Zo los je opgaven over kinematica en dynamica op
Een trein rijdt over een recht spoor met een constante snelheid van 72 km/h. Hoe lang doet hij erover om 1,8 km af te leggen?
De tijd is de afgelegde weg gedeeld door de snelheid. Maar wie de rekenmachine pakt en 1,8 door tweeënzeventig deelt, krijgt 0,025 en weet niet wat hij daarmee moet. Seconden zijn het niet, minuten ook niet. En wie 1800 meter door tweeënzeventig deelt, krijgt 25, wat heel geloofwaardig lijkt en toch onzin is. Zo'n opgave reken je gemakkelijk uit, het is moeilijker om er niets in te verknoeien. In de natuurkunde loont het daarom om bij elke opgave op dezelfde manier te werk te gaan, stap voor stap. Dat proberen we meteen uit op die trein.
Wat weten we en wat zoeken we
Uit de opgave schrijven we eerst alle grootheden op die we kennen, elk met zijn eigen letter, met het getal en de eenheid. Daaronder schrijven we wat we zoeken, en in plaats van een getal zetten we een vraagteken:
Het kan lijken op onnodig papierwerk, maar in werkelijkheid bespaart het je veel ellende. Meteen zien we wat we tot onze beschikking hebben en wat er ontbreekt. In een opgave in zinnen zie je getallen gemakkelijk over het hoofd of verwissel je ze, in een kolom niet. Aan de grootheden in de kolom herkennen we ook de formule: afgelegde weg, snelheid en tijd, dat is s = v · t.
We rekenen de eenheden om
De snelheid hebben we in kilometer per uur, de afgelegde weg in kilometer. Vóór het eigenlijke rekenen rekenen we beide om naar basiseenheden, dus naar meter, seconden en meter per seconde. De snelheid delen we door 3,6:
en de afgelegde weg vermenigvuldigen we met duizend:
De omgerekende waarden vullen we meteen in onze notatie in:
De eenheid tussen haakjes achter het vraagteken verraadt in welke eenheid we het resultaat krijgen. Als we meter en meter per seconde invullen, komt de tijd in seconden uit.
Moeten het meter en seconden zijn? Nee. We kunnen ook gerust in kilometer en uren rekenen. De afgelegde weg is in kilometer, de snelheid in kilometer per uur, dus de tijd zou in uren uitkomen. Er is maar één ding belangrijk: eenheden mag je niet mengen. Als we 1800 m delen door de snelheid 72, die in kilometer per uur is, komt er 25 uit van iets wat geen seconden en geen uren zijn. En dat is precies die geloofwaardig ogende vijfentwintig uit de inleiding.
Schets
Bij opgaven over beweging loont het vrijwel altijd om een tekening te maken. Hij hoeft niet mooi te zijn en niet op schaal. Een trein als een doosje met wielen, een pijl die aangeeft waarheen hij rijdt en het stuk spoor dat hij moet afleggen, is genoeg.
De rode pijl is de snelheid v, de blauwe maatlijn is de afgelegde weg s die de trein moet afleggen. Bij elk deel van de tekening zetten we de letter van de grootheid en eventueel ook de waarde. Bij één trein op een recht spoor is de schets bijna vanzelfsprekend. Maar zodra twee auto's naar elkaar toe rijden of een trein door een tunnel rijdt en het op zijn lengte aankomt, verraadt de tekening vaak eerder dan de berekening wat er in de opgave eigenlijk gebeurt.
Eerst letters, getallen pas aan het eind
We zouden de getallen het liefst meteen invullen. Beter is het om de hele opgave eerst algemeen op te lossen, dus alleen met letters, en de getallen pas in de kant-en-klare formule in te vullen. Uit de formule s = v · t maken we de tijd door beide kanten door de snelheid te delen:
Nu pas komen de omgerekende waarden aan bod:
De trein legt 1,8 km af in 90 s, dus in anderhalve minuut.
Waarom zoveel omhaal, terwijl we meteen konden delen? Bij zo'n korte opgave is het verschil klein, maar de algemene oplossing heeft een aantal voordelen die bij langere opgaven snel zichtbaar worden:
- Aan de formule met letters zien we of hij zinnig is. In de formule
- De formule laat ons de eenheden controleren, daarover straks meer.
- Als we ons vergissen, weten we waar we moeten zoeken. In een regel vol getallen verstopt een fout zich veel beter.
- De rekenmachine pakken we maar één keer en we ronden pas het resultaat af. Waarom dat uitmaakt, zien we bij de typische fouten.
- Als de opgave verandert, bijvoorbeeld als de trein sneller gaat rijden, hoeven we alleen opnieuw in te vullen. De formule hebben we al.
Kloppen de eenheden?
We hebben ook met eenheden ingevuld en daarmee rekenen we net als met getallen. Meters vallen weg tegen meters en delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk:
Er kwamen seconden uit, dus de eenheid van de tijd die we zoeken. Met kilometer en uren zou het hetzelfde aflopen:
De eenhedencontrole onthult ook een verkeerd omgewerkte formule. Wie de teller en de noemer zou verwisselen en
krijgen, en dat is niet de eenheid van tijd. Meteen weten we dat er iets mis is, zonder dat we iets hoeven uit te rekenen.
Beide wegen geven hetzelfde
De trein rekenen we nog een keer door in kilometer en uren, om ons ervan te overtuigen dat het werkt:
Hier is die mysterieuze 0,025 uit de inleiding. Deze keer weten we dat het uren zijn, omdat kilometer gedeeld door kilometer per uur uren geeft. Naar seconden rekenen we om door voor een uur 3600 s in te vullen:
Er kwam dezelfde 90 s uit. Welke weg is beter? Dat hangt van de opgave af. In kinematica en dynamica rekenen we bijna altijd om naar meter en seconden, omdat versnellingen en krachten daarin worden berekend. Bij reizen met de auto of de trein, waar alles in kilometer en uren is, blijft het vaak handiger daarbij te blijven.
Is het resultaat redelijk?
Tot slot schatten we of het resultaat zinnig is. Een snelheid van 72 km/h betekent 72 km in zestig minuten, dus 1,2 km per minuut. De afgelegde weg van 1,8 km is anderhalf keer zo lang, dus de trein doet er anderhalf keer zo lang over als een minuut. Anderhalve minuut, klopt. Antwoord: de trein legt 1,8 km af in anderhalve minuut.
Vaak volstaat gewone ervaring. Pien loopt 1,5 km naar school en het kost haar 18 min. Met welke snelheid loopt ze? Wie meters door minuten deelt, krijgt
en als hij vergeet dat het meter per minuut is en geen meter per seconde en “omrekent” naar kilometer per uur, komt er 83,3 · 3,6 ≈ 300 uit. Pien zou dan met 300 km/h naar school lopen, sneller dan een hogesnelheidstrein. Zo'n resultaat is fout, ook al weten we niet waar de fout is gemaakt. Correct rekenen we minuten om naar seconden, 18 · 60 s = 1080 s, en krijgen we
Na vermenigvuldigen met 3,6 is dat ongeveer 5 km/h, gewoon wandelen. Voor een grove controle komt de tabel met snelheden van pas: een voetganger loopt ongeveer 5 km/h, een fietser ongeveer 20 km/h, een auto op de snelweg 130 km/h. Een auto die 3000 km/h rijdt, of een trein die een kilometer in drie seconden aflegt, is een duidelijk signaal dat je een fout moet zoeken.
De aanpak in het kort
De hele aanpak hebben we doorgenomen aan de trein. We vatten hem samen:
1. Notatie. We schrijven op wat we kennen, elke grootheid met letter, getal en eenheid, en wat we zoeken, met een vraagteken.
2. Eenheden omrekenen. Alles rekenen we om naar dezelfde eenheden, meestal naar meter, seconden en meter per seconde.
3. Schets. We tekenen wat er gebeurt en zetten de grootheden bij de tekening.
4. Algemene oplossing. Uit de formule maken we de gezochte grootheid, alleen met letters.
5. Invullen. In de kant-en-klare formule vullen we de getallen in, met eenheden, en berekenen het resultaat.
6. Eenhedencontrole. We controleren dat de eenheid van de gezochte grootheid is uitgekomen.
7. Schatting. We vragen ons af of het resultaat redelijk is en beantwoorden de vraag uit de opgave met een hele zin.
Op dezelfde manier gaan we te werk in alle volgende opgaven, ook bij dynamica. Daar komen krachten bij de grootheden en wordt de schets nog belangrijker, omdat we erin tekenen welke kracht waar werkt.
Typische fouten
Minuten ingevuld als uren. Een voetganger loopt met 5 km/h. Hoe ver komt hij in 15 min? Wie in s = v · t meteen de vijftien invult, krijgt
en omdat de snelheid in kilometer per uur was, schrijft hij 75 km op. Dan zou de voetganger in een kwartier van Praag bijna naar Pilsen lopen. De snelheid is in kilometer per uur, dus de tijd moet in uren. Vijftien minuten is een kwartier, 0,25 h:
Zo'n fout zien we gemakkelijk over het hoofd als we getallen zonder eenheden invullen. Met eenheden zouden we kilometer per uur keer minuten krijgen, en dat valt niet tegen elkaar weg.
Tienden van een uur zijn geen minuten. Bijvoorbeeld 1,5 h is niet een uur en vijftig minuten, maar een uur en dertig minuten, want een uur heeft zestig minuten, geen honderd. Zo is ook 0,25 h geen vijfentwintig minuten, maar vijftien. Het decimale deel van een uur reken je om naar minuten door het met zestig te vermenigvuldigen:
Tussenresultaten afronden. Kijk nog eens naar de trein die in uren is uitgerekend. Er kwam 0,025 h uit. Wie gewend is op twee decimalen af te ronden, schrijft 0,03 h op en gaat verder:
In plaats van 90 s kwam er 108 s uit, 18 s meer. De fout is twintig procent, en dat alleen door één onschuldig ogende afronding. We hebben er maar vijf duizendsten uur bij gedaan, maar 0,025 is een klein getal en vijf duizendsten is er een vijfde van. Na vermenigvuldigen met 3600 werden de vijf duizendsten uur 18 s. Rond tussenresultaten daarom helemaal niet af, of houd minstens twee of drie cijfers meer aan dan je in het resultaat wilt hebben. Het zekerst is de algemene oplossing: we rekenen pas aan het eind met de getallen en ronden maar één keer af, het kant-en-klare resultaat, in de eenheden waarin we het willen hebben.
Een fietser van begin tot eind
Tot slot nemen we nog een opgave helemaal door, stap voor stap. Een fietser rijdt over een fietspad met een constante snelheid van 18 km/h. Hoe lang doet hij erover om 4,5 km af te leggen?
We schrijven op wat we weten en wat we zoeken:
De afgelegde weg is in kilometer en de snelheid in kilometer per uur, de eenheden worden niet gemengd, dus deze keer hoeven we niet om te rekenen en komt de tijd in uren uit. Ter controle rekenen we hem daarna ook nog in seconden uit. De schets is bijna hetzelfde als bij de trein:
De algemene oplossing kennen we van de trein,
De eenheden kloppen, kilometer gedeeld door kilometer per uur geeft uren. Een kwartier komt dan overeen met
Nu hetzelfde in basiseenheden. We rekenen om:
en vullen in:
Een minuut heeft zestig seconden, dus
Is het resultaat zinnig? In een uur zou de fietser 18 km afleggen, in een kwartier dus een kwart daarvan, 4,5 km. Precies zoveel als hij moest afleggen. Het antwoord schrijven we op als een hele zin: de fietser legt 4,5 km af in 15 min.
Met dezelfde aanpak kun je ook contextopgaven over beweging aan, waarin twee auto's elkaar ontmoeten of de ene de andere inhaalt. Daar loont zowel de schets als de algemene oplossing echt.
