Come risolvere i problemi di cinematica e dinamica

Un treno viaggia su un binario rettilineo a velocità costante di 72 km/h. In quanto tempo percorre 1,8 km?

Il tempo è lo spazio diviso la velocità. Ma chi prende la calcolatrice e divide 1,8 per settantadue ottiene 0,025 e non sa che farsene. Non sono secondi e nemmeno minuti. E chi divide 1800 metri per settantadue ottiene 25, che sembra abbastanza credibile ed è invece un’assurdità. Un problema così si calcola facilmente, la parte difficile è non sbagliare niente. In fisica conviene perciò procedere sempre allo stesso modo in ogni problema, un passo alla volta. Proviamolo subito su questo treno.

Che cosa sappiamo e che cosa cerchiamo

Per prima cosa ricaviamo dal testo tutte le grandezze che conosciamo, ognuna con la sua lettera, con il numero e con l’unità di misura. Sotto scriviamo che cosa cerchiamo, mettendo al posto del numero un punto interrogativo:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Può sembrare un’inutile formalità, in realtà evita un sacco di guai. Vediamo subito che cosa abbiamo a disposizione e che cosa manca. In un testo scritto a parole i numeri si trascurano o si scambiano facilmente, in una colonna no. Dalle grandezze che compaiono nella colonna riconosciamo anche la formula: spazio, velocità e tempo, cioè s = v · t.

Convertiamo le unità

La velocità ce l’abbiamo in chilometri all’ora, lo spazio in chilometri. Prima di calcolare convertiamo tutto nelle unità fondamentali, cioè in metri, secondi e metri al secondo. La velocità la dividiamo per 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

e lo spazio lo moltiplichiamo per mille:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1000\mathrm{m}=1800\mathrm{m}.$$

I valori convertiti li riportiamo subito nei dati:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

L’unità tra parentesi dopo il punto interrogativo ci dice in che cosa otterremo il risultato. Se sostituiamo metri e metri al secondo, il tempo verrà in secondi.

Devono essere per forza metri e secondi? No. Possiamo tranquillamente calcolare anche in chilometri e ore. Lo spazio è in chilometri, la velocità in chilometri all’ora, quindi il tempo verrebbe in ore. Conta una cosa sola: le unità non vanno mescolate. Se dividiamo 1800 m per la velocità 72, che è in chilometri all’ora, viene 25 di qualcosa che non sono né secondi né ore. Ed è proprio quel 25 dall’aria credibile dell’introduzione.

Lo schizzo

Nei problemi sul moto conviene quasi sempre fare un disegno. Non deve essere bello né in scala. Basta il treno come una scatola con le ruote, una freccia che indica dove va e il tratto di binario che deve percorrere.

La freccia rossa è la velocità v, la quota blu è lo spazio s che il treno deve percorrere. A ogni parte della figura aggiungiamo la lettera della grandezza, eventualmente anche il valore. Con un solo treno su un binario rettilineo lo schizzo è quasi scontato. Ma non appena due auto vanno una contro l’altra, o un treno attraversa una galleria e conta la sua lunghezza, spesso il disegno rivela prima del calcolo che cosa succede nel problema.

Prima le lettere, i numeri solo alla fine

Vorremmo sostituire subito i numeri. Meglio, però, risolvere prima tutto il problema in forma generale, cioè solo con le lettere, e sostituire i numeri nella formula finale. Dalla formula s = v · t ricaviamo il tempo dividendo entrambi i membri per la velocità:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Solo adesso tocca ai valori convertiti:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Il treno percorre 1,8 km in 90 s, cioè in un minuto e mezzo.

Perché tante cerimonie, quando potevamo dividere subito? In un problema così breve la differenza è piccola, ma la soluzione generale ha diversi vantaggi che nei problemi più lunghi si fanno sentire in fretta:

• Dalla formula con le lettere si capisce se ha senso. Nella formula $t=\frac{s}{v}$ lo spazio sta al numeratore, quindi un tratto più lungo significa un tempo più lungo. La velocità sta al denominatore, quindi un treno più veloce ci mette meno. Entrambe le cose tornano.
• La formula ci permette di controllare le unità, ne parliamo tra poco.
• Se sbagliamo, sappiamo dove cercare. In una riga piena di numeri l’errore si nasconde molto meglio.
• La calcolatrice la prendiamo in mano una volta sola e arrotondiamo solo il risultato. Perché è importante lo vedremo negli errori tipici.
• Se cambiano i dati, per esempio il treno va più veloce, basta sostituire di nuovo. La formula ce l’abbiamo già.

Le unità tornano?

Abbiamo sostituito anche le unità di misura e con esse si calcola come con i numeri. I metri si semplificano con i metri e dividere per una frazione equivale a moltiplicare per la frazione inversa:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Sono venuti i secondi, cioè l’unità del tempo che cerchiamo. Con chilometri e ore andrebbe allo stesso modo:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Il controllo delle unità scopre anche una formula ricavata male. Chi scambiasse numeratore e denominatore e calcolasse $t=\frac{v}{s}$ otterrebbe

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

e questa non è un’unità di tempo. Sappiamo subito che c’è qualcosa che non va, senza dover calcolare nulla.

Le due strade danno lo stesso risultato

Rifacciamo il calcolo del treno in chilometri e ore, per convincerci che funziona:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Ecco il misterioso 0,025 dell’introduzione. Questa volta sappiamo che sono ore, perché i chilometri divisi per chilometri all’ora danno ore. Per passare ai secondi sostituiamo all’ora 3600 s:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Sono venuti gli stessi 90 s. Quale strada è migliore? Dipende dal problema. In cinematica e in dinamica converteremo quasi sempre in metri e secondi, perché in essi si calcolano anche le accelerazioni e le forze. Quando si viaggia in auto o in treno, dove tutto è in chilometri e ore, spesso è più comodo restare in questi.

Il risultato è ragionevole?

Alla fine stimiamo se il risultato ha senso. Una velocità di 72 km/h significa 72 km in sessanta minuti, cioè 1,2 km al minuto. Lo spazio 1,8 km è una volta e mezza più lungo, quindi il treno ci metterà una volta e mezza il tempo di un minuto. Un minuto e mezzo, torna. Risposta: il treno percorre 1,8 km in un minuto e mezzo.

Spesso basta la semplice esperienza. Paola va a scuola a piedi per 1,5 km e ci mette 18 min. A che velocità va? Chi divide i metri per i minuti ottiene

$$\frac{1500}{18}\approx 83,3,$$

e se dimentica che sono metri al minuto e non al secondo e «converte» in chilometri all’ora, gli viene 83,3 · 3,6 ≈ 300. Paola andrebbe a scuola a 300 km/h, più veloce di un Frecciarossa. Un risultato così è sbagliato anche se non sappiamo dove sia l’errore. Convertiamo correttamente i minuti in secondi, 18 · 60 s = 1080 s, e otteniamo

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{m}}{1080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Moltiplicato per 3,6 sono circa 5 km/h, una normale camminata. Per un controllo grossolano è utile la tabella delle velocità: un pedone va a circa 5 km/h, un ciclista a circa 20 km/h, un’auto in autostrada a 130 km/h. Un’auto che va a 3000 km/h, o un treno che percorre un chilometro in tre secondi, è un chiaro segnale che bisogna cercare l’errore.

Il procedimento in breve

Tutto il procedimento l’abbiamo seguito sul treno. Riassumiamolo:

1. Dati e incognite. Scriviamo ciò che conosciamo, ogni grandezza con lettera, numero e unità di misura, e ciò che cerchiamo, con un punto interrogativo.

2. Conversione delle unità. Convertiamo tutto nelle stesse unità, di solito in metri, secondi e metri al secondo.

3. Schizzo. Disegniamo ciò che accade e accanto alla figura scriviamo le grandezze.

4. Soluzione generale. Dalla formula ricaviamo la grandezza cercata, solo con le lettere.

5. Sostituzione. Nella formula finale sostituiamo i numeri, con le unità, e calcoliamo il risultato.

6. Controllo delle unità. Verifichiamo che sia venuta l’unità della grandezza cercata.

7. Stima. Ci chiediamo se il risultato è ragionevole e rispondiamo con una frase completa alla domanda del testo.

Allo stesso modo procederemo in tutti gli esercizi successivi, anche in dinamica. Lì alle grandezze si aggiungono le forze e lo schizzo sarà ancora più importante, perché vi disegneremo quale forza agisce dove.

Errori tipici

Minuti sostituiti come ore. Un pedone cammina a 5 km/h. Dove arriva in 15 min? Chi sostituisce direttamente quindici in s = v · t ottiene

$$s=5\cdot 15=75,$$

e poiché la velocità era in chilometri all’ora, scrive 75 km. Così il pedone in un quarto d’ora andrebbe da Milano quasi fino a Brescia. La velocità è in chilometri all’ora, quindi il tempo deve essere in ore. Quindici minuti sono un quarto d’ora, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Un errore così si trascura facilmente se sostituiamo i numeri senza unità. Con le unità ci verrebbero chilometri all’ora per minuti, e questo non si semplifica.

I decimi di ora non sono minuti. Per esempio 1,5 h non è un’ora e cinquanta, ma un’ora e trenta minuti, perché un’ora ha sessanta minuti, non cento. Allo stesso modo 0,25 h non sono venticinque minuti, ma quindici. La parte decimale di un’ora la converti in minuti moltiplicandola per sessanta:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Arrotondamento dei risultati intermedi. Guardiamo di nuovo il treno calcolato in ore. Ci è venuto 0,025 h. Chi è abituato ad arrotondare a due cifre decimali scrive 0,03 h e prosegue:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

Invece di 90 s è venuto 108 s, 18 s in più. L’errore è del venti per cento, e solo per un arrotondamento all’apparenza innocente. Abbiamo aggiunto soltanto cinque millesimi di ora, ma 0,025 è un numero piccolo e cinque millesimi ne sono un quinto intero. Dopo la moltiplicazione per 3600 i cinque millesimi di ora sono diventati 18 s. I risultati intermedi quindi non arrotondarli affatto, oppure tieni almeno due o tre cifre in più di quelle che vuoi nel risultato. La cosa più sicura è la soluzione generale: con i numeri si calcola solo alla fine e si arrotonda una volta sola, solo il risultato finale, nelle unità in cui lo vogliamo.

Un ciclista dall’inizio alla fine

Per finire, svolgiamo un esempio completo, passo dopo passo. Un ciclista va su una pista ciclabile a velocità costante di 18 km/h. In quanto tempo percorre 4,5 km?

Scriviamo ciò che sappiamo e ciò che cerchiamo:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Lo spazio è in chilometri e la velocità in chilometri all’ora, le unità non sono mescolate, quindi questa volta non serve convertire e il tempo verrà in ore. Per controllo lo calcoleremo poi anche in secondi. Lo schizzo è quasi uguale a quello del treno:

La soluzione generale la conosciamo dal treno, $t=\frac{s}{v}$. Sostituiamo:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Le unità tornano, i chilometri divisi per chilometri all’ora danno ore. Un quarto d’ora corrisponde poi a

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Ora lo stesso nelle unità fondamentali. Convertiamo:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4500\mathrm{m}\end{array}$$

e sostituiamo:

$$t=\frac{4500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Un minuto ha sessanta secondi, quindi $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Entrambe le strade portano allo stesso risultato.

Il risultato ha senso? In un’ora il ciclista percorrerebbe 18 km, in un quarto d’ora quindi un quarto, 4,5 km. Esattamente quanto doveva percorrere. Scriviamo la risposta con una frase completa: il ciclista percorre 4,5 km in 15 min.

Con lo stesso procedimento riusciamo a risolvere anche i problemi sul moto, in cui due auto si incontrano o una raggiunge l’altra. Lì lo schizzo e la soluzione generale si rivelano davvero utili.