалювати потяг як коробочку з колесами, стрілку, куди він їде, і ділянку колії, яку він має проїхати.

Червона стрілка — це швидкість v, синя розмірна лінія — шлях s, який має проїхати потяг. До кожної частини рисунка дописуємо літеру величини, за потреби й значення. У випадку одного потяга на прямій колії рисунок майже очевидний. Та щойно поїдуть назустріч два авто або потяг проїжджатиме тунелем і важливою буде його довжина, рисунок часто розкриє, що в задачі відбувається, раніше за обчислення.

Спершу літери, числа наприкінці

Числа так і хочеться підставити одразу. Але краще спершу розв'язати всю задачу в загальному вигляді, тобто лише з літерами, а числа підставити вже в готову формулу. З формули s = v · t виразимо час, поділивши обидві частини на швидкість:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Тепер черга переведених значень:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1800\mathrm{м}}{20\mathrm{м}/\mathrm{с}}=90\mathrm{с}$$

Потяг проїде 1,8 км за 90 с, тобто за півтори хвилини.

Навіщо стільки церемоній, коли можна було відразу ділити? У такій короткій задачі різниця невелика, але розв'язок у загальному вигляді має кілька переваг, які в довших задачах швидко проявляються:

• За формулою з літерами видно, чи вона має сенс. У формулі $t=\frac{s}{v}$ шлях у чисельнику, тож довша колія означає довший час. Швидкість у знаменнику, тож швидший потяг устигне раніше. Обидва висновки правильні.
• Формула дозволяє перевірити одиниці, про це за хвилину.
• Коли помилимося, знаємо, де шукати. У рядку, повному чисел, помилка ховається значно краще.
• Калькулятор беремо в руки лише раз, а округляємо вже результат. Чому це важливо, побачимо в типових помилках.
• Коли зміниться умова, скажімо, потяг поїде швидше, досить підставити знову. Формула вже є.

Чи сходяться одиниці?

Підставляли ми й з одиницями, а з ними рахуємо так само, як із числами. Метри скорочуються з метрами, а ділення на дріб — те саме, що множення на обернений дріб:

$$\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{м}/\mathrm{с}}=\mathrm{м}\cdot \frac{\mathrm{с}}{\mathrm{м}}=\mathrm{с}$$

Вийшли секунди, тобто одиниця часу, який шукаємо. З кілометрами та годинами було б так само:

$$\frac{\mathrm{к}\mathrm{м}}{\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=\mathrm{к}\mathrm{м}\cdot \frac{\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}{\mathrm{к}\mathrm{м}}=\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

Перевірка одиниць виявляє й неправильно виражену формулу. Хто переплутав би чисельник зі знаменником і рахував $t=\frac{v}{s}$, отримав би

$$\frac{\mathrm{м}/\mathrm{с}}{\mathrm{м}}=\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\cdot \frac{1}{\mathrm{м}}=\frac{1}{\mathrm{с}},$$

а це не одиниця часу. Одразу знаємо, що щось не так, і навіть нічого не мусимо обчислювати.

Обидва способи дають те саме

Потяг ще раз проїдемо в кілометрах та годинах, щоб переконатися, що це працює:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{к}\mathrm{м}}{72\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=\mathrm{0,025}\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

Ось те загадкове 0,025 зі вступу. Цього разу знаємо, що це години, бо кілометри, поділені на кілометри за годину, дають години. У секунди переведемо, підставивши за годину 3 600 с:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=\mathrm{0,025}\cdot 3600\mathrm{с}=90\mathrm{с}$$

Вийшли ті самі 90 с. Який спосіб кращий? Залежить від умови. У кінематиці та динаміці майже завжди переводитимемо в метри й секунди, бо в них рахуються також прискорення й сили. У подорожах авто чи потягом, де все в кілометрах та годинах, зазвичай зручніше лишитися в них.

Чи розумний результат?

Нарешті оцінимо, чи результат має сенс. Швидкість 72 км/год означає 72 км за шістдесят хвилин, тобто 1,2 км за хвилину. Шлях 1,8 км у півтора раза довший, тож потяг їхатиме в півтора раза довше за хвилину. Півтори хвилини, збігається. Відповідь: потяг проїде 1,8 км за півтори хвилини.

Часто досить звичайного життєвого досвіду. Павла йде пішки до школи 1,5 км, і дорога займає в неї 18 хв. З якою швидкістю вона йде? Хто поділить метри на хвилини, отримає

$$\frac{1500}{18}\approx 83,3,$$

а якщо забуде, що це метри за хвилину, а не за секунду, і «переведе» в кілометри за годину, вийде 83,3 · 3,6 ≈ 300. Павла ходила б до школи зі швидкістю 300 км/год, швидше за швидкісний потяг. Такий результат хибний, навіть якщо не знаємо, де сталася помилка. Правильно переведемо хвилини в секунди, 18 · 60 с = 1 080 с, і отримаємо

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{м}}{1080\mathrm{с}}\approx 1,39\mathrm{м}/\mathrm{с}.$$

Після множення на число 3,6 це приблизно 5 км/год, звичайна ходьба. Для грубої перевірки стане в пригоді таблиця швидкостей: пішохід іде близько 5 км/год, велосипедист близько 20 км/год, авто на трасі 130 км/год. Авто, що їде 3 000 км/год, або потяг, що кілометр долає за три секунди, — явний сигнал, що треба шукати помилку.

Підхід у стислому вигляді

Увесь підхід ми пройшли на потязі. Підсумуємо:

1. Запис. Випишемо, що знаємо, кожну величину літерою, числом і одиницею, а те, що шукаємо, — зі знаком питання.

2. Переведення одиниць. Усе переведемо в однакові одиниці, зазвичай у метри, секунди й метри за секунду.

3. Схематичний рисунок. Накреслимо, що відбувається, і до рисунка допишемо величини.

4. Розв'язок у загальному вигляді. З формули виразимо шукану величину, лише з літерами.

5. Підстановка. У готову формулу підставимо числа з одиницями й обчислимо результат.

6. Перевірка одиниць. Перевіримо, що вийшла одиниця шуканої величини.

7. Оцінка. Запитаємо себе, чи розумний результат, і відповімо повним реченням на запитання з умови.

Так само діятимемо в усіх наступних задачах, зокрема в динаміці. Там до величин додадуться сили, і схематичний рисунок буде ще важливіший, адже на ньому малюватимемо, яка сила куди діє.

Типові помилки

Хвилини, підставлені як години. Пішохід іде зі швидкістю 5 км/год. Куди він дійде за 15 хв? Хто підставить у s = v · t просто п'ятнадцять, отримає

$$s=5\cdot 15=75,$$

а оскільки швидкість була в кілометрах за годину, напише 75 км. Так пішохід за чверть години дійшов би з Києва майже до Білої Церкви. Швидкість у кілометрах за годину, тож час мусить бути в годинах. П'ятнадцять хвилин — це чверть години, 0,25 год:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\cdot 0,25\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=1,25\mathrm{к}\mathrm{м}$$

Таку помилку легко пропустити, коли числа підставляємо без одиниць. З одиницями вийшли б кілометри за годину, помножені на хвилини, а це не скоротиться.

Десяті частки години — не хвилини. Скажімо, 1,5 год — це не година п'ятдесят, а година й тридцять хвилин, бо година має шістдесят хвилин, а не сто. Так само 0,25 год — це не двадцять п'ять хвилин, а п'ятнадцять. Десяткову частину години переведеш у хвилини, помноживши її на шістдесят:

$$0,25\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=0,25\cdot 60\mathrm{х}\mathrm{в}=15\mathrm{х}\mathrm{в}$$

Округлення проміжних результатів. Подивімося ще раз на потяг, порахований у годинах. Вийшло 0,025 год. Хто звик округлювати до двох знаків після коми, напише 0,03 год і продовжить:

$$0,03\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=0,03\cdot 3600\mathrm{с}=108\mathrm{с}$$

Замість 90 с вийшло 108 с, на 18 с більше. Помилка — двадцять відсотків, і то через одне невинне на вигляд округлення. Ми додали лише п'ять тисячних години, але 0,025 — мале число, і п'ять тисячних — це ціла п'ята його частина. Після множення на 3 600 із п'яти тисячних години вийшло 18 с. Проміжні результати тому не округлюй узагалі або залиш бодай на дві-три цифри більше, ніж хочеш мати в результаті. Найнадійніше — розв'язок у загальному вигляді: з числами рахуємо лише наприкінці й округлюємо лише раз, уже готовий результат в одиницях, у яких його хочемо мати.

Велосипедист від початку до кінця

Наприкінці пройдемо одну задачу повністю, крок за кроком. Велосипедист їде велодоріжкою зі сталою швидкістю 18 км/год. За який час він проїде 4,5 км?

Запишемо, що знаємо і що шукаємо:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\\ s& =4,5\mathrm{к}\mathrm{м}\\ t& =?\end{array}$$

Шлях у кілометрах, швидкість у кілометрах за годину, одиниці не змішуються, тож цього разу переводити не мусимо, і час вийде в годинах. Для перевірки потім обчислимо його ще й у секундах. Схематичний рисунок майже такий самий, як для потяга:

Розв'язок у загальному вигляді знаємо із задачі про потяг, $t=\frac{s}{v}$. Підставимо:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{к}\mathrm{м}}{18\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}}=0,25\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}$$

Одиниці сходяться, кілометри, поділені на кілометри за годину, дають години. Чверть години тоді відповідає

$$0,25\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=0,25\cdot 60\mathrm{х}\mathrm{в}=15\mathrm{х}\mathrm{в}.$$

Тепер те саме в основних одиницях. Переведемо:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}=\frac{18}{3,6}\mathrm{м}/\mathrm{с}=5\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ s& =4,5\mathrm{к}\mathrm{м}=4500\mathrm{м}\end{array}$$

і підставимо:

$$t=\frac{4500\mathrm{м}}{5\mathrm{м}/\mathrm{с}}=900\mathrm{с}$$

Хвилина має шістдесят секунд, тож $900\mathrm{с}=\frac{900}{60}\mathrm{х}\mathrm{в}=15\mathrm{х}\mathrm{в}$. Обидва способи ведуть до того самого результату.

Чи має результат сенс? За годину велосипедист проїхав би 18 км, за чверть години, отже, чверть, 4,5 км. Саме стільки, скільки мав проїхати. Відповідь запишемо повним реченням: велосипедист проїде 4,5 км за 15 хв.

Таким самим підходом упораємося і з текстовими задачами на рух, у яких два авто зустрічаються або одне наздоганяє друге. Там і схематичний рисунок, і розв'язок у загальному вигляді справді виправдовують себе.