Så löser du uppgifter i kinematik och dynamik

Ett tåg kör på en rak bana med den konstanta hastigheten 72 km/h. Hur lång tid tar det för tåget att köra 1,8 km?

Tiden är sträckan dividerad med hastigheten. Men den som tar miniräknaren och dividerar 1,8 med sjuttiotvå får 0,025 och vet inte vad det ska betyda. Sekunder är det inte, minuter inte heller. Och den som dividerar 1800 meter med sjuttiotvå får 25, vilket ser ganska trovärdigt ut, men är nonsens. En sådan uppgift är lätt att räkna, det svåra är att inte göra något fel. I fysik lönar det sig därför att gå tillväga på samma sätt i varje uppgift, steg för steg. Vi provar stegen direkt på tåget.

Vad vet vi och vad söker vi?

Ur uppgiften skriver vi först upp alla storheter vi känner till, var och en med sin bokstav, med tal och enhet. Under dem skriver vi vad vi söker och sätter ett frågetecken i stället för talet:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Det kan verka som onödigt pappersarbete, men i själva verket sparar det mycket besvär. Vi ser direkt vad vi har och vad som saknas. I en uppgift skriven med meningar är det lätt att tal förbises eller förväxlas, i en kolumn händer det inte. Av vilka storheter som står i kolumnen ser vi också vilken formel vi ska använda: sträcka, hastighet och tid, det är s = v · t.

Vi räknar om enheterna

Hastigheten har vi i kilometer per timme, sträckan i kilometer. Innan vi börjar räkna gör vi om båda till grundenheter, alltså meter, sekunder och meter per sekund. Hastigheten dividerar vi med 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

och sträckan multiplicerar vi med tusen:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1000\mathrm{m}=1800\mathrm{m}.$$

De omräknade värdena skriver vi direkt in i uppställningen:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

Enheten inom parentes efter frågetecknet avslöjar vilken enhet resultatet får. När vi sätter in meter och meter per sekund blir tiden i sekunder.

Måste det vara meter och sekunder? Nej. Vi kan lika gärna räkna med kilometer och timmar. Sträckan är i kilometer, hastigheten i kilometer per timme, så tiden skulle bli i timmar. Det som är viktigt är en enda sak: enheterna får inte blandas. Om vi dividerar 1800 m med hastigheten 72, som är i kilometer per timme, blir det 25 av något som varken är sekunder eller timmar. Och det är just den trovärdiga tjugofemman från inledningen.

Skiss

Vid uppgifter om rörelse lönar det sig nästan alltid att rita en bild. Den behöver inte vara snygg eller skalenlig. Det räcker med ett tåg som en ask med hjul, en pil som visar åt vilket håll det kör och den sträcka som det ska köra.

Den röda pilen är hastigheten v, det blå måttet är sträckan s som tåget ska köra. Vid varje del av bilden skriver vi bokstaven för storheten, eventuellt också värdet. Med ett tåg på ett rakt spår är skissen nästan självklar. Men så fort två bilar ska köra mot varandra, eller ett tåg ska köra genom en tunnel och tågets längd spelar roll, avslöjar bilden ofta vad som händer i uppgiften redan före beräkningen.

Först bokstäver, tal till sist

Helst skulle vi vilja sätta in talen direkt. Men det är bättre att först lösa hela uppgiften allmänt, alltså bara med bokstäver, och sätta in talen först i den färdiga formeln. Ur formeln s = v · t löser vi ut tiden och dividerar båda leden med hastigheten:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Nu är det dags för de omräknade värdena:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Tåget kör 1,8 km på 90 s, alltså på en och en halv minut.

Varför så mycket krångel när vi kunde dividera direkt? I en så kort uppgift är skillnaden liten, men den allmänna lösningen har flera fördelar som snabbt märks i längre uppgifter:

• Med formeln i bokstäver ser vi om den är rimlig. I formeln $t=\frac{s}{v}$ står sträckan i täljaren, så en längre bana betyder längre tid. Hastigheten står i nämnaren, så ett snabbare tåg klarar det på kortare tid. Båda stämmer.
• Formeln låter oss kontrollera enheterna, mer om det om en stund.
• När vi gör fel vet vi var vi ska leta. I en rad full av tal gömmer sig felet mycket lättare.
• Miniräknaren tar vi i handen bara en gång, och avrundar bara slutresultatet. Varför det är viktigt ser vi vid de typiska felen.
• Om uppgiften ändras, till exempel om tåget ska köra snabbare, räcker det att sätta in på nytt. Formeln har vi redan.

Stämmer enheterna?

Vi satte in talen med enheter, och med dem räknar vi på samma sätt som med tal. Meter förkortas mot meter och att dividera med ett bråk är detsamma som att multiplicera med det inverterade bråket:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Det blev sekunder, alltså enheten för den tid vi söker. Med kilometer och timmar hade det gått likadant:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Enhetskontrollen avslöjar också en felaktigt omformad formel. Den som skulle byta plats på täljare och nämnare och räkna $t=\frac{v}{s}$ skulle få

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

och det är inte en enhet för tid. Vi vet genast att något är fel och behöver inte ens räkna.

Båda vägarna ger samma resultat

Vi kör tåget en gång till i kilometer och timmar, för att försäkra oss om att det fungerar:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Här är det mystiska 0,025 från inledningen. Den här gången vet vi att det är timmar, eftersom kilometer dividerat med kilometer per timme ger timmar. Till sekunder räknar vi om genom att sätta in 3600 s för timmen:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Det blev samma 90 s. Vilken väg är bäst? Det beror på uppgiften. I kinematik och dynamik räknar vi nästan alltid om till meter och sekunder, eftersom accelerationer och krafter räknas i dem. Vid resor med bil eller tåg, där allt är i kilometer och timmar, är det ofta bekvämare att stanna kvar i dem.

Är resultatet rimligt?

Till sist uppskattar vi om resultatet är rimligt. Hastigheten 72 km/h betyder 72 km på sextio minuter, alltså 1,2 km per minut. Sträckan 1,8 km är en och en halv gång så lång, så det tar tåget en och en halv gång så lång tid som en minut. En och en halv minut, det stämmer. Svar: tåget kör 1,8 km på en och en halv minut.

Ofta räcker vanlig erfarenhet. Wilma går till skolan, 1,5 km, och det tar henne 18 min. Vilken hastighet går hon med? Den som dividerar meter med minuter får

$$\frac{1500}{18}\approx 83,3,$$

och om man glömmer att det är meter per minut och inte per sekund och ”räknar om” till kilometer per timme blir det 83,3 · 3,6 ≈ 300. Wilma skulle gå till skolan med 300 km/h, snabbare än ett höghastighetståg. Ett sådant resultat är fel, även om vi inte vet var felet uppstod. Rätt är att räkna om minuter till sekunder, 18 · 60 s = 1080 s, och då får vi

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{m}}{1080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Efter multiplikation med 3,6 är det ungefär 5 km/h, vanlig gång. För en grov kontroll är tabellen över hastigheter praktisk: en fotgängare går ungefär 5 km/h, en cyklist ungefär 20 km/h, en bil på motorväg 130 km/h. En bil som kör 3000 km/h, eller ett tåg som kör en kilometer på tre sekunder, är en tydlig signal att du ska leta efter ett fel.

Metoden i korthet

Hela metoden har vi gått igenom på tåget. Vi sammanfattar den:

1. Uppställning. Vi skriver upp vad vi vet, varje storhet med bokstav, tal och enhet, och vad vi söker, med frågetecken.

2. Omräkning av enheter. Vi räknar om allt till samma enheter, vanligen till meter, sekunder och meter per sekund.

3. Skiss. Vi ritar vad som händer och skriver storheterna vid bilden.

4. Allmän lösning. Ur formeln löser vi ut den sökta storheten, bara med bokstäver.

5. Insättning. I den färdiga formeln sätter vi in talen med enheter och beräknar resultatet.

6. Enhetskontroll. Vi kontrollerar att det blev enheten för den sökta storheten.

7. Rimlighetsbedömning. Vi frågar oss om resultatet är rimligt, och svarar med en hel mening på frågan i uppgiften.

På samma sätt går vi tillväga i alla följande uppgifter, även i dynamiken. Där tillkommer krafter bland storheterna, och skissen blir ännu viktigare, eftersom vi i den ska rita vilken kraft som verkar åt vilket håll.

Typiska fel

Minuter insatta som timmar. En fotgängare går med 5 km/h. Hur långt kommer hon på 15 min? Den som sätter in femton direkt i s = v · t får

$$s=5\cdot 15=75,$$

och eftersom hastigheten var i kilometer per timme blir svaret 75 km. Det skulle betyda att fotgängaren på en kvart gick från Stockholm nästan till Uppsala. Hastigheten är i kilometer per timme, så tiden måste vara i timmar. Femton minuter är en kvart, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Ett sådant fel förbises lätt när vi sätter in talen utan enheter. Med enheter skulle vi få kilometer per timme gånger minuter, och det förkortas inte.

Tiondelar av en timme är inte minuter. Till exempel är 1,5 h inte en timme och femtio, utan en timme och trettio minuter, eftersom en timme har sextio minuter, inte hundra. På samma sätt är 0,25 h inte tjugofem minuter utan femton. Decimaldelen av en timme räknar du om till minuter genom att multiplicera den med sextio:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Avrundning av delresultat. Vi tittar igen på tåget som vi räknade i timmar. Vi fick 0,025 h. Den som är van vid att avrunda till två decimaler skriver 0,03 h och fortsätter:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

I stället för 90 s blev det 108 s, 18 s för mycket. Felet är tjugo procent, och det bara på grund av en till synes oskyldig avrundning. Vi lade ju bara till fem tusendelar av en timme, men 0,025 är ett litet tal och fem tusendelar är en hel femtedel av det. Efter multiplikation med 3600 blev fem tusendels timme 18 s. Avrunda därför inte delresultat alls, eller behåll minst två eller tre siffror fler än du vill ha i resultatet. Säkrast är den allmänna lösningen: med tal räknar vi först i slutet och avrundar bara en gång, det färdiga resultatet i den enhet vi vill ha det i.

Cyklisten från början till slut

Till sist går vi igenom ett exempel helt, steg för steg. En cyklist cyklar på en cykelväg med den konstanta hastigheten 18 km/h. Hur lång tid tar det för henne att cykla 4,5 km?

Vi skriver upp vad vi vet och vad vi söker:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Sträckan är i kilometer och hastigheten i kilometer per timme, enheterna blandas inte, så den här gången behöver vi inte räkna om och tiden blir i timmar. För kontrollens skull räknar vi sedan ut den också i sekunder. Skissen är nästan densamma som för tåget:

Den allmänna lösningen känner vi från tåget, $t=\frac{s}{v}$. Vi sätter in:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Enheterna stämmer, kilometer dividerat med kilometer per timme ger timmar. En kvarts timme motsvarar sedan

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Nu samma sak i grundenheter. Vi räknar om:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4500\mathrm{m}\end{array}$$

och sätter in:

$$t=\frac{4500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

En minut har sextio sekunder, så $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Båda vägarna leder till samma resultat.

Är resultatet rimligt? På en timme skulle cyklisten cykla 18 km, på en kvart alltså en fjärdedel, 4,5 km. Precis så långt som hon skulle cykla. Svaret skriver vi med en hel mening: cyklisten cyklar 4,5 km på 15 min.

Med samma metod klarar vi också textuppgifter om rörelse, där två bilar möts eller en kör ikapp en annan. Där lönar sig både skissen och den allmänna lösningen på riktigt.