Κεκλιμένο επίπεδο

Ο Βασίλης τοποθετεί το έλκηθρό του σε μια χιονισμένη πλαγιά και το αφήνει. Το έλκηθρο ξεκινά και στη διαδρομή αποκτά ταχύτητα. Το τραβάει προς τα κάτω μόνο η Γη, και το βάρος έχει κατακόρυφη διεύθυνση προς τα κάτω, όχι πλάγια κατά μήκος της πλαγιάς. Γιατί λοιπόν το έλκηθρο δεν πέφτει κάθετα προς το έδαφος, αλλά κινείται κατά μήκος της πλαγιάς; Και γιατί από μια ήπια πλαγιά κατεβαίνει πιο αργά παρά από μια απότομη; Και τα δύο τα εξηγεί ένα κόλπο: αναλύουμε το βάρος σε δύο συνιστώσες.

Μια πλαγιά, μια τσουλήθρα, μια ράμπα και μια πλάγια σανίδα λέγονται στη φυσική κεκλιμένο επίπεδο. Πόσο κεκλιμένο είναι, το δείχνει η γωνία θ που σχηματίζει με το οριζόντιο έδαφος.

Ανάλυση του βάρους

Το βάρος $\overrightarrow{B}$ το αντικαθιστούμε με δύο δυνάμεις που μαζί έχουν το ίδιο αποτέλεσμα. Η μία έχει τη διεύθυνση της πλαγιάς προς τα κάτω, η άλλη είναι κάθετη στην πλαγιά. Το βάρος προκύπτει έτσι ως διαγώνιος του ορθογωνίου που κατασκευάζεται από τις δύο συνιστώσες, όπως σε κάθε ανάλυση δύναμης.

Η μπλε διακεκομμένη συνιστώσα ${\overrightarrow{F}}_1$ τραβάει το έλκηθρο προς τα κάτω στην πλαγιά, ενώ η άλλη, η ${\overrightarrow{F}}_2$, το πιέζει πάνω στο χιόνι. Από μόνη της δεν το μετακινεί πουθενά, γιατί το χιόνι δεν αφήνει το έλκηθρο να περάσει. Από ολόκληρο το βάρος λοιπόν το έλκηθρο το ξεκινά μόνο ένα μέρος, η F₁, και αυτό απαντά στην πρώτη ερώτηση.

Πόσο μεγάλες είναι οι συνιστώσες; Το βάρος, η συνιστώσα ${\overrightarrow{F}}_2$ και το γκρίζο διακεκομμένο ευθύγραμμο τμήμα από την άκρη της ${\overrightarrow{F}}_2$ ως την άκρη του $\overrightarrow{B}$ σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία στην άκρη της ${\overrightarrow{F}}_2$. Το βάρος είναι σε αυτό η υποτείνουσα και η γωνία στο κέντρο βάρους ανάμεσα σε αυτό και τη συνιστώσα ${\overrightarrow{F}}_2$ είναι στο σχήμα σημειωμένη ως θ, όπως και η κλίση της πλαγιάς. Γιατί συμβαίνει αυτό, θα το δείξουμε σε λίγο. Πρώτα ας θυμηθούμε το ημίτονο και το συνημίτονο: το ημίτονο μιας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα, το συνημίτονο ο λόγος της προσκείμενης κάθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Απέναντι από τη γωνία θ βρίσκεται η διακεκομμένη κάθετη πλευρά, με το ίδιο μήκος με την F₁, προσκείμενη είναι η F₂, άρα

$$\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta =\frac{F_1}{B},\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\theta =\frac{F_2}{B}.$$

Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο ισότητες με το βάρος:

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =B\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta \\ F_2& =B\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\theta \end{array}$$

Μένει η υποσχεμένη αιτιολόγηση. Το βάρος είναι κάθετο στο οριζόντιο έδαφος, η συνιστώσα ${\overrightarrow{F}}_2$ είναι κάθετη στην πλαγιά. Φαντάσου ότι περιστρέφουμε το έδαφος και την πλαγιά κατά ορθή γωνία. Το έδαφος γίνεται κατακόρυφη ευθεία, η πλαγιά γίνεται η κάθετη στην πλαγιά, και η γωνία ανάμεσά τους δεν αλλάζει με την περιστροφή. Η γωνία ανάμεσα στο βάρος και την κάθετη στην πλαγιά είναι επομένως ίση με τη γωνία ανάμεσα στο έδαφος και την πλαγιά. Ισχύει γιατί δύο οξείες γωνίες με πλευρές αντίστοιχα κάθετες είναι ίσες.

Όποιος δεν συμπαθεί την περιστροφή, μπορεί να υπολογίσει. Προεκτείνουμε το βάρος κατακόρυφα προς τα κάτω ως το έδαφος. Η κατακόρυφος, το έδαφος και η πλαγιά σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία θ κάτω στο έδαφος, άρα στην πλαγιά έχει γωνία 90° − θ. Η κάθετη στην πλαγιά σχηματίζει με την πλαγιά ορθή γωνία και γι' αυτό αποκλίνει από την κατακόρυφο κατά 90° − (90° − θ) = θ.

Ότι αυτό είναι σωστό, το ελέγχουμε στις οριακές περιπτώσεις. Στο οριζόντιο έδαφος είναι θ = 0°, ημθ = 0 και συνθ = 1. Η συνιστώσα κατά μήκος της πλαγιάς εξαφανίζεται και ολόκληρο το βάρος πιέζει το έδαφος, ακριβώς όπως πρέπει. Όσο πιο απότομη η πλαγιά, τόσο μεγαλύτερο το ημίτονο και τόσο πιο δυνατά το έλκηθρο τραβιέται προς τα κάτω. Αυτή είναι η απάντηση στη δεύτερη ερώτηση.

Ας το δοκιμάσουμε με το έλκηθρο του Βασίλη μάζας 10 kg σε πλαγιά με κλίση 30°. Το βάρος είναι

$$B=m\cdot g=10\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=98,1\mathrm{N}.$$

Αντικαθιστούμε ημ30° = 0,5 και συν30° ≈ 0,866:

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =98,1\mathrm{N}\cdot 0,5=49,05\mathrm{N}\\ F_2& =98,1\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}\approx 85\mathrm{N}\end{array}$$

Προσοχή, 49,05 N + 85 N δεν κάνει 98,1 N. Τις συνιστώσες τις προσθέτουμε σαν βέλη, όχι σαν αριθμούς.

Στο διαγώνισμα συμβαίνει συχνά να μπερδεύει κάποιος το ημίτονο με το συνημίτονο. Δεν χρειάζεται να θυμάσαι ποιο πηγαίνει πού, αρκεί να σκεφτείς το οριζόντιο έδαφος. Εκεί η συνιστώσα κατά μήκος της πλαγιάς πρέπει να εξαφανίζεται, και μηδέν στις 0° δίνει το ημίτονο, όχι το συνημίτονο. Η συνιστώσα κατά μήκος της πλαγιάς είναι λοιπόν αυτή με το ημίτονο.

Κάθετη δύναμη στην πλαγιά

Το χιόνι ασκεί στο έλκηθρο κάθετη δύναμη $\overrightarrow{N}$, και αυτή είναι πάντα κάθετη στην επιφάνεια στήριξης, εδώ λοιπόν κάθετη στην πλαγιά προς τα έξω. Κάθετα στην πλαγιά το έλκηθρο δεν κινείται, ούτε βυθίζεται ούτε απογειώνεται. Οι δυνάμεις σε αυτή τη διεύθυνση ισορροπούν, άρα η κάθετη δύναμη εξισορροπεί τη συνιστώσα ${\overrightarrow{F}}_2$:

$$N=B\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\theta$$

Στην πλαγιά η κάθετη δύναμη είναι μικρότερη από το βάρος. Για το έλκηθρο του Βασίλη είναι 85 N, όχι 98,1 N. Εδώ γίνεται το συχνότερο λάθος στα διαγωνίσματα: όποιος μεταφέρει από το οριζόντιο πάτωμα το N = m · g, βρίσκει στην πλαγιά λάθος και την τριβή.

Όσο πιο απότομη η πλαγιά, τόσο μικρότερο το συνημίτονο, τόσο πιο ελαφρά πιέζει το έλκηθρο το χιόνι και τόσο μικρότερη είναι και η τριβή. Σε κατακόρυφο τοίχο είναι συν90° = 0 και η κάθετη δύναμη εξαφανίζεται εντελώς.

Έλκηθρο χωρίς τριβή

Ας ξεκινήσουμε από μια απόλυτα λεία πλαγιά, για παράδειγμα ένα έλκηθρο με ατσάλινα πέδιλα σε πάγο. Την αντίσταση του αέρα την αμελούμε. Η κάθετη δύναμη αναιρεί τη συνιστώσα ${\overrightarrow{F}}_2$ και μένει μία μόνο δύναμη κατά μήκος της πλαγιάς, η F₁. Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ισούται με τη μάζα επί την επιτάχυνση:

$$m\cdot \alpha =m\cdot g\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta$$

Διαιρούμε με τη μάζα:

$$\alpha =g\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta$$

Η μάζα απλοποιήθηκε. Ένα άδειο έλκηθρο και ένα έλκηθρο με τον Βασίλη θα επιταχύνονταν το ίδιο στη λεία πλαγιά, όπως ένα ελαφρύ και ένα βαρύ σώμα πέφτουν με την ίδια επιτάχυνση. Ένα έλκηθρο με μεγαλύτερη μάζα το τραβάει προς τα κάτω μεγαλύτερη δύναμη, αλλά στον ίδιο βαθμό δυσκολεύεται περισσότερο να ξεκινήσει.

Για πλαγιά με κλίση 30°:

$$\alpha =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 0,5\approx 4,9{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Ακριβώς η μισή επιτάχυνση της βαρύτητας. Ταιριάζουν και οι οριακές περιπτώσεις: στο οριζόντιο έδαφος είναι ημθ = 0 και το έλκηθρο δεν ξεκινά μόνο του, σε κατακόρυφο τοίχο είναι ημ90° = 1 και α = g, δηλαδή ελεύθερη πτώση.

Έλκηθρο με τριβή

Στο πραγματικό χιόνι όμως το έλκηθρο το φρενάρει η τριβή. Η τριβή $\overrightarrow{T}$ έχει τη διεύθυνση της πλαγιάς προς τα πάνω, αντίθετα προς την κίνηση, και είναι ανάλογη προς την κάθετη δύναμη. Στην πλαγιά όμως στον τύπο δεν μπαίνει ολόκληρο το βάρος, μόνο το μέρος του B · συνθ, δηλαδή η κάθετη δύναμη:

$$T=\mu \cdot N=\mu \cdot B\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\theta$$

Για πέδιλα σε πατημένο χιόνι παίρνουμε μ = 0,1. Τα ατσάλινα ή πλαστικά πέδιλα γλιστρούν στο χιόνι πολύ καλύτερα από, ας πούμε, το λάστιχο. Το έλκηθρο του Βασίλη το φρενάρει δύναμη

$$T=0,1\cdot 85\mathrm{N}\approx 8,5\mathrm{N}.$$

Η συνισταμένη κατά μήκος της πλαγιάς είναι η συνιστώσα F₁ μειωμένη κατά την τριβή, περίπου 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, και η επιτάχυνση είναι

$$\alpha =\frac{40,6\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}\approx 4,06{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Γενικά: ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα κατά μήκος της πλαγιάς γράφεται

$$m\cdot \alpha =m\cdot g\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta -\mu \cdot m\cdot g\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\theta ,$$

και αν διαιρέσουμε την εξίσωση με τη μάζα, παίρνουμε τον τύπο για την επιτάχυνση σε πλαγιά με τριβή:

$$\alpha =g\cdot (\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta -\mu \cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\theta )$$

Και εδώ η μάζα απλοποιήθηκε. Με αντικατάσταση 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) βγαίνει πάλι 4,06 m/s².

Σε πιο ήπια πλαγιά με κλίση 10° είναι ημ10° ≈ 0,174 και συν10° ≈ 0,985, άρα

$$\begin{array}{rl}\alpha & =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (\mathrm{0,174}-0,1\cdot \mathrm{0,985})\\ & \approx 0,74{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

Η κλίση είναι τρεις φορές μικρότερη, αλλά η επιτάχυνση περισσότερο από πέντε φορές. Η τριβή εδώ παίρνει το μεγαλύτερο μέρος της συνιστώσας κατά μήκος της πλαγιάς. Και σε πλαγιά με κλίση 5° η παρένθεση θα έβγαινε αρνητική: το έλκηθρο που έχει ήδη ξεκινήσει θα επιβραδυνόταν μέχρι να σταματήσει. Γιατί μένει τότε ακίνητο, θα το εξηγήσει η επόμενη ενότητα.

Πότε ένα σώμα μένει ακίνητο

Ο Βασίλης και ο μικρός του αδελφός ανεβάζουν το έλκηθρο πάλι πάνω και σε ένα πιο ήπιο σημείο της διαδρομής ξεκουράζονται λίγο. Το έλκηθρο στέκεται εκεί και δεν κατεβαίνει. Το κρατά η στατική τριβή, που είναι πάντα ακριβώς τόσο μεγάλη, ώστε να εξισορροπεί τη δύναμη που τραβάει το έλκηθρο προς τα κάτω, εδώ τη συνιστώσα F₁. Το πολύ μπορεί να είναι μ_s · N, όπου μ_s είναι ο συντελεστής στατικής τριβής. Το έλκηθρο μένει λοιπόν ακίνητο όσο

$$B\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta \le {\mu }_s\cdot B\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\theta .$$

Το πηλίκο του ημιτόνου και του συνημιτόνου λέγεται εφαπτομένη, $\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }\theta =\frac{\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta }{\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\theta }$, και στο κομπιουτεράκι τη βρίσκεις με το πλήκτρο tan. Σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι προς την προσκείμενη κάθετη πλευρά. Το βάρος απλοποιείται και μετά τη διαίρεση με το συνημίτονο μένει

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }\theta \le {\mu }_s.$$

Το αν ένα σώμα θα γλιστρήσει στην πλαγιά δεν το καθορίζει η μάζα, αλλά μόνο η κλίση και οι επιφάνειες. Τη γωνία από γνωστή εφαπτομένη τη βρίσκεις στο κομπιουτεράκι με το πλήκτρο tan⁻¹.

Σε πλαγιά με κλίση 5° είναι εφ5° ≈ 0,087, λιγότερο από 0,1, και η στατική τριβή είναι ακόμη μεγαλύτερη από την τριβή ολίσθησης. Ένα έλκηθρο που σταμάτησε εκεί δεν ξεκινά ξανά μόνο του. Ο τύπος με την αρνητική επιτάχυνση περιγράφει μόνο την κίνηση προς τα κάτω.

Από εδώ προκύπτει ένα απλό πείραμα. Βάλε ένα ξύλινο τουβλάκι από παιχνίδι κατασκευών πάνω σε μια σανίδα και ανασήκωνε αργά το ένα της άκρο. Για ξύλο σε ξύλο είναι μ_s ≈ 0,5, άρα το τουβλάκι αρχίζει να κινείται όταν η εφθ φτάσει το 0,5, δηλαδή περίπου στις 27°.

Το ίδιο ισχύει για ένα σταθμευμένο αυτοκίνητο με πατημένο χειρόφρενο. Σε στεγνή άσφαλτο το κρατά ακόμη και ένας πολύ απότομος δρόμος. Ο συντελεστής στατικής τριβής όμως σε παγωμένο δρόμο είναι μόνο γύρω στο 0,1 και η εφθ = 0,1 αντιστοιχεί σε κλίση λίγο μικρότερη από 6°. Τέτοιο ανηφορικό δρόμο θα βρεις σχεδόν σε κάθε πόλη, και το αυτοκίνητο θα γλιστρήσει στον πάγο, είτε είναι ελαφρύ είτε βαρύ.

Η τριβή ολίσθησης είναι μικρότερη από τη στατική. Σε κλίση γύρω στις 20° το τουβλάκι μένει ακίνητο μόνο του, αλλά με ένα ελαφρύ χτύπημα ξεκινά και συνεχίζει να επιταχύνεται, γιατί η εφ20° ≈ 0,36 είναι μεγαλύτερη από το μ = 0,3 της τριβής ολίσθησης.

Παράδειγμα από διαγώνισμα βήμα βήμα

Ένα καφάσι με μήλα μάζας 20 kg βρίσκεται πάνω σε ξύλινη σανίδα που συνδέει πλάγια την καρότσα ενός αυτοκινήτου με το έδαφος. Η σανίδα έχει μήκος 2 m και σχηματίζει με το έδαφος γωνία 35°. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ξύλου σε ξύλο είναι 0,3, ο συντελεστής στατικής τριβής 0,5. Θα ξεκινήσει το καφάσι μόνο του; Πόση επιτάχυνση θα έχει και με τι ταχύτητα θα φτάσει στο έδαφος;

Γράφουμε τα δεδομένα. Δίνονται: m = 20 kg, θ = 35°, s = 2 m, μ = 0,3, μ_s = 0,5, g = 9,81 m/s². Ζητούνται α και υ. Οι μονάδες είναι οι βασικές, δεν χρειάζεται να μετατρέψουμε τίποτα.

Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις. Είναι ίδιες όπως στο έλκηθρο.

Θα ξεκινήσει; Η εφ35° ≈ 0,70 είναι μεγαλύτερη από το μ_s = 0,5. Η στατική τριβή δεν θα κρατήσει το καφάσι.

Αναλύουμε το βάρος. Για να το φανταστούμε με αριθμούς: B = m · g = 196,2 N, ημ35° ≈ 0,5736 και συν35° ≈ 0,8192. Κατά μήκος της σανίδας το καφάσι το τραβάει η F₁ ≈ 112,5 N, πάνω στη σανίδα το πιέζει η F₂ ≈ 160,7 N. Στη συνέχεια όμως υπολογίζουμε με γράμματα και αντικαθιστούμε τους αριθμούς στο τέλος.

Προσθέτουμε τις δυνάμεις κατά μήκος της σανίδας. Κάθετα στη σανίδα οι δυνάμεις ισορροπούν, άρα N = m · g · συνθ και η τριβή είναι T = μ · m · g · συνθ. Κατά μήκος της σανίδας προς τα κάτω τραβάει η F₁ και προς τα πάνω η τριβή:

$$m\cdot \alpha =m\cdot g\cdot \mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta -\mu \cdot m\cdot g\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\theta$$

Εκφράζουμε την επιτάχυνση. Μετά τη διαίρεση με τη μάζα:

$$\alpha =g\cdot (\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\theta -\mu \cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\theta )$$

Ταχύτητα στο τέλος. Το καφάσι ξεκινά από την ηρεμία και επιταχύνεται ομαλά, άρα υ² = 2 · α · s και

$$\upsilon =\sqrt{2\cdot \alpha \cdot s}.$$

Αντικαθιστούμε. Την επιτάχυνση την κρατάμε στο κομπιουτεράκι χωρίς στρογγυλοποίηση:

$$\begin{array}{rl}\alpha & =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }35°-0,3\cdot \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }35°)\\ & \approx 3,22{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ \upsilon & \approx \sqrt{2\cdot \mathrm{3,216}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2\mathrm{m}}\\ & \approx 3,6\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Έλεγχος: η επιτάχυνση είναι μικρότερη από g · ημ35° ≈ 5,6 m/s² χωρίς τριβή, όπως πρέπει.

Το καφάσι ξεκινά μόνο του, επιταχύνεται με περίπου 3,22 m/s² και φτάνει στο έδαφος με ταχύτητα περίπου 3,6 m/s, σχεδόν 13 km/h. Για χάρη των μήλων, καλό θα ήταν να το πιάσει κάποιος κάτω.

Στο κεκλιμένο επίπεδο αρκεί λοιπόν να αναλύσουμε το βάρος και μετά οι υπολογισμοί γίνονται όπως στο οριζόντιο έδαφος: κάθετα στην επιφάνεια ισορροπία, κατά μήκος της ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα. Όλα τα σώματα όμως μέχρι τώρα κινούνταν σε ευθεία.

Τι χρειάζεται για να στρίψει ένα έλκηθρο ή ένα αυτοκίνητο, θα το δείξει το επόμενο άρθρο, Κεντρομόλος δύναμη.