Jak rozwiązywać zadania z kinematyki i dynamiki

Pociąg jedzie po prostym torze ze stałą prędkością 72 km/h. W jakim czasie przejedzie 1,8 km?

Czas to droga podzielona przez prędkość. Kto jednak weźmie kalkulator i podzieli 1,8 przez siedemdziesiąt dwa, dostanie 0,025 i nie będzie wiedział, co z tym zrobić. To nie są sekundy ani minuty. A kto podzieli 1800 metrów przez siedemdziesiąt dwa, dostanie 25, co wygląda całkiem wiarygodnie, a mimo to jest bzdurą. Takie zadanie łatwo policzyć, trudniej niczego w nim nie zepsuć. W fizyce opłaca się więc przy każdym zadaniu postępować tak samo, krok po kroku. Od razu wypróbujemy te kroki na naszym pociągu.

Dane i szukane

Z treści zadania najpierw wypisujemy wszystkie wielkości, które znamy, każdą jej literą, z liczbą i jednostką. Pod nimi piszemy, czego szukamy, a zamiast liczby stawiamy znak zapytania:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Może to wyglądać na zbędną biurokrację, ale w rzeczywistości oszczędza mnóstwo kłopotów. Od razu widać, co mamy do dyspozycji, a czego brakuje. W treści pisanej zdaniami łatwo przeoczyć albo pomylić liczby, w słupku nie. Po tym, jakie wielkości są w słupku, rozpoznamy też wzór: droga, prędkość i czas, to s = v · t.

Zamieniamy jednostki

Prędkość mamy w kilometrach na godzinę, drogę w kilometrach. Przed właściwym liczeniem zamienimy jedno i drugie na jednostki podstawowe, czyli na metry, sekundy i metry na sekundę. Prędkość dzielimy przez 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

a drogę mnożymy przez tysiąc:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1000\mathrm{m}=1800\mathrm{m}.$$

Zamienione wartości od razu dopisujemy do zapisu:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

Jednostka w nawiasie za znakiem zapytania zdradza, w czym dostaniemy wynik. Gdy podstawimy metry i metry na sekundę, czas wyjdzie w sekundach.

Czy to muszą być metry i sekundy? Nie muszą. Równie dobrze możemy liczyć w kilometrach i godzinach. Droga jest w kilometrach, prędkość w kilometrach na godzinę, więc czas wyszedłby w godzinach. Ważna jest jedna rzecz: jednostek nie wolno mieszać. Gdy podzielimy 1800 m przez prędkość 72, która jest w kilometrach na godzinę, wyjdzie 25 czegoś, co nie jest ani sekundami, ani godzinami. I właśnie to jest ta wiarygodnie wyglądająca dwudziestka piątka ze wstępu.

Szkic

W zadaniach o ruchu prawie zawsze opłaca się zrobić rysunek. Nie musi być ładny ani w skali. Wystarczy pociąg jako pudełko z kołami, strzałka, w którą stronę jedzie, i odcinek toru, który ma przejechać.

Czerwona strzałka to prędkość v, niebieska linia wymiarowa to droga s, którą pociąg ma przejechać. Do każdej części rysunku dopisujemy literę wielkości, ewentualnie także wartość. Przy jednym pociągu na prostym torze szkic jest niemal oczywisty. Gdy jednak dwa samochody jadą naprzeciw siebie albo pociąg przejeżdża przez tunel i liczy się jego długość, rysunek często zdradzi wcześniej niż rachunek, co się w zadaniu właściwie dzieje.

Najpierw litery, liczby na końcu

Najchętniej od razu podstawilibyśmy liczby. Lepiej jednak najpierw rozwiązać całe zadanie ogólnie, czyli tylko na literach, a liczby podstawić dopiero do gotowego wzoru. Ze wzoru s = v · t wyznaczamy czas i dzielimy obie strony przez prędkość:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Dopiero teraz przychodzi kolej na zamienione wartości:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Pociąg przejedzie 1,8 km w 90 s, czyli w półtorej minuty.

Po co tyle ceremonii, skoro mogliśmy od razu podzielić? Przy tak krótkim zadaniu różnica jest niewielka, ale rozwiązanie ogólne ma kilka zalet, które przy dłuższych zadaniach szybko dają o sobie znać:

• Po wzorze z literami poznamy, czy ma sens. We wzorze $t=\frac{s}{v}$ droga jest w liczniku, więc dłuższa trasa oznacza dłuższy czas. Prędkość jest w mianowniku, więc szybszy pociąg zdąży wcześniej. Jedno i drugie się zgadza.
• Wzór pozwala sprawdzić jednostki, o tym za chwilę.
• Gdy się pomylimy, wiemy, gdzie szukać. W wierszu pełnym liczb błąd chowa się dużo lepiej.
• Po kalkulator sięgamy tylko raz i zaokrąglamy dopiero wynik. Dlaczego to ważne, zobaczymy przy typowych błędach.
• Gdy zmieni się treść zadania, na przykład pociąg pojedzie szybciej, wystarczy podstawić jeszcze raz. Wzór już mamy.

Czy jednostki się zgadzają?

Podstawialiśmy razem z jednostkami, a z nimi liczymy tak samo jak z liczbami. Metry skracają się z metrami, a dzielenie przez ułamek to to samo co mnożenie przez ułamek odwrotny:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Wyszły sekundy, czyli jednostka czasu, którego szukamy. Z kilometrami i godzinami byłoby tak samo:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Sprawdzenie jednostek wykryje też źle przekształcony wzór. Kto zamieniłby licznik z mianownikiem i liczył $t=\frac{v}{s}$, dostałby

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

a to nie jest jednostka czasu. Od razu wiemy, że coś jest nie tak, i nie musimy nawet nic liczyć.

Oba sposoby dają to samo

Przejedźmy pociągiem jeszcze raz w kilometrach i godzinach, żeby się przekonać, że to działa:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Oto tajemnicze 0,025 ze wstępu. Tym razem wiemy, że chodzi o godziny, bo kilometry podzielone przez kilometry na godzinę dają godziny. Na sekundy zamienimy, wstawiając za godzinę 3600 s:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Wyszło tych samych 90 s. Który sposób jest lepszy? To zależy od zadania. W kinematyce i dynamice będziemy prawie zawsze zamieniać na metry i sekundy, bo w nich obliczamy też przyspieszenia i siły. Przy podróżach samochodem czy pociągiem, gdzie wszystko jest w kilometrach i godzinach, wygodniej bywa przy nich zostać.

Czy wynik jest rozsądny?

Na koniec szacujemy, czy wynik ma sens. Prędkość 72 km/h oznacza 72 km w sześćdziesiąt minut, czyli 1,2 km na minutę. Droga 1,8 km jest półtora raza dłuższa, więc pociągowi zajmie to półtora raza dłużej niż minutę. Półtorej minuty, zgadza się. Odpowiedź: pociąg przejedzie 1,8 km w półtorej minuty.

Często wystarczy zwykłe doświadczenie. Paulina idzie pieszo do szkoły 1,5 km i zajmuje jej to 18 min. Z jaką prędkością idzie? Kto podzieli metry przez minuty, dostanie

$$\frac{1500}{18}\approx 83,3,$$

a gdy zapomni, że to metry na minutę, a nie na sekundę, i „przeliczy” na kilometry na godzinę, wyjdzie mu 83,3 · 3,6 ≈ 300. Paulina chodziłaby do szkoły z prędkością 300 km/h, szybciej niż Pendolino. Taki wynik jest błędny, nawet jeśli nie wiemy, gdzie zrobiliśmy błąd. Poprawnie zamieniamy minuty na sekundy, 18 · 60 s = 1080 s, i dostajemy

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{m}}{1080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Po pomnożeniu przez 3,6 to mniej więcej 5 km/h, zwykłe tempo chodu. Do zgrubnego sprawdzenia przydaje się tabela prędkości: pieszy idzie około 5 km/h, rowerzysta około 20 km/h, samochód na autostradzie 130 km/h. Samochód jadący 3000 km/h albo pociąg, który kilometr przejeżdża w trzy sekundy, to wyraźny sygnał, że trzeba szukać błędu.

Sposób postępowania w skrócie

Cały sposób przeszliśmy na pociągu. Podsumujmy go:

1. Zapis. Wypisujemy, co znamy, każdą wielkość literą, liczbą i jednostką, oraz czego szukamy, ze znakiem zapytania.

2. Zamiana jednostek. Wszystko zamieniamy na te same jednostki, zwykle na metry, sekundy i metry na sekundę.

3. Szkic. Rysujemy, co się dzieje, i dopisujemy do rysunku wielkości.

4. Rozwiązanie ogólne. Ze wzoru wyznaczamy szukaną wielkość, tylko na literach.

5. Podstawienie. Do gotowego wzoru podstawiamy liczby razem z jednostkami i obliczamy wynik.

6. Sprawdzenie jednostek. Sprawdzamy, czy wyszła jednostka szukanej wielkości.

7. Oszacowanie. Pytamy, czy wynik jest rozsądny, i odpowiadamy pełnym zdaniem na pytanie z zadania.

Tak samo będziemy postępować we wszystkich kolejnych zadaniach, także z dynamiki. Tam do wielkości dojdą siły, a szkic będzie jeszcze ważniejszy, bo będziemy na nim rysować, która siła działa w którą stronę.

Typowe błędy

Minuty podstawione jako godziny. Pieszy idzie z prędkością 5 km/h. Dokąd dojdzie w 15 min? Kto podstawi do s = v · t od razu piętnastkę, dostanie

$$s=5\cdot 15=75,$$

a ponieważ prędkość była w kilometrach na godzinę, napisze 75 km. Pieszy doszedłby w kwadrans z Krakowa prawie do Tarnowa. Prędkość jest w kilometrach na godzinę, więc czas musi być w godzinach. Piętnaście minut to kwadrans, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Taki błąd łatwo przeoczyć, gdy podstawiamy liczby bez jednostek. Z jednostkami wyszłyby nam kilometry na godzinę razy minuty, a to się nie skraca.

Dziesiąte części godziny to nie minuty. Na przykład 1,5 h to nie godzina pięćdziesiąt, tylko godzina i trzydzieści minut, bo godzina ma sześćdziesiąt minut, a nie sto. Tak samo 0,25 h to nie dwadzieścia pięć minut, tylko piętnaście. Część dziesiętną godziny zamienisz na minuty, mnożąc ją przez sześćdziesiąt:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Zaokrąglanie wyników pośrednich. Spójrzmy jeszcze raz na pociąg liczony w godzinach. Wyszło nam 0,025 h. Kto jest przyzwyczajony do zaokrąglania do dwóch miejsc po przecinku, napisze 0,03 h i liczy dalej:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

Zamiast 90 s wyszło 108 s, o 18 s więcej. Błąd wynosi dwadzieścia procent, i to tylko przez jedno niewinnie wyglądające zaokrąglenie. Dodaliśmy przecież tylko pięć tysięcznych godziny, ale 0,025 to mała liczba, a pięć tysięcznych to cała jej piąta część. Po pomnożeniu przez 3600 z pięciu tysięcznych godziny zrobiło się 18 s. Wyników pośrednich więc w ogóle nie zaokrąglaj albo zostaw w nich przynajmniej dwie, trzy cyfry więcej, niż chcesz mieć w wyniku. Najpewniejsze jest rozwiązanie ogólne: z liczbami liczymy dopiero na końcu i zaokrąglamy tylko raz, gotowy wynik w jednostkach, w których chcemy go mieć.

Rowerzysta od początku do końca

Na koniec przejdziemy jedno zadanie w całości, krok po kroku. Rowerzysta jedzie ścieżką rowerową ze stałą prędkością 18 km/h. W jakim czasie przejedzie 4,5 km?

Zapisujemy dane i szukane:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Droga jest w kilometrach, a prędkość w kilometrach na godzinę, jednostki się nie mieszają, więc tym razem nie musimy zamieniać i czas wyjdzie nam w godzinach. Dla sprawdzenia policzymy go potem jeszcze w sekundach. Szkic jest prawie taki sam jak przy pociągu:

Rozwiązanie ogólne znamy z pociągu, $t=\frac{s}{v}$. Podstawiamy:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Jednostki się zgadzają, kilometry podzielone przez kilometry na godzinę dają godziny. Kwadrans odpowiada

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Teraz to samo w jednostkach podstawowych. Zamieniamy:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4500\mathrm{m}\end{array}$$

i podstawiamy:

$$t=\frac{4500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Minuta ma sześćdziesiąt sekund, więc $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Oba sposoby prowadzą do tego samego wyniku.

Czy wynik ma sens? W godzinę rowerzysta przejechałby 18 km, w kwadrans więc ćwierć tego, 4,5 km. Dokładnie tyle, ile miał przejechać. Odpowiedź piszemy pełnym zdaniem: rowerzysta przejedzie 4,5 km w 15 min.

Tym samym sposobem poradzimy sobie z zadaniami tekstowymi o ruchu, w których dwa samochody się mijają albo jeden dogania drugi. Tam szkic i rozwiązanie ogólne naprawdę się opłacają.