Skråplan

Viktor stiller sin kælk på en snedækket bakke og giver slip. Kælken sætter i gang og får fart undervejs. Det er kun Jorden, der trækker i den, og tyngdekraften peger lodret nedad, ikke på skrå langs skråningen. Hvorfor falder kælken ikke lodret mod jorden, men kører langs bakken? Og hvorfor kører den langsommere ned ad en blid skråning end ad en stejl? Begge dele forklares af et enkelt trick: Vi opløser tyngdekraften i to komposanter.

En skråning, en rutsjebane, en rampe og en skråtstillet planke hedder i fysikken skråplan. Hvor meget det hælder, angiver vinklen α, som det danner med den vandrette jord.

Opløsning af tyngdekraften

Tyngdekraften $\vec{F_{t}}$ erstatter vi med to kræfter, som tilsammen virker på samme måde. Den ene peger ned langs skråningen, den anden vinkelret ind i skråningen. Tyngdekraften bliver dermed diagonalen i det rektangel, der er konstrueret ud fra de to komposanter, som ved enhver opløsning af en kraft.

Opløsning af tyngdekraften F⃗_t, der virker på kælken, i komposanten F⃗_1 langs skråningen og komposanten F⃗_2 vinkelret på skråningen

Den blå stiplede komposant ${\vec{F}}_{1}$ trækker kælken ned ad skråningen, mens den anden, ${\vec{F}}_{2}$ , trykker den ned i sneen. Alene flytter den ikke noget, for sneen lader ikke kælken passere. Af hele tyngdekraften er det altså kun en del, F₁, der sætter kælken i gang, og det svarer på det første spørgsmål.

Hvor store er komposanterne? Tyngdekraften, komposanten ${\vec{F}}_{2}$ og det grå stiplede linjestykke fra spidsen af ${\vec{F}}_{2}$ til spidsen af $\vec{F_{t}}$ danner en retvinklet trekant med den rette vinkel ved spidsen af ${\vec{F}}_{2}$ . Tyngdekraften er i den hypotenusen, og vinklen ved tyngdepunktet mellem den og komposanten ${\vec{F}}_{2}$ er på figuren betegnet α, ligesom skråningens hældning. Hvorfor det er sådan, viser vi om lidt. Først minder vi om sinus og cosinus: Sinus til en vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den modstående katete og hypotenusen, cosinus forholdet mellem den hosliggende katete og hypotenusen. Over for vinklen α ligger den stiplede katete, som er lige så lang som F₁, den hosliggende katete er F₂, så

$\sin α = \frac{F_{1}}{F_{t}}, \cos α = \frac{F_{2}}{F_{t}} .$

Vi ganger begge ligheder med tyngdekraften:

$\begin{aligned} F_{1} & = F_{t} \cdot \sin α \\ F_{2} & = F_{t} \cdot \cos α \end{aligned}$

Tilbage er den lovede begrundelse. Tyngdekraften er vinkelret på den vandrette jord, komposanten ${\vec{F}}_{2}$ er vinkelret på skråningen. Forestil dig, at vi drejer både jorden og skråningen en ret vinkel. Jorden bliver til en lodret linje, skråningen til en normal til skråningen, og vinklen mellem dem ændrer sig ikke ved drejningen. Vinklen mellem tyngdekraften og normalen til skråningen er derfor den samme som vinklen mellem jorden og skråningen. Det gælder nemlig, at to spidse vinkler med indbyrdes vinkelrette ben er lige store.

Hvis du ikke bryder dig om at dreje, kan du regne. Vi forlænger tyngdekraften lodret ned til jorden. Det lodrette linjestykke, jorden og skråningen danner en retvinklet trekant med vinklen α nede ved jorden, så ved skråningen har den vinklen 90° − α. Normalen til skråningen danner en ret vinkel med skråningen og afviger derfor fra det lodrette med 90° − (90° − α) = α.

At det er rigtigt, kontrollerer vi i grænsetilfælde. På den vandrette jord er α = 0°, sin α = 0 og cos α = 1. Komposanten langs skråningen forsvinder, og hele tyngdekraften trykker på underlaget, præcis som den skal. Jo stejlere skråning, desto større sinus og desto kraftigere trækkes kælken nedad. Det er svaret på det andet spørgsmål.

Lad os prøve med Viktors kælk med massen 10 kg på en skråning med hældningen 30°. Tyngdekraften er

$F_{t} = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

Vi indsætter sin 30° = 0,5 og cos 30° ≈ 0,866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Pas på, 49,05 N + 85 N er ikke 98,1 N. Komposanterne lægger vi nemlig sammen som pile, ikke som tal.

I en prøve sker det ofte, at nogen bytter om på sinus og cosinus. Du behøver ikke huske, hvad der hører hvor, det er nok at tænke på den vandrette jord. Dér skal komposanten langs skråningen forsvinde, og nul ved 0° giver sinus, ikke cosinus. Komposanten langs skråningen er altså den med sinus.

Normalkraften på en skråning

Sneen virker på kælken med normalkraften $\vec{F_{N}}$ , og den er altid vinkelret på underlaget, her altså vinkelret ud fra skråningen. Vinkelret på skråningen bevæger kælken sig ikke, den synker ikke ned og letter ikke. Kræfterne i denne retning er derfor i ligevægt, og normalkraften udligner komposanten ${\vec{F}}_{2}$ :

$F_{N} = F_{t} \cdot \cos α$

På en skråning er normalkraften mindre end tyngdekraften. For Viktors kælk er den 85 N, ikke 98,1 N. Her laves de fleste fejl i prøver: Den, der overtager F_N = m · g fra det vandrette gulv, får også gnidningen forkert på skråningen.

Jo stejlere skråning, desto mindre cosinus, desto svagere trykker kælken ned i sneen, og desto mindre er også gnidningen. Ved en lodret væg er cos 90° = 0, og normalkraften forsvinder helt.

Kælk uden gnidning

Vi begynder med en fuldstændig glat skråning, for eksempel en kælk med meder af stål på is. Luftmodstanden ser vi bort fra. Normalkraften udligner komposanten ${\vec{F}}_{2}$ , og den eneste kraft, der er tilbage langs skråningen, er F₁. Ifølge kraftloven er den lig med massen gange accelerationen:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

Vi deler med massen:

$a = g \cdot \sin α$

Massen forkortes væk. En tom kælk og en kælk med Viktor på ville accelerere ned ad en glat skråning lige hurtigt, ligesom et let og et tungt legeme falder med den samme acceleration. En kælk med større masse trækkes rigtignok nedad af en større kraft, men den er i samme grad sværere at sætte i gang.

For en skråning med hældningen 30°:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Præcis halvdelen af tyngdeaccelerationen. Grænsetilfældene passer også: På den vandrette jord er sin α = 0, og kælken sætter sig ikke selv i gang, ved en lodret væg er sin 90° = 1 og a = g, altså frit fald.

Kælk med gnidning

På rigtig sne bremses kælken dog af gnidning. Gnidningskraften $\vec{F_{gnid}}$ peger langs skråningen opad, imod bevægelsen, og er proportional med normalkraften. På en skråning hører hele tyngdekraften ikke med i formlen, kun dens del F_t · cos α, altså normalkraften:

$F_{gnid} = μ \cdot F_{N} = μ \cdot F_{t} \cdot \cos α$

For meder på fastkørt sne tager vi μ = 0,1. Meder af stål eller plast glider meget bedre på sne end for eksempel gummi. Viktors kælk bremses af kraften

$F_{gnid} = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

Alle kræfter, der virker på kælken på skråningen: tyngdekraften F⃗_t med komposanter, normalkraften F⃗_N og gnidningskraften F⃗_gnid, tegnet for større gnidning, end en kælk har på sne

Den resulterende kraft langs skråningen er komposanten F₁ formindsket med gnidningen, cirka 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, og accelerationen er

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

Generelt lyder kraftloven langs skråningen

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

og når vi deler ligningen med massen, får vi formlen for accelerationen på en skråning med gnidning:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Også her forkortes massen væk. Efter indsættelse af 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) får vi igen 4,06 m/s².

På en blidere skråning med hældningen 10° er sin 10° ≈ 0,174 og cos 10° ≈ 0,985, så

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

Hældningen er tre gange mindre, men accelerationen mere end fem gange. Gnidningen tager her det meste af komposanten langs skråningen. Og på en skråning med hældningen 5° ville parentesen blive negativ: en kælk i bevægelse ville bremse, indtil den standsede. Hvorfor den så bliver stående, forklarer det næste afsnit.

Hvornår et legeme bliver liggende

Viktor og hans lillebror trækker kælken op igen og hviler sig lidt på et blidere stykke af vejen. Kælken står der og glider ikke ned. Den holdes af den statiske gnidning, som altid er præcis så stor, at den udligner den kraft, der trækker kælken nedad, her komposanten F₁. Højst kan den være μ_s · F_N, hvor μ_s er den statiske gnidningskoefficient. Kælken bliver altså stående, så længe

$F_{t} \cdot \sin α \leq μ_{s} \cdot F_{t} \cdot \cos α .$

Forholdet mellem sinus og cosinus hedder tangens, $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ . I en retvinklet trekant er det forholdet mellem den modstående og den hosliggende katete. Tyngdekraften forkortes væk, og efter division med cosinus er der tilbage

$\tan α \leq μ_{s} .$

Om et legeme på en skråning glider ned, afgøres ikke af massen, men kun af hældningen og underlaget. Vinklen ud fra en kendt tangens får du på lommeregneren med knappen tan⁻¹.

På en skråning med hældningen 5° er tan 5° ≈ 0,087, mindre end 0,1, og den statiske gnidning er endda større end den dynamiske. En kælk, der er standset, sætter sig derfor ikke selv i gang igen dér. Formlen med negativ acceleration beskriver kun kørsel nedad.

Heraf følger et simpelt forsøg. Stil en træklods fra et byggesæt på en planke, og løft den ene ende langsomt. For træ på træ er μ_s ≈ 0,5, så klodsen sætter sig i bevægelse, når tan α når 0,5, altså ved cirka 27°.

Sådan er det også for en parkeret bil med bremsede hjul. På tør asfalt holder den selv i en ret stejl gade. Den statiske gnidningskoefficient er dog på isslag kun omkring 0,1, og tan α = 0,1 svarer til en hældning på knap 6°. En sådan bakke findes næsten i enhver by, og bilen glider ned over isen, hvad enten den er let eller tung.

Dynamisk gnidning er mindre end statisk. Ved en hældning på omkring 20° bliver klodsen derfor liggende af sig selv, men efter et lille puf sætter den i gang og accelererer videre, fordi tan 20° ≈ 0,36 er mere end den dynamiske μ = 0,3.

Eksempel fra en prøve trin for trin

En kasse æbler med massen 20 kg ligger på en træplanke, der på skrå forbinder ladet på en bil med jorden. Planken er 2 m lang og danner vinklen 35° med jorden. Den dynamiske gnidningskoefficient for træ på træ er 0,3, den statiske 0,5. Sætter kassen sig selv i gang? Hvilken acceleration får den, og hvor hurtigt når den jorden?

Vi noterer opgaven. Givet: m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ = 0,3, μ_s = 0,5, g = 9,81 m/s². Søgt: a og v. Enhederne er grundenheder, vi behøver ikke omregne noget.

Vi tegner kræfterne. De er de samme som ved kælken.

Sætter den sig i gang? tan 35° ≈ 0,70 er mere end μ_s = 0,5. Den statiske gnidning holder ikke kassen.

Vi opløser tyngdekraften. For at få en fornemmelse af tallene: F_t = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 og cos 35° ≈ 0,8192. Langs planken trækkes kassen af F₁ ≈ 112,5 N, ind i planken trykkes den af F₂ ≈ 160,7 N. Videre regner vi dog med bogstaver, og tallene indsætter vi først til sidst.

Vi lægger kræfterne sammen langs planken. Vinkelret på planken er kræfterne i ligevægt, så F_N = m · g · cos α, og gnidningskraften er F_gnid = μ · m · g · cos α. Langs planken trækker F₁ nedad og gnidningen opad:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

Vi udtrykker accelerationen. Efter division med massen:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Farten til sidst. Kassen starter fra hvile og accelererer jævnt, så v² = 2 · a · s og

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Vi indsætter. Accelerationen lader vi stå uafrundet i lommeregneren:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Kontrol: Accelerationen er mindre end g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² uden gnidning, som den skal være.

Kassen sætter sig selv i gang, accelererer med cirka 3,22 m/s² og når jorden med farten cirka 3,6 m/s, næsten 13 km/h. Æblerne fortjener, at nogen griber kassen dernede.

På et skråplan er det altså nok at opløse tyngdekraften, og så regner man videre som på den vandrette jord: vinkelret på underlaget ligevægt, langs det kraftloven. Alle legemer har dog hidtil bevæget sig langs en ret linje.

Hvad der skal til, for at en kælk eller en bil kan dreje, viser den næste artikel, Centripetalkraft.

« Forrige: Gnidning

Næste: Centripetalkraft »