Como resolver exercícios de cinemática e dinâmica

Um trem anda por uma linha reta com velocidade constante de 72 km/h. Em quanto tempo ele percorre 1,8 km?

O tempo é a distância dividida pela velocidade. Mas quem pega a calculadora e divide 1,8 por setenta e dois obtém 0,025 e não sabe o que fazer com isso. Não são segundos, nem minutos. E quem divide 1.800 metros por setenta e dois obtém 25, o que parece bastante plausível e, no entanto, é um absurdo. Um exercício assim se resolve com facilidade, o difícil é não estragar nada nele. Na física, por isso, vale a pena proceder em todo exercício do mesmo modo, passo a passo. Vamos experimentar isso logo no trem.

O que sabemos e o que procuramos

Do enunciado, primeiro listamos todas as grandezas que conhecemos, cada uma com a sua letra, com o número e a unidade. Embaixo escrevemos o que procuramos, colocando no lugar do número um ponto de interrogação:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Isso pode parecer uma papelada inútil, mas na verdade poupa muito sofrimento. Logo vemos o que temos à disposição e o que falta. Num enunciado escrito em frases, os números são facilmente ignorados ou trocados, numa coluna não. Pelas grandezas que estão na coluna reconhecemos também a fórmula: distância, velocidade e tempo, isso é s = v · t.

Convertemos as unidades

Temos a velocidade em quilômetros por hora e a distância em quilômetros. Antes do cálculo propriamente dito, convertemos as duas para as unidades fundamentais, isto é, para metros, segundos e metros por segundo. Dividimos a velocidade pelo número 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

e multiplicamos a distância por mil:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1.000\mathrm{m}=1.800\mathrm{m}.$$

Acrescentamos logo os valores convertidos à anotação:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1.800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

A unidade entre parênteses depois do ponto de interrogação revela em que o resultado sairá. Quando substituímos metros e metros por segundo, o tempo sai em segundos.

Precisa ser em metros e segundos? Não precisa. Podemos tranquilamente calcular também em quilômetros e horas. A distância está em quilômetros, a velocidade em quilômetros por hora, então o tempo sairia em horas. Importa uma coisa só: as unidades não podem ser misturadas. Quando dividimos 1.800 m pela velocidade 72, que está em quilômetros por hora, sai 25 de algo que não são segundos nem horas. E é justamente esse vinte e cinco com cara de plausível do começo.

Esboço

Nos problemas de movimento, quase sempre vale a pena fazer um desenho. Não precisa ser bonito nem em escala. Basta o trem como uma caixinha com rodas, uma seta para onde ele anda e o trecho da linha que ele deve percorrer.

A seta vermelha é a velocidade v, a cota azul é a distância s que o trem deve percorrer. A cada parte do desenho acrescentamos a letra da grandeza e, se for o caso, o valor. Com um trem numa linha reta o esboço é quase óbvio. Mas, quando dois carros andarem um ao encontro do outro ou quando um trem passar por um túnel e o seu comprimento importar, muitas vezes o desenho revela, antes do cálculo, o que realmente acontece no problema.

Primeiro as letras, os números só no fim

Dá vontade de substituir os números logo. Melhor, porém, é resolver primeiro todo o exercício de modo geral, isto é, só com letras, e substituir os números só na fórmula pronta. Na fórmula s = v · t, isolamos o tempo dividindo os dois lados pela velocidade:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Só agora chega a vez dos valores convertidos:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1.800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

O trem percorre 1,8 km em 90 s, ou seja, em um minuto e meio.

Por que tanta cerimônia, se poderíamos ter dividido direto? Num exercício tão curto a diferença é pequena, mas a resolução geral tem várias vantagens que logo se mostram nos exercícios mais longos:

• Pela fórmula com letras percebemos se ela faz sentido. Na fórmula $t=\frac{s}{v}$ a distância está no numerador, então um trecho mais longo significa mais tempo. A velocidade está no denominador, então um trem mais rápido chega antes. As duas coisas conferem.
• A fórmula nos permite verificar as unidades, disso falaremos daqui a pouco.
• Quando erramos, sabemos onde procurar. Numa linha cheia de números o erro se esconde bem melhor.
• Pegamos a calculadora só uma vez e arredondamos apenas o resultado. Por que isso importa, veremos nos erros típicos.
• Quando o enunciado muda, por exemplo o trem anda mais depressa, basta substituir de novo. Já temos a fórmula.

As unidades conferem?

Substituímos também com as unidades, e com elas calculamos como com os números. Os metros se cancelam com os metros e dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pela fração invertida:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Saíram segundos, isto é, a unidade do tempo que procuramos. Com quilômetros e horas daria no mesmo:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

A verificação das unidades revela também uma fórmula rearranjada de modo errado. Quem trocasse o numerador com o denominador e calculasse $t=\frac{v}{s}$ obteria

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

e essa não é uma unidade de tempo. Logo sabemos que há algo errado e nem precisamos calcular nada.

Os dois caminhos dão o mesmo

Vamos refazer o cálculo do trem em quilômetros e horas, para nos convencermos de que funciona:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Aqui está o misterioso 0,025 do início. Desta vez sabemos que são horas, porque quilômetros divididos por quilômetros por hora dão horas. Para converter em segundos, colocamos no lugar da hora 3.600 s:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3.600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Saíram os mesmos 90 s. Qual caminho é melhor? Depende do enunciado. Na cinemática e na dinâmica, quase sempre converteremos para metros e segundos, porque neles também se calculam as acelerações e as forças. Para viagens de carro ou de trem, em que tudo está em quilômetros e horas, costuma ser mais cômodo ficar com eles.

O resultado é razoável?

Por fim, estimamos se o resultado faz sentido. A velocidade de 72 km/h significa 72 km em sessenta minutos, ou seja, 1,2 km por minuto. A distância de 1,8 km é uma vez e meia mais longa, então o trem levará uma vez e meia mais que um minuto. Um minuto e meio, confere. Resposta: o trem percorre 1,8 km em um minuto e meio.

Muitas vezes basta a experiência comum. Paula vai a pé para a escola, 1,5 km, e leva 18 min. Com que velocidade ela anda? Quem divide metros por minutos obtém

$$\frac{1.500}{18}\approx 83,3,$$

e, se esquece que são metros por minuto, e não por segundo, e “converte” para quilômetros por hora, sai 83,3 · 3,6 ≈ 300. Paula iria para a escola a 300 km/h, mais depressa que um trem de alta velocidade. Um resultado assim está errado, mesmo que não saibamos onde o erro aconteceu. Do jeito certo, convertemos os minutos em segundos, 18 · 60 s = 1.080 s, e obtemos

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1.500\mathrm{m}}{1.080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Multiplicando por 3,6, isso dá cerca de 5 km/h, uma caminhada comum. Para uma verificação aproximada, serve a tabela de velocidades: o pedestre anda a cerca de 5 km/h, o ciclista a cerca de 20 km/h, o carro na rodovia a 130 km/h. Um carro que anda a 3.000 km/h, ou um trem que percorre um quilômetro em três segundos, é um sinal claro de que é preciso procurar o erro.

O procedimento resumido

Percorremos todo o procedimento no trem. Vamos resumi-lo:

1. Anotação. Listamos o que sabemos, cada grandeza com letra, número e unidade, e o que procuramos, com um ponto de interrogação.

2. Conversão de unidades. Convertemos tudo para as mesmas unidades, em geral metros, segundos e metros por segundo.

3. Esboço. Desenhamos o que acontece e acrescentamos ao desenho as grandezas.

4. Resolução geral. Isolamos na fórmula a grandeza procurada, só com letras.

5. Substituição. Na fórmula pronta substituímos os números com as unidades e calculamos o resultado.

6. Verificação das unidades. Conferimos se saiu a unidade da grandeza procurada.

7. Estimativa. Perguntamos se o resultado é razoável e respondemos com uma frase completa à pergunta do enunciado.

Procederemos do mesmo modo em todos os próximos exercícios, inclusive na dinâmica. Lá, às grandezas se somam as forças e o esboço será ainda mais importante, porque nele desenharemos qual força atua onde.

Erros típicos

Minutos substituídos como horas. Um pedestre anda a 5 km/h. Aonde ele chega em 15 min? Quem substitui o quinze direto em s = v · t obtém

$$s=5\cdot 15=75,$$

e, como a velocidade estava em quilômetros por hora, escreve 75 km. Assim o pedestre, em um quarto de hora, iria de Praga quase até Pilsen. A velocidade está em quilômetros por hora, então o tempo precisa estar em horas. Quinze minutos são um quarto de hora, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Um erro desses passa facilmente despercebido quando substituímos os números sem as unidades. Com as unidades, teríamos quilômetros por hora vezes minutos, e isso não se simplifica.

Décimos de hora não são minutos. Por exemplo, 1,5 h não é uma hora e cinquenta, mas uma hora e trinta minutos, porque a hora tem sessenta minutos, não cem. Do mesmo modo, 0,25 h não são vinte e cinco minutos, mas quinze. Você converte a parte decimal da hora em minutos multiplicando-a por sessenta:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Arredondamento de resultados intermediários. Vejamos de novo o trem calculado em horas. Saiu 0,025 h. Quem está acostumado a arredondar para duas casas decimais escreve 0,03 h e continua:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3.600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

Em vez de 90 s saíram 108 s, 18 s a mais. O erro é de vinte por cento, e só por causa de um arredondamento de aparência inocente. Acrescentamos, afinal, apenas cinco milésimos de hora, mas 0,025 é um número pequeno e cinco milésimos são uma quinta parte inteira dele. Depois da multiplicação por 3.600, os cinco milésimos de hora viraram 18 s. Por isso, não arredonde os resultados intermediários de jeito nenhum, ou mantenha pelo menos dois ou três algarismos a mais do que quer ter no resultado. O mais seguro é a resolução geral: calculamos com os números só no fim e arredondamos uma única vez, só o resultado pronto, nas unidades em que queremos tê-lo.

O ciclista do começo ao fim

Por fim, vamos percorrer um exercício inteiro, passo a passo. Um ciclista anda por uma ciclovia com velocidade constante de 18 km/h. Em quanto tempo ele percorre 4,5 km?

Anotamos o que sabemos e o que procuramos:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

A distância está em quilômetros e a velocidade em quilômetros por hora, as unidades não se misturam, então desta vez não precisamos converter e o tempo sairá em horas. Para conferir, depois o calcularemos também em segundos. O esboço é quase igual ao do trem:

Já conhecemos a resolução geral do trem, $t=\frac{s}{v}$. Substituímos:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

As unidades conferem, quilômetros divididos por quilômetros por hora dão horas. Um quarto de hora corresponde, então, a

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Agora o mesmo nas unidades fundamentais. Convertemos:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4.500\mathrm{m}\end{array}$$

e substituímos:

$$t=\frac{4.500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

O minuto tem sessenta segundos, então $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Os dois caminhos levam ao mesmo resultado.

O resultado faz sentido? Em uma hora o ciclista percorreria 18 km, em um quarto de hora, portanto, um quarto disso, 4,5 km. Exatamente o quanto ele devia percorrer. Escrevemos a resposta com uma frase completa: o ciclista percorre 4,5 km em 15 min.

Com o mesmo procedimento damos conta também dos problemas de movimento, em que dois carros se encontram ou um alcança o outro. Ali o esboço e a resolução geral realmente valem a pena.