Sådan løser du opgaver i kinematik og dynamik

Et tog kører på et lige spor med konstant fart 72 km/h. Hvor lang tid er det om at køre 1,8 km?

Tiden er strækningen divideret med farten. Men den, der tager lommeregneren og dividerer 1,8 med tooghalvfjerds, får 0,025 og ved ikke, hvad han skal stille op med det. Sekunder er det ikke, minutter heller ikke. Og den, der dividerer 1800 meter med tooghalvfjerds, får 25, hvilket ser ret troværdigt ud og alligevel er noget sludder. En sådan opgave er let at regne, det svære er ikke at ødelægge noget undervejs. I fysik kan det derfor betale sig at gribe det samme an hver gang, trin for trin. Vi prøver det straks på toget.

Hvad ved vi, og hvad leder vi efter

Af opgaveteksten skriver vi først alle de størrelser op, som vi kender, hver med sit bogstav, med tal og enhed. Under dem skriver vi, hvad vi leder efter, og sætter et spørgsmålstegn i stedet for tallet:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Det kan virke som unødvendigt papirnusseri, men i virkeligheden sparer det en masse besvær. Straks kan vi se, hvad vi har til rådighed, og hvad der mangler. I en opgavetekst skrevet i sætninger overser eller forbytter man let tallene, i en kolonne gør man det ikke. Ud fra hvilke størrelser der står i kolonnen, kan vi også se, hvilken formel vi skal bruge: strækning, fart og tid, det er s = v · t.

Vi omregner enhederne

Farten har vi i kilometer i timen, strækningen i kilometer. Før selve regningen omregner vi begge dele til grundenheder, altså til meter, sekunder og meter pr. sekund. Farten dividerer vi med tallet 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

og strækningen ganger vi med tusind:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1000\mathrm{m}=1800\mathrm{m}.$$

De omregnede værdier skriver vi straks ind i opskrivningen:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

Enheden i parentes efter spørgsmålstegnet afslører, hvilken enhed vi får resultatet i. Når vi sætter meter og meter pr. sekund ind, kommer tiden ud i sekunder.

Skal det være meter og sekunder? Nej. Vi kan sagtens regne i kilometer og timer. Strækningen er i kilometer, farten i kilometer i timen, så ville tiden komme ud i timer. Det eneste vigtige er: enhederne må ikke blandes. Når vi dividerer 1800 m med farten 72, som er i kilometer i timen, får vi 25 af noget, der hverken er sekunder eller timer. Og det er netop den troværdigt udseende femogtyve fra indledningen.

Skitse

Ved opgaver om bevægelse kan det næsten altid betale sig at tegne en figur. Den behøver hverken være pæn eller i målestok. Det er nok med et tog som en kasse med hjul, en pil, der viser, hvorhen det kører, og det stykke af sporet, det skal køre.

Den røde pil er hastigheden v, den blå målepil er strækningen s, som toget skal køre. Ved hver del af figuren skriver vi bogstavet for størrelsen, eventuelt også værdien. Ved ét tog på et lige spor er skitsen næsten selvindlysende. Men så snart to biler kører mod hinanden, eller et tog kører gennem en tunnel, og dets længde har betydning, afslører figuren ofte, hvad der egentlig foregår i opgaven, før regningen gør det.

Først bogstaverne, tallene til sidst

Tallene ville vi helst sætte ind med det samme. Det er bedre først at løse hele opgaven generelt, altså kun med bogstaver, og sætte tallene ind i den færdige formel. Af formlen s = v · t isolerer vi tiden, og vi dividerer begge sider med farten:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Først nu kommer de omregnede værdier til:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Toget kører 1,8 km på 90 s, altså på halvandet minut.

Hvorfor så meget besvær, når vi bare kunne dividere med det samme? Ved et så kort eksempel er forskellen lille, men den generelle løsning har flere fordele, som hurtigt viser sig ved længere opgaver:

• Ud fra formlen med bogstaver kan vi se, om den giver mening. I formlen $t=\frac{s}{v}$ står strækningen i tælleren, så en længere strækning betyder længere tid. Farten står i nævneren, så et hurtigere tog klarer det før. Begge dele passer.
• Formlen lader os kontrollere enhederne, det kommer vi til om lidt.
• Når vi tager fejl, ved vi, hvor vi skal lede. I en linje fuld af tal gemmer en fejl sig meget bedre.
• Lommeregneren tager vi kun i hånden én gang, og vi afrunder først resultatet. Hvorfor det betyder noget, ser vi ved de typiske fejl.
• Når opgaven ændrer sig, for eksempel at toget kører hurtigere, er det nok at sætte ind igen. Formlen har vi jo allerede.

Passer enhederne?

Vi satte ind med enheder, og dem regner vi med på samme måde som med tal. Meter forkortes med meter, og at dividere med en brøk er det samme som at gange med den omvendte brøk:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Der kom sekunder ud, altså enheden for den tid, vi leder efter. Med kilometer og timer ville det gå på samme måde:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Kontrol af enheder afslører også en forkert isoleret formel. Den, der byttede om på tæller og nævner og regnede $t=\frac{v}{s}$, ville få

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

og det er ikke enheden for tid. Straks ved vi, at noget er galt, uden at vi overhovedet skal regne noget ud.

Begge veje giver det samme

Vi kører toget igennem endnu en gang i kilometer og timer, så vi kan overbevise os om, at det virker:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Her er det gådefulde 0,025 fra indledningen. Denne gang ved vi, at det er timer, for kilometer divideret med kilometer i timen giver timer. Til sekunder omregner vi ved at sætte 3600 s ind for en time:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Der kom de samme 90 s ud. Hvilken vej er bedst? Det afhænger af opgaven. I kinematik og dynamik vil vi næsten altid omregne til meter og sekunder, for i dem regnes også accelerationer og kræfter. Ved rejser med bil eller tog, hvor alt er i kilometer og timer, er det ofte mere bekvemt at blive ved dem.

Er resultatet rimeligt?

Til sidst skønner vi, om resultatet giver mening. Farten 72 km/h betyder 72 km på tres minutter, altså 1,2 km i minuttet. Strækningen 1,8 km er halvanden gange så lang, så det vil tage toget halvanden gang så lang tid som et minut. Halvandet minut, det passer. Svar: Toget kører 1,8 km på halvandet minut.

Ofte er almindelig erfaring nok. Sofie går 1,5 km til skole og bruger 18 min på det. Hvilken fart går hun med? Den, der dividerer meter med minutter, får

$$\frac{1500}{18}\approx 83,3,$$

og hvis han glemmer, at det er meter i minuttet og ikke i sekundet, og »omregner« til kilometer i timen, får han 83,3 · 3,6 ≈ 300. Sofie ville gå i skole med 300 km/h, hurtigere end et højhastighedstog. Et sådant resultat er forkert, selv om vi ikke aner, hvor fejlen skete. Det rigtige er at omregne minutterne til sekunder, 18 · 60 s = 1080 s, og så får vi

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{m}}{1080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Ganget med tallet 3,6 er det cirka 5 km/h, almindelig gang. Til en grov kontrol er tabellen over farter nyttig: En fodgænger går omkring 5 km/h, en cyklist omkring 20 km/h, en bil på motorvejen 130 km/h. En bil, der kører 3000 km/h, eller et tog, der kører en kilometer på tre sekunder, er et klart signal om, at der skal ledes efter en fejl.

Fremgangsmåden i kort form

Hele fremgangsmåden har vi gennemgået på toget. Her er den samlet:

1. Opskrivning. Vi skriver op, hvad vi kender, hver størrelse med bogstav, tal og enhed, og hvad vi leder efter, med spørgsmålstegn.

2. Omregning af enheder. Alt omregner vi til de samme enheder, som regel til meter, sekunder og meter pr. sekund.

3. Skitse. Vi tegner, hvad der sker, og skriver størrelserne ved figuren.

4. Generel løsning. Af formlen isolerer vi den søgte størrelse, kun med bogstaver.

5. Indsættelse. I den færdige formel sætter vi tallene ind med enheder og beregner resultatet.

6. Kontrol af enheder. Vi kontrollerer, at enheden for den søgte størrelse kom ud.

7. Overslag. Vi spørger, om resultatet er rimeligt, og besvarer spørgsmålet i opgaveteksten med en hel sætning.

Sådan går vi frem i alle de følgende opgaver, også i dynamikken. Dér kommer der kræfter til størrelserne, og skitsen bliver endnu vigtigere, for vi skal tegne ind i den, hvilken kraft der virker hvor.

Typiske fejl

Minutter indsat som timer. En fodgænger går med farten 5 km/h. Hvor kommer han hen på 15 min? Den, der sætter femten ind direkte i s = v · t, får

$$s=5\cdot 15=75,$$

og fordi farten var i kilometer i timen, skriver han 75 km. Så ville fodgængeren på et kvarter gå næsten fra København til Næstved. Farten er i kilometer i timen, så tiden skal være i timer. Femten minutter er en kvart time, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Sådan en fejl overser vi let, når vi sætter tallene ind uden enheder. Med enheder ville vi have fået kilometer i timen gange minutter, og det forkortes ikke.

Tiendedele af en time er ikke minutter. For eksempel er 1,5 h ikke en time og halvtreds, men en time og tredive minutter, fordi en time har tres minutter, ikke hundrede. På samme måde er 0,25 h ikke femogtyve minutter, men femten. Decimaldelen af en time omregner du til minutter ved at gange den med tres:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Afrunding af mellemresultater. Se igen på toget regnet i timer. Vi fik 0,025 h. Den, der er vant til at afrunde til to decimaler, skriver 0,03 h og regner videre:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

I stedet for 90 s kom der 108 s ud, 18 s mere. Fejlen er tyve procent, og det bare på grund af én uskyldigt udseende afrunding. Vi lagde jo kun fem tusindedele af en time til, men 0,025 er et lille tal, og fem tusindedele er en hel femtedel af det. Efter multiplikation med 3600 blev fem tusindedele af en time til 18 s. Mellemresultater skal du derfor slet ikke afrunde, eller du beholder mindst to-tre cifre mere, end du vil have i resultatet. Det sikreste er den generelle løsning: Vi regner med tal først til sidst og afrunder kun én gang, først det færdige resultat i de enheder, som vi vil have det i.

Cyklisten fra begyndelse til slutning

Til sidst gennemgår vi et eksempel helt, trin for trin. En cyklist kører på cykelstien med konstant fart 18 km/h. Hvor lang tid er han om at køre 4,5 km?

Vi skriver op, hvad vi ved, og hvad vi leder efter:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Strækningen er i kilometer og farten i kilometer i timen, enhederne blandes ikke, så denne gang behøver vi ikke at omregne, og tiden kommer ud i timer. Som kontrol regner vi den bagefter også ud i sekunder. Skitsen er næsten den samme som ved toget:

Den generelle løsning kender vi fra toget, $t=\frac{s}{v}$. Vi sætter ind:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Enhederne passer, kilometer divideret med kilometer i timen giver timer. En kvart time svarer så til

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Nu det samme i grundenheder. Vi omregner:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4500\mathrm{m}\end{array}$$

og sætter ind:

$$t=\frac{4500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Et minut har tres sekunder, så $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Begge veje fører til det samme resultat.

Giver resultatet mening? På en time ville cyklisten køre 18 km, på en kvart time altså en fjerdedel, 4,5 km. Præcis så meget, som han skulle køre. Svaret skriver vi med en hel sætning: Cyklisten kører 4,5 km på 15 min.

Med samme fremgangsmåde klarer vi også opgaver om bevægelse, hvor to biler mødes, eller den ene indhenter den anden. Dér betaler både skitsen og den generelle løsning sig virkelig.