Comment résoudre les exercices de cinématique et de dynamique

Un train roule sur une voie droite à la vitesse constante de 72 km/h. En combien de temps parcourt-il 1,8 km ?

Le temps est la distance divisée par la vitesse. Mais celui qui prend la calculatrice et divise 1,8 par soixante-douze obtient 0,025 et ne sait pas quoi en faire. Ce ne sont pas des secondes, ni des minutes non plus. Et celui qui divise 1 800 mètres par soixante-douze obtient 25, ce qui paraît assez vraisemblable et pourtant n’a aucun sens. Un tel exercice se calcule facilement, le plus dur est de ne pas se tromper en route. En physique, il vaut donc la peine de procéder de la même façon pour chaque exercice, pas à pas. Essayons-les tout de suite sur ce train.

Ce que nous savons et ce que nous cherchons

Nous relevons d’abord dans l’énoncé toutes les grandeurs que nous connaissons, chacune avec sa lettre, son nombre et son unité. Dessous, nous écrivons ce que nous cherchons, avec un point d’interrogation à la place du nombre :

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ d& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Cela peut sembler de la paperasserie inutile, mais en réalité cela évite beaucoup d’ennuis. Nous voyons tout de suite ce que nous avons à disposition et ce qui manque. Dans un énoncé rédigé en phrases, les nombres sont facilement oubliés ou intervertis, pas dans une colonne. Les grandeurs de la colonne nous font aussi reconnaître la formule : distance, vitesse et temps, c’est d = v · t.

Nous convertissons les unités

Nous avons la vitesse en kilomètres par heure, la distance en kilomètres. Avant de calculer, nous convertissons les deux en unités de base, donc en mètres, en secondes et en mètres par seconde. Nous divisons la vitesse par 3,6 :

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

et nous multiplions la distance par mille :

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1000\mathrm{m}=1800\mathrm{m}.$$

Nous ajoutons directement les valeurs converties dans les données :

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ d& =1,8\mathrm{km}=1800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

L’unité entre parenthèses après le point d’interrogation indique dans quelle unité nous obtiendrons le résultat. Quand nous remplaçons par des mètres et des mètres par seconde, nous obtenons le temps en secondes.

Faut-il absolument des mètres et des secondes ? Non. Nous pouvons très bien calculer aussi en kilomètres et en heures. La distance est en kilomètres, la vitesse en kilomètres par heure, donc nous obtiendrions le temps en heures. Une seule chose compte : il ne faut pas mélanger les unités. Quand nous divisons 1 800 m par la vitesse 72, qui est en kilomètres par heure, nous obtenons 25 de quelque chose qui n’est ni des secondes ni des heures. Et c’est justement ce 25 d’apparence vraisemblable du début.

Le schéma

Dans les exercices sur le mouvement, il vaut presque toujours la peine de faire un dessin. Il n’a besoin d’être ni beau ni à l’échelle. Il suffit d’un train comme une boîte à roues, d’une flèche indiquant où il va et du tronçon de voie qu’il doit parcourir.

La flèche rouge est la vitesse v, la cote bleue est la distance d que le train doit parcourir. À chaque partie du dessin, nous ajoutons la lettre de la grandeur, éventuellement aussi sa valeur. Avec un seul train sur une voie droite, le schéma est presque évident. Mais dès que deux voitures rouleront l’une vers l’autre ou qu’un train traversera un tunnel dont la longueur compte, le dessin révèle souvent avant le calcul ce qui se passe dans l’exercice.

D’abord les lettres, les nombres seulement à la fin

Nous aimerions remplacer tout de suite par les nombres. Mieux vaut cependant d’abord résoudre tout l’exercice de façon littérale, donc seulement avec des lettres, et ne remplacer par les nombres que dans la formule finale. De la formule d = v · t, nous exprimons le temps en divisant les deux côtés par la vitesse :

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& d/:v\\ t& =& \frac{d}{v}\end{array}$$

C’est maintenant le tour des valeurs converties :

$$t=\frac{d}{v}=\frac{1800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Le train parcourt 1,8 km en 90 s, donc en une minute et demie.

Pourquoi tant de cérémonies, alors que nous aurions pu diviser tout de suite ? Pour un exemple aussi court, la différence est petite, mais la résolution littérale a plusieurs avantages qui se font vite sentir dans les exercices plus longs :

• D’après la formule avec des lettres, nous voyons si elle a du sens. Dans la formule $t=\frac{d}{v}$, la distance est au numérateur, donc une voie plus longue signifie un temps plus long. La vitesse est au dénominateur, donc un train plus rapide y arrive plus tôt. Tout concorde.
• La formule nous permet de vérifier les unités, nous y venons dans un instant.
• Quand nous nous trompons, nous savons où chercher. Dans une ligne pleine de nombres, l’erreur se cache beaucoup mieux.
• Nous ne prenons la calculatrice qu’une seule fois et nous n’arrondissons que le résultat. Pourquoi cela compte, nous le verrons avec les erreurs typiques.
• Quand l’énoncé change, si par exemple le train roule plus vite, il suffit de remplacer de nouveau. Nous avons déjà la formule.

Les unités sont-elles cohérentes ?

Nous avons remplacé les grandeurs par leurs valeurs avec les unités, et nous calculons avec les unités comme avec des nombres. Les mètres se simplifient avec les mètres et diviser par une fraction revient à multiplier par la fraction inverse :

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Nous avons obtenu des secondes, donc l’unité du temps que nous cherchons. Avec des kilomètres et des heures, ce serait la même chose :

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

La vérification des unités dévoile aussi une formule mal exprimée. Celui qui aurait échangé le numérateur et le dénominateur et calculé $t=\frac{v}{d}$ aurait obtenu

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

et ce n’est pas une unité de temps. Nous savons tout de suite qu’il y a une erreur et nous n’avons même pas à calculer.

Les deux voies donnent la même chose

Refaisons le trajet du train en kilomètres et en heures, pour nous convaincre que cela marche :

$$t=\frac{d}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Voilà ce mystérieux 0,025 du début. Cette fois, nous savons que ce sont des heures, car des kilomètres divisés par des kilomètres par heure donnent des heures. Nous convertissons en secondes en remplaçant l’heure par 3 600 s :

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Nous obtenons les mêmes 90 s. Quelle voie est la meilleure ? Cela dépend de l’énoncé. En cinématique et en dynamique, nous convertirons presque toujours en mètres et en secondes, car c’est dans ces unités que se calculent aussi les accélérations et les forces. Pour les voyages en voiture ou en train, où tout est en kilomètres et en heures, il est souvent plus commode d’en rester là.

Le résultat est-il raisonnable ?

À la fin, nous estimons si le résultat a du sens. La vitesse de 72 km/h signifie 72 km en soixante minutes, donc 1,2 km par minute. La distance de 1,8 km est une fois et demie plus longue, donc il faudra au train une fois et demie plus de temps qu’une minute. Une minute et demie, c’est cohérent. Réponse : le train parcourt 1,8 km en une minute et demie.

Souvent, la simple expérience suffit. Pauline va à l’école à pied sur 1,5 km et cela lui prend 18 min. À quelle vitesse marche-t-elle ? Celui qui divise des mètres par des minutes obtient

$$\frac{1500}{18}\approx 83,3,$$

et s’il oublie que ce sont des mètres par minute, et non par seconde, et « convertit » en kilomètres par heure, il obtient 83,3 · 3,6 ≈ 300. Pauline irait à l’école à la vitesse de 300 km/h, plus vite qu’un TGV. Un tel résultat est faux, même si nous ne savons pas où l’erreur s’est produite. Nous convertissons correctement les minutes en secondes, 18 · 60 s = 1 080 s, et nous obtenons

$$v=\frac{d}{t}=\frac{1500\mathrm{m}}{1080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Multiplié par 3,6, cela fait à peu près 5 km/h, une marche ordinaire. Pour un contrôle grossier, le tableau des vitesses est utile : un piéton marche à environ 5 km/h, un cycliste à environ 20 km/h, une voiture sur l’autoroute à 130 km/h. Une voiture qui roule à 3 000 km/h ou un train qui parcourt un kilomètre en trois secondes est un signal clair qu’il faut chercher l’erreur.

La méthode en bref

Nous avons parcouru toute la méthode sur le train. Résumons-la :

1. Données. Nous écrivons ce que nous connaissons, chaque grandeur avec une lettre, un nombre et une unité, et ce que nous cherchons, avec un point d’interrogation.

2. Conversion des unités. Nous convertissons tout dans les mêmes unités, en général en mètres, en secondes et en mètres par seconde.

3. Schéma. Nous dessinons ce qui se passe et nous ajoutons les grandeurs au dessin.

4. Résolution littérale. À partir de la formule, nous exprimons la grandeur cherchée, seulement avec des lettres.

5. Application numérique. Dans la formule finale, nous remplaçons par les nombres avec leurs unités et nous calculons le résultat.

6. Vérification des unités. Nous vérifions que l’unité obtenue est celle de la grandeur cherchée.

7. Estimation. Nous nous demandons si le résultat est raisonnable et nous répondons par une phrase entière à la question de l’énoncé.

Nous procéderons de même dans tous les exercices suivants, y compris en dynamique. Là, des forces s’ajouteront aux grandeurs et le schéma sera encore plus important, car nous y dessinerons quelle force s’exerce où.

Erreurs typiques

Des minutes utilisées comme des heures. Un piéton marche à 5 km/h. Où arrive-t-il en 15 min ? Celui qui met directement quinze dans d = v · t obtient

$$d=5\cdot 15=75,$$

et comme la vitesse était en kilomètres par heure, il écrit 75 km. Le piéton irait ainsi en un quart d’heure de Paris presque jusqu’à Chartres. La vitesse est en kilomètres par heure, donc le temps doit être en heures. Quinze minutes, c’est un quart d’heure, 0,25 h :

$$d=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Une telle erreur échappe facilement quand nous remplaçons les nombres sans les unités. Avec les unités, nous aurions obtenu des kilomètres par heure fois des minutes, et cela ne se simplifie pas.

Les dixièmes d’heure ne sont pas des minutes. Par exemple 1,5 h n’est pas une heure cinquante, mais une heure et trente minutes, car une heure a soixante minutes, pas cent. De même, 0,25 h n’est pas vingt-cinq minutes, mais quinze. La partie décimale d’une heure se convertit en minutes en la multipliant par soixante :

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

L’arrondi des résultats intermédiaires. Regardons de nouveau le train calculé en heures. Nous avons obtenu 0,025 h. Celui qui a l’habitude d’arrondir à deux décimales écrit 0,03 h et continue :

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

Au lieu de 90 s, nous avons obtenu 108 s, soit 18 s de plus. L’erreur est de vingt pour cent, et cela à cause d’un seul arrondi à l’air innocent. Nous avons pourtant seulement ajouté cinq millièmes d’heure, mais 0,025 est un petit nombre et cinq millièmes en représentent tout un cinquième. Après multiplication par 3 600, les cinq millièmes d’heure sont devenus 18 s. N’arrondis donc pas du tout les résultats intermédiaires, ou garde au moins deux ou trois chiffres de plus que tu ne veux en avoir dans le résultat. Le plus sûr est la résolution littérale : nous ne calculons avec les nombres qu’à la fin et nous n’arrondissons qu’une fois, le résultat final dans les unités dans lesquelles nous voulons l’avoir.

Un cycliste du début à la fin

Enfin, parcourons un exemple en entier, pas à pas. Un cycliste roule sur une piste cyclable à la vitesse constante de 18 km/h. En combien de temps parcourt-il 4,5 km ?

Nous écrivons ce que nous savons et ce que nous cherchons :

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ d& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

La distance est en kilomètres et la vitesse en kilomètres par heure, les unités ne sont pas mélangées, donc cette fois nous n’avons pas à convertir et nous obtiendrons le temps en heures. Pour vérifier, nous le calculerons ensuite encore en secondes. Le schéma est presque le même que pour le train :

La résolution littérale, nous la connaissons depuis le train, $t=\frac{d}{v}$. Nous remplaçons :

$$t=\frac{d}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Les unités sont cohérentes, des kilomètres divisés par des kilomètres par heure donnent des heures. Un quart d’heure correspond alors à

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Maintenant la même chose en unités de base. Nous convertissons :

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ d& =4,5\mathrm{km}=4500\mathrm{m}\end{array}$$

et nous remplaçons :

$$t=\frac{4500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Une minute a soixante secondes, donc $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Les deux voies mènent au même résultat.

Le résultat a-t-il du sens ? En une heure, le cycliste parcourrait 18 km, en un quart d’heure donc le quart, 4,5 km. Exactement ce qu’il devait parcourir. Nous écrivons la réponse par une phrase entière : le cycliste parcourt 4,5 km en 15 min.

Avec la même méthode, nous viendrons aussi à bout des problèmes sur le mouvement, où deux voitures se croisent ou l’une rattrape l’autre. Là, le schéma comme la résolution littérale valent vraiment la peine.