Plano inclinado

Víctor coloca su trineo en una cuesta nevada y lo suelta. El trineo se pone en marcha y por el camino va cogiendo velocidad. Lo que tira de él hacia abajo es solo la Tierra, y el peso apunta verticalmente hacia abajo, no en diagonal por la cuesta. ¿Por qué no cae perpendicular al suelo, sino que baja siguiendo la cuesta? ¿Y por qué baja más despacio por una pendiente suave que por una empinada? Un solo truco explica las dos cosas: descomponer el peso en dos componentes.

Una cuesta, un tobogán, una rampa o una tabla inclinada se llaman en física plano inclinado. Lo inclinado que está lo indica el ángulo α que forma con el suelo horizontal.

Descomposición del peso

Sustituimos el peso $\vec{P}$ por dos fuerzas que, juntas, actúan igual. Una apunta hacia abajo a lo largo de la cuesta y la otra, perpendicularmente hacia la cuesta. Así, el peso resulta ser la diagonal de un rectángulo construido con las dos componentes, como en toda descomposición de una fuerza.

Descomposición del peso P⃗ que actúa sobre el trineo en una componente F⃗_1 a lo largo de la cuesta y una componente F⃗_2 perpendicular a la cuesta

La componente azul de trazo discontinuo ${\vec{F}}_{1}$ tira del trineo cuesta abajo, mientras que la otra, ${\vec{F}}_{2}$ , lo presiona contra la nieve. Por sí sola no mueve nada, porque la nieve no deja pasar al trineo. De todo el peso, pues, solo una parte, F₁, pone en marcha el trineo, lo que responde a la primera pregunta.

¿Cuánto valen las componentes? El peso, la componente ${\vec{F}}_{2}$ y el segmento gris de trazo discontinuo que va de la punta de ${\vec{F}}_{2}$ a la punta de $\vec{P}$ forman un triángulo rectángulo con el ángulo recto en la punta de ${\vec{F}}_{2}$ . En él, el peso es la hipotenusa, y el ángulo en el centro de gravedad entre el peso y la componente ${\vec{F}}_{2}$ está marcado en la figura como α, igual que la inclinación de la cuesta. Por qué es así, lo mostraremos enseguida. Antes, recordemos el seno y el coseno: el seno de un ángulo de un triángulo rectángulo es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y el coseno, el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Frente al ángulo α está el cateto de trazo discontinuo, igual de largo que F₁, y el cateto adyacente es F₂, así que

$sen α = \frac{F_{1}}{P}, \cos α = \frac{F_{2}}{P} .$

Multiplicamos las dos igualdades por el peso:

$\begin{aligned} F_{1} & = P \cdot sen α \\ F_{2} & = P \cdot \cos α \end{aligned}$

Falta la justificación prometida. El peso es perpendicular al suelo horizontal, y la componente ${\vec{F}}_{2}$ es perpendicular a la cuesta. Imagina que giramos el suelo y la cuesta un ángulo recto. El suelo se convierte en una vertical, la cuesta en una perpendicular a la cuesta, y el ángulo entre ellas no cambia al girar. Por tanto, el ángulo entre el peso y la perpendicular a la cuesta es igual al ángulo entre el suelo y la cuesta. En efecto, dos ángulos agudos con los lados respectivamente perpendiculares son iguales.

Si no te convence lo de girar, puedes calcularlo. Prolonguemos el peso verticalmente hacia abajo hasta el suelo. La vertical, el suelo y la cuesta forman un triángulo rectángulo con el ángulo α abajo, junto al suelo, de modo que junto a la cuesta tiene el ángulo 90° − α. La perpendicular a la cuesta forma con ella un ángulo recto y, por tanto, se separa de la vertical 90° − (90° − α) = α.

Comprobemos que es correcto con los casos extremos. En suelo horizontal, α = 0°, senα = 0 y cos α = 1. La componente a lo largo de la cuesta desaparece y todo el peso presiona contra el apoyo, justo como debe ser. Cuanto más empinada es la cuesta, mayor es el seno y con más fuerza tira del trineo hacia abajo. Esta es la respuesta a la segunda pregunta.

Probemos con el trineo de Víctor, de 10 kg, en una cuesta con una inclinación de 30°. El peso es

$P = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

Sustituimos sen30° = 0,5 y cos 30° ≈ 0,866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Ojo: 49,05 N + 85 N no es 98,1 N. Las componentes se suman como flechas, no como números.

En un examen es frecuente que alguien intercambie el seno y el coseno. No hace falta que memorices cuál va dónde, basta con pensar en el suelo horizontal. Ahí la componente a lo largo de la cuesta debe desaparecer, y el cero para 0° lo da el seno, no el coseno. Así que la componente a lo largo de la cuesta es la del seno.

Fuerza normal en la cuesta

La nieve actúa sobre el trineo con una fuerza normal $\vec{N}$ , que siempre es perpendicular al apoyo, es decir, aquí perpendicular a la cuesta y hacia fuera. En la dirección perpendicular a la cuesta el trineo no se mueve, ni se hunde ni sale despedido. Por eso las fuerzas en esa dirección están en equilibrio y la fuerza normal compensa la componente ${\vec{F}}_{2}$ :

$N = P \cdot \cos α$

En la cuesta, la fuerza normal es menor que el peso. Para el trineo de Víctor es 85 N, no 98,1 N. Aquí es donde más se falla en los exámenes: quien copia del suelo horizontal N = m · g obtiene mal también el rozamiento en la cuesta.

Cuanto más empinada es la cuesta, menor es el coseno, con menos fuerza presiona el trineo contra la nieve y menor es también el rozamiento. En una pared vertical, cos 90° = 0 y la fuerza normal desaparece por completo.

Trineo sin rozamiento

Empecemos con una cuesta perfectamente lisa, por ejemplo, un trineo con patines de acero sobre hielo. Despreciamos la resistencia del aire. La fuerza normal anula la componente ${\vec{F}}_{2}$ y queda una única fuerza a lo largo de la cuesta, F₁. Según la segunda ley de Newton, es igual a la masa por la aceleración:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot sen α$

Dividimos entre la masa:

$a = g \cdot sen α$

La masa se ha simplificado. Un trineo vacío y un trineo con Víctor acelerarían igual por una cuesta lisa, igual que un cuerpo ligero y uno pesado caen con la misma aceleración. Es verdad que un trineo de mayor masa es arrastrado hacia abajo por una fuerza mayor, pero en la misma medida le cuesta más ponerse en marcha.

Para una cuesta con una inclinación de 30°:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Exactamente la mitad de la aceleración de la gravedad. Los casos extremos también cuadran: en suelo horizontal, senα = 0 y el trineo no se pone en marcha solo; en una pared vertical, sen90° = 1 y a = g, es decir, caída libre.

Trineo con rozamiento

Sobre nieve real, sin embargo, el rozamiento frena el trineo. La fuerza de rozamiento $\vec{F_{r}}$ apunta a lo largo de la cuesta hacia arriba, en contra del movimiento, y es proporcional a la fuerza normal. En una cuesta, en la fórmula no entra todo el peso, sino solo la parte P · cos α, es decir, la fuerza normal:

$F_{r} = μ \cdot N = μ \cdot P \cdot \cos α$

Para los patines sobre nieve pisada tomamos μ = 0,1. Los patines de acero o de plástico se deslizan por la nieve mucho mejor que, por ejemplo, la goma. Al trineo de Víctor lo frena una fuerza de

$F_{r} = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

Todas las fuerzas que actúan sobre el trineo en la cuesta: el peso P⃗ con sus componentes, la fuerza normal N⃗ y la fuerza de rozamiento F⃗_r, dibujada para un rozamiento mayor que el de un trineo sobre nieve

La resultante a lo largo de la cuesta es la componente F₁ disminuida en el rozamiento, aproximadamente 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, y la aceleración es

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

En general, la segunda ley de Newton a lo largo de la cuesta dice

$m \cdot a = m \cdot g \cdot sen α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

y si dividimos la ecuación entre la masa, obtenemos la fórmula de la aceleración en una cuesta con rozamiento:

$a = g \cdot (sen α - μ \cdot \cos α)$

También aquí se ha simplificado la masa. Al sustituir 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) vuelve a salir 4,06 m/s².

En una cuesta más suave, con una inclinación de 10°, es sen10° ≈ 0,174 y cos 10° ≈ 0,985, de modo que

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

La inclinación es tres veces menor, pero la aceleración, más de cinco veces. El rozamiento le quita aquí la mayor parte de la componente a lo largo de la cuesta. Y en una cuesta con una inclinación de 5° el paréntesis saldría negativo: el trineo en marcha frenaría hasta detenerse. Por qué entonces se queda parado, lo explica el siguiente apartado.

Cuándo un cuerpo se queda parado

Víctor y su hermano pequeño suben el trineo otra vez y descansan un rato en un tramo más suave del camino. El trineo está allí parado y no baja. Lo sujeta el rozamiento estático, que siempre es exactamente tan grande como hace falta para compensar la fuerza que tira del trineo hacia abajo, aquí la componente F₁. Como máximo puede valer μ_e · N, donde μ_e es el coeficiente de rozamiento estático. El trineo se queda, pues, parado mientras

$P \cdot sen α \leq μ_{e} \cdot P \cdot \cos α .$

El cociente del seno y el coseno se llama tangente, $\tan α = \frac{sen α}{\cos α}$ , que en España también se escribe tg. En un triángulo rectángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el adyacente. El peso se simplifica y, tras dividir entre el coseno, queda

$\tan α \leq μ_{e} .$

Que un cuerpo baje o no por una cuesta no lo decide la masa, sino solo la inclinación y la superficie. El ángulo a partir de una tangente conocida lo devuelve en la calculadora la tecla tan⁻¹.

En una cuesta con una inclinación de 5°, tan 5° ≈ 0,087, menos que 0,1, y el rozamiento estático es todavía mayor que el dinámico. Por eso un trineo parado allí no vuelve a ponerse en marcha solo. La fórmula con la aceleración negativa describe únicamente la bajada.

De aquí sale un experimento sencillo. Coloca un cubo de madera de un juego de construcción sobre una tabla y levanta despacio uno de sus extremos. Para madera sobre madera, μ_e ≈ 0,5, así que el cubo se pone en movimiento cuando tan α alcanza 0,5, es decir, aproximadamente a 27°.

Lo mismo ocurre con un coche aparcado con los frenos puestos. Sobre asfalto seco lo sujeta incluso una calle muy empinada. Pero el coeficiente de rozamiento estático sobre una placa de hielo es de solo alrededor de 0,1, y tan α = 0,1 corresponde a una inclinación de menos de 6°. Una cuesta así se encuentra en casi todas las ciudades, y el coche resbala por el hielo, sea ligero o pesado.

El rozamiento dinámico es menor que el estático. Con una inclinación de unos 20°, por eso, el cubo se queda quieto por sí solo, pero tras un toque se pone en marcha y sigue acelerando, porque tan 20° ≈ 0,36 es más que el rozamiento dinámico μ = 0,3.

Problema de examen paso a paso

Una caja de manzanas de 20 kg está sobre una tabla de madera que une en diagonal la plataforma de carga de una camioneta con el suelo. La tabla mide 2 m de largo y forma con el suelo un ángulo de 35°. El coeficiente de rozamiento dinámico de madera sobre madera es 0,3 y el estático, 0,5. ¿Se pone en marcha la caja por sí sola? ¿Qué aceleración tendrá y con qué velocidad llegará al suelo?

Anotamos los datos. Datos: m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ = 0,3, μ_e = 0,5, g = 9,81 m/s². Incógnitas: a y v. Las unidades son básicas, no hay que convertir nada.

Dibujamos las fuerzas. Son las mismas que en el trineo.

¿Se pone en marcha? tan 35° ≈ 0,70 es más que μ_e = 0,5. El rozamiento estático no sujeta la caja.

Descomponemos el peso. Para hacernos una idea en números: P = m · g = 196,2 N, sen35° ≈ 0,5736 y cos 35° ≈ 0,8192. A lo largo de la tabla tira de la caja F₁ ≈ 112,5 N y contra la tabla la presiona F₂ ≈ 160,7 N. Pero seguimos calculando con letras y los números los sustituimos solo al final.

Sumamos las fuerzas a lo largo de la tabla. Perpendicularmente a la tabla las fuerzas se compensan, así que N = m · g · cos α y la fuerza de rozamiento es F_r = μ · m · g · cos α. A lo largo de la tabla tira hacia abajo F₁ y hacia arriba el rozamiento:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot sen α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

Despejamos la aceleración. Tras dividir entre la masa:

$a = g \cdot (sen α - μ \cdot \cos α)$

Velocidad al final. La caja parte del reposo y acelera uniformemente, así que v² = 2 · a · s y

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Sustituimos. Dejamos la aceleración sin redondear en la calculadora:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (sen 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Comprobación: la aceleración es menor que g · sen35° ≈ 5,6 m/s² sin rozamiento, como debe ser.

Solución: la caja se pone en marcha sola, acelera a razón de unos 3,22 m/s² y llega al suelo con una velocidad de unos 3,6 m/s, casi 13 km/h. Las manzanas agradecerían que alguien la parara abajo.

En un plano inclinado basta, pues, con descomponer el peso y seguir calculando como en el suelo horizontal: perpendicularmente al apoyo, equilibrio; a lo largo de él, la segunda ley de Newton. Pero hasta ahora todos los cuerpos se movían en línea recta.

Qué hace falta para que un trineo o un coche tome una curva lo muestra el siguiente artículo, Fuerza centrípeta.

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