Równia pochyła

Wojtek stawia sanki na zaśnieżonej górce i je puszcza. Sanki ruszają i po drodze nabierają prędkości. W dół ciągnie je przy tym tylko Ziemia, a siła ciężkości jest skierowana pionowo w dół, nie ukośnie wzdłuż zbocza. Dlaczego więc sanki nie spadają prostopadle do ziemi, tylko jadą wzdłuż górki? I dlaczego z łagodnego zbocza zjeżdżają wolniej niż ze stromego? Obie rzeczy wyjaśnia jeden trik: siłę ciężkości rozkładamy na dwie składowe.

Zbocze, zjeżdżalnia, rampa czy ukośnie położona deska nazywają się w fizyce równią pochyłą. To, jak bardzo jest nachylona, określa kąt α, który tworzy z poziomą ziemią, czyli kąt nachylenia równi.

Rozkład siły ciężkości

Siłę ciężkości $\vec{F_{g}}$ zastępujemy dwiema siłami, które razem działają tak samo. Jedna jest skierowana wzdłuż zbocza w dół, druga prostopadle do zbocza. Siła ciężkości wychodzi wtedy jako przekątna prostokąta zbudowanego z obu składowych, jak przy każdym rozkładzie siły.

Rozkład siły ciężkości F⃗_g, która działa na sanki, na składową F⃗_1 wzdłuż zbocza i składową F⃗_2 prostopadłą do zbocza

Niebieska przerywana składowa ${\vec{F}}_{1}$ ciągnie sanki w dół zbocza, natomiast druga, ${\vec{F}}_{2}$ , wciska je w śnieg. Sama z siebie nigdzie ich nie przesunie, bo śnieg sanek nie przepuści. Z całej siły ciężkości sanki rozpędza więc tylko część F₁, i to jest odpowiedź na pierwsze pytanie.

Jakie wartości mają składowe? Siła ciężkości, składowa ${\vec{F}}_{2}$ i szary przerywany odcinek od grotu ${\vec{F}}_{2}$ do grotu $\vec{F_{g}}$ tworzą trójkąt prostokątny z kątem prostym przy grocie ${\vec{F}}_{2}$ . Siła ciężkości jest w nim przeciwprostokątną, a kąt przy środku ciężkości między nią a składową ${\vec{F}}_{2}$ jest na rysunku oznaczony α, tak samo jak kąt nachylenia zbocza. Dlaczego tak jest, pokażemy za chwilę. Najpierw przypomnijmy sobie sinus i cosinus: sinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej, cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Naprzeciw kąta α leży przerywana przyprostokątna o tej samej długości co F₁, przyprostokątna przyległa to F₂, więc

$\sin α = \frac{F_{1}}{F_{g}}, \cos α = \frac{F_{2}}{F_{g}} .$

Obie równości mnożymy przez siłę ciężkości:

$\begin{aligned} F_{1} & = F_{g} \cdot \sin α \\ F_{2} & = F_{g} \cdot \cos α \end{aligned}$

Pozostało jeszcze obiecane uzasadnienie. Siła ciężkości jest prostopadła do poziomej ziemi, składowa ${\vec{F}}_{2}$ jest prostopadła do zbocza. Wyobraź sobie, że obracamy ziemię i zbocze o kąt prosty. Z ziemi zrobi się pion, ze zbocza prosta prostopadła do zbocza, a kąt między nimi przy obrocie się nie zmieni. Kąt między siłą ciężkości a prostą prostopadłą do zbocza jest więc taki sam jak kąt między ziemią a zboczem. Obowiązuje bowiem zasada, że dwa kąty ostre o ramionach parami prostopadłych są równe.

Kto nie lubi obracania, może policzyć. Przedłużmy siłę ciężkości pionowo w dół aż do ziemi. Pion, ziemia i zbocze tworzą trójkąt prostokątny z kątem α na dole przy ziemi, więc przy zboczu ma on kąt 90° − α. Prosta prostopadła do zbocza tworzy ze zboczem kąt prosty, więc od pionu odchyla się o 90° − (90° − α) = α.

Że to się zgadza, sprawdzimy na przypadkach skrajnych. Na poziomej ziemi α = 0°, sin α = 0 i cos α = 1. Składowa wzdłuż zbocza znika, a cała siła ciężkości dociska ciało do podłoża, dokładnie tak, jak powinna. Im bardziej strome zbocze, tym większy sinus i tym mocniej sanki ciągnie w dół. To jest odpowiedź na drugie pytanie.

Spróbujmy tego z sankami Wojtka o masie 10 kg na zboczu o nachyleniu 30°. Siła ciężkości wynosi

$F_{g} = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

Podstawiamy sin 30° = 0,5 i cos 30° ≈ 0,866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Uwaga, 49,05 N + 85 N to nie 98,1 N. Składowe dodajemy bowiem jak strzałki, a nie jak liczby.

Na sprawdzianie często zdarza się, że ktoś zamieni sinus z cosinusem. Nie musisz pamiętać, który gdzie należy, wystarczy pomyśleć o poziomej ziemi. Tam składowa wzdłuż zbocza musi zniknąć, a zero dla 0° daje sinus, nie cosinus. Składowa wzdłuż zbocza to więc ta z sinusem.

Siła reakcji podłoża na zboczu

Śnieg działa na sanki siłą reakcji podłoża $\vec{F_{N}}$ , która jest zawsze prostopadła do podłoża, tutaj więc jest skierowana prostopadle do zbocza, na zewnątrz. W kierunku prostopadłym do zbocza sanki się nie poruszają, nie zapadają się ani nie odlatują. Siły w tym kierunku są więc w równowadze, a siła reakcji podłoża równoważy składową ${\vec{F}}_{2}$ :

$F_{N} = F_{g} \cdot \cos α$

Na zboczu siła reakcji podłoża jest mniejsza niż siła ciężkości. Dla sanek Wojtka wynosi 85 N, a nie 98,1 N. Tu na sprawdzianach popełnia się najwięcej błędów: kto przeniesie z poziomej podłogi F_N = m · g, ten na zboczu źle policzy także tarcie.

Im bardziej strome zbocze, tym mniejszy cosinus, tym słabiej sanki naciskają na śnieg i tym mniejsze jest też tarcie. Przy pionowej ścianie cos 90° = 0 i siła reakcji podłoża znika zupełnie.

Sanki bez tarcia

Zacznijmy od idealnie gładkiego zbocza, na przykład sanek ze stalowymi płozami na lodzie. Opór powietrza pomijamy. Siła reakcji podłoża znosi składową ${\vec{F}}_{2}$ i zostaje jedyna siła wzdłuż zbocza, F₁. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki jest ona równa masie razy przyspieszenie:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

Dzielimy przez masę:

$a = g \cdot \sin α$

Masa się skróciła. Puste sanki i sanki z Wojtkiem przyspieszałyby na gładkim zboczu tak samo, podobnie jak lekkie i ciężkie ciało spadają z tym samym przyspieszeniem. Sanki o większej masie ciągnie w dół wprawdzie większa siła, ale w tym samym stopniu trudniej je rozpędzić.

Dla zbocza o nachyleniu 30°:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Dokładnie połowa przyspieszenia ziemskiego. Zgadzają się też przypadki skrajne: na poziomej ziemi sin α = 0 i sanki same nie ruszą, przy pionowej ścianie sin 90° = 1 i a = g, czyli spadek swobodny.

Sanki z tarciem

Na prawdziwym śniegu sanki hamuje jednak tarcie. Siła tarcia $\vec{T}$ jest skierowana wzdłuż zbocza w górę, przeciwnie do ruchu, i jest proporcjonalna do siły reakcji podłoża. Na zboczu do wzoru nie wstawiamy jednak całej siły ciężkości, tylko jej część F_g · cos α, czyli siłę reakcji podłoża:

$T = μ \cdot F_{N} = μ \cdot F_{g} \cdot \cos α$

Dla płóz na ubitym śniegu przyjmiemy μ = 0,1. Stalowe albo plastikowe płozy ślizgają się po śniegu dużo lepiej niż na przykład guma. Sanki Wojtka hamuje siła

$T = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

Wszystkie siły, które działają na sanki na zboczu: siła ciężkości F⃗_g ze składowymi, siła reakcji podłoża F⃗_N i siła tarcia T⃗, narysowana dla większego tarcia, niż mają sanki na śniegu

Siła wypadkowa wzdłuż zbocza to składowa F₁ pomniejszona o tarcie, około 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, a przyspieszenie wynosi

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

Ogólnie: druga zasada dynamiki wzdłuż zbocza ma postać

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

a gdy podzielimy równanie przez masę, otrzymamy wzór na przyspieszenie na zboczu z tarciem:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

I tutaj masa się skróciła. Po podstawieniu 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) znowu wychodzi 4,06 m/s².

Na łagodniejszym zboczu o nachyleniu 10° mamy sin 10° ≈ 0,174 i cos 10° ≈ 0,985, więc

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

Nachylenie jest trzy razy mniejsze, ale przyspieszenie ponad pięć razy. Tarcie zabiera tu większą część składowej wzdłuż zbocza. A na zboczu o nachyleniu 5° nawias wyszedłby ujemny: rozpędzone sanki zwalniałyby, aż by się zatrzymały. Dlaczego potem zostaną w miejscu, wyjaśnia następny podrozdział.

Kiedy ciało zostaje w miejscu

Wojtek z młodszym bratem wciągają sanki z powrotem na górę i na łagodniejszym odcinku drogi chwilę odpoczywają. Sanki tam stoją i nie zjeżdżają. Trzyma je tarcie statyczne, które jest zawsze dokładnie takie, żeby zrównoważyć siłę ciągnącą sanki w dół, tutaj składową F₁. Może wynosić najwyżej μ_s · F_N, gdzie μ_s to współczynnik tarcia statycznego. Sanki zostaną więc w miejscu, dopóki

$F_{g} \cdot \sin α \leq μ_{s} \cdot F_{g} \cdot \cos α .$

Iloraz sinusa i cosinusa nazywa się tangensem, $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , w Polsce zapisuje się go jako tg. W trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. Siła ciężkości się skraca i po podzieleniu przez cosinus zostaje

$\tan α \leq μ_{s} .$

O tym, czy ciało na zboczu zjedzie, nie decyduje masa, tylko nachylenie i rodzaj powierzchni. Kąt ze znanego tangensa poda na kalkulatorze przycisk tan⁻¹.

Na zboczu o nachyleniu 5° mamy tan 5° ≈ 0,087, mniej niż 0,1, a tarcie statyczne jest jeszcze większe niż kinetyczne. Zatrzymane sanki same już tam więc nie ruszą. Wzór z ujemnym przyspieszeniem opisuje tylko jazdę w dół.

Stąd wynika prosty eksperyment. Postaw drewniany klocek na desce i powoli podnoś jeden jej koniec. Dla drewna po drewnie μ_s ≈ 0,5, więc klocek ruszy, gdy tan α osiągnie 0,5, czyli mniej więcej przy 27°.

Tak samo jest z zaparkowanym samochodem z zaciągniętym hamulcem. Na suchym asfalcie utrzyma go nawet bardzo stroma ulica. Współczynnik tarcia statycznego na gołoledzi wynosi jednak tylko około 0,1, a tan α = 0,1 odpowiada nachyleniu niecałych 6°. Taką górkę znajdziesz prawie w każdym mieście i samochód zjedzie po lodzie, niezależnie od tego, czy jest lekki, czy ciężki.

Tarcie kinetyczne jest mniejsze niż statyczne. Przy nachyleniu około 20° klocek sam więc stoi, ale po lekkim stuknięciu rusza i dalej przyspiesza, bo tan 20° ≈ 0,36 to więcej niż współczynnik tarcia kinetycznego μ = 0,3.

Zadanie ze sprawdzianu krok po kroku

Skrzynka z jabłkami o masie 20 kg leży na drewnianej desce, która ukośnie łączy skrzynię ładunkową samochodu z ziemią. Deska ma długość 2 m i tworzy z ziemią kąt 35°. Współczynnik tarcia kinetycznego drewna po drewnie wynosi 0,3, a statycznego 0,5. Czy skrzynka ruszy sama? Jakie będzie miała przyspieszenie i z jaką prędkością dojedzie do ziemi?

Zapisujemy dane. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ = 0,3, μ_s = 0,5, g = 9,81 m/s². Szukane: a i v. Jednostki są podstawowe, nic nie musimy zamieniać.

Rysujemy siły. Są takie same jak przy sankach.

Czy ruszy? tan 35° ≈ 0,70 to więcej niż μ_s = 0,5. Tarcie statyczne skrzynki nie utrzyma.

Rozkładamy siłę ciężkości. Żeby mieć wyobrażenie w liczbach: F_g = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 i cos 35° ≈ 0,8192. Wzdłuż deski skrzynkę ciągnie F₁ ≈ 112,5 N, do deski dociska ją F₂ ≈ 160,7 N. Dalej jednak liczymy na literach, a liczby podstawimy dopiero na końcu.

Dodajemy siły wzdłuż deski. Prostopadle do deski siły się równoważą, więc F_N = m · g · cos α, a siła tarcia wynosi T = μ · m · g · cos α. Wzdłuż deski w dół ciągnie F₁, a w górę tarcie:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

Wyznaczamy przyspieszenie. Po podzieleniu przez masę:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Prędkość na końcu. Skrzynka startuje ze spoczynku i przyspiesza jednostajnie, więc v² = 2 · a · s i

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Podstawiamy. Przyspieszenie zostawiamy w kalkulatorze niezaokrąglone:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Sprawdzenie: przyspieszenie jest mniejsze niż g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² bez tarcia, tak jak powinno.

Skrzynka ruszy sama, będzie się poruszać z przyspieszeniem około 3,22 m/s² i do ziemi dojedzie z prędkością około 3,6 m/s, prawie 13 km/h. Jabłkom należałoby się, żeby ktoś ją na dole złapał.

Na równi pochyłej wystarczy więc rozłożyć siłę ciężkości, a dalej liczy się jak na poziomej ziemi: prostopadle do podłoża równowaga, wzdłuż niego druga zasada dynamiki. Wszystkie ciała poruszały się jednak dotąd po linii prostej.

Czego potrzeba, żeby sanki albo samochód skręciły, pokaże następny artykuł, Siła dośrodkowa.

« Poprzedni: Tarcie

Dalszy: Siła dośrodkowa »