Planul înclinat

Victor așază sania pe un deal acoperit de zăpadă și îi dă drumul. Sania pornește și pe parcurs prinde viteză. În jos o trage doar Pământul, iar greutatea este îndreptată vertical în jos, nu oblic pe pantă. De ce nu cade sania perpendicular pe pământ, ci merge de-a lungul dealului? Și de ce coboară mai încet de pe o pantă lină decât de pe una abruptă? Ambele se explică printr-un singur truc: descompunem greutatea în două componente.

Panta, toboganul, rampa și scândura înclinată se numesc în fizică plan înclinat. Cât de înclinat este arată unghiul α pe care îl face cu pământul orizontal.

Descompunerea greutății

Înlocuim greutatea $\vec{G}$ cu două forțe care, împreună, acționează la fel. Una este îndreptată de-a lungul pantei în jos, cealaltă perpendicular pe pantă, spre ea. Greutatea iese astfel ca diagonala dreptunghiului construit din cele două componente, ca la orice descompunere a unei forțe.

Descompunerea greutății G⃗, care acționează asupra saniei, în componenta F⃗_1 de-a lungul pantei și componenta F⃗_2 perpendiculară pe pantă

Componenta albastră întreruptă ${\vec{F}}_{1}$ trage sania în jos pe pantă, în timp ce cealaltă, ${\vec{F}}_{2}$ , o apasă în zăpadă. Ea singură nu pune sania în mișcare, pentru că zăpada nu lasă sania să treacă. Din toată greutatea pune deci sania în mișcare doar partea F₁, ceea ce răspunde la prima întrebare.

Cât de mari sunt componentele? Greutatea, componenta ${\vec{F}}_{2}$ și segmentul gri întrerupt de la vârful săgeții ${\vec{F}}_{2}$ la vârful săgeții $\vec{G}$ formează un triunghi dreptunghic cu unghiul drept la vârful săgeții ${\vec{F}}_{2}$ . Greutatea este în el ipotenuza, iar unghiul de la centrul de greutate dintre ea și componenta ${\vec{F}}_{2}$ este notat pe figură cu α, la fel ca înclinarea pantei. De ce este așa, arătăm îndată. Mai întâi să ne amintim sinusul și cosinusul: sinusul unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză, cosinusul raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză. Opusă unghiului α este cateta întreruptă, la fel de lungă ca F₁, cateta alăturată este F₂, deci

$\sin α = \frac{F_{1}}{G}, \cos α = \frac{F_{2}}{G} .$

Înmulțim ambele egalități cu greutatea:

$\begin{aligned} F_{1} & = G \cdot \sin α \\ F_{2} & = G \cdot \cos α \end{aligned}$

Rămâne justificarea promisă. Greutatea este perpendiculară pe pământul orizontal, componenta ${\vec{F}}_{2}$ este perpendiculară pe pantă. Imaginează-ți că rotim și pământul, și panta cu un unghi drept. Pământul devine verticală, panta devine perpendiculara pe pantă, iar unghiul dintre ele nu se schimbă prin rotire. Unghiul dintre greutate și perpendiculara pe pantă este de aceea egal cu unghiul dintre pământ și pantă. Într-adevăr, două unghiuri ascuțite cu laturile respectiv perpendiculare sunt egale.

Dacă rotirea nu te convinge, poți calcula. Prelungim greutatea vertical în jos până la pământ. Verticala, pământul și panta formează un triunghi dreptunghic cu unghiul α jos, la pământ, deci la pantă are unghiul 90° − α. Perpendiculara pe pantă face cu panta un unghi drept și se abate de aceea de la verticală cu 90° − (90° − α) = α.

Verificăm pe cazurile extreme că rezultatul este corect. Pe pământ orizontal este α = 0°, sin α = 0 și cos α = 1. Componenta de-a lungul pantei dispare, iar toată greutatea apasă pe suport, exact cum trebuie. Cu cât panta este mai abruptă, cu atât sinusul este mai mare și cu atât sania este trasă mai tare în jos. Acesta este răspunsul la a doua întrebare.

Să încercăm cu sania lui Victor, cu masa de 10 kg, pe o pantă cu înclinarea de 30°. Greutatea este

$G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

Înlocuim sin 30° = 0,5 și cos 30° ≈ 0,866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Atenție, 49,05 N + 85 N nu este 98,1 N. Componentele se adună ca săgețile, nu ca numerele.

La teză se întâmplă des ca cineva să încurce sinusul cu cosinusul. Nu trebuie să ții minte care unde stă, ajunge să te gândești la pământul orizontal. Acolo componenta de-a lungul pantei trebuie să dispară, iar zero la 0° dă sinusul, nu cosinusul. Componenta de-a lungul pantei este deci cea cu sinus.

Reacțiunea normală pe pantă

Zăpada acționează asupra saniei cu reacțiunea normală $\vec{N}$ , iar aceasta este întotdeauna perpendiculară pe suport, aici deci perpendicular pe pantă, spre exterior. Perpendicular pe pantă sania nu se mișcă, nu se afundă și nici nu se desprinde. Forțele pe această direcție sunt de aceea în echilibru, iar reacțiunea normală echilibrează componenta ${\vec{F}}_{2}$ :

$N = G \cdot \cos α$

Pe pantă reacțiunea normală este mai mică decât greutatea. Pentru sania lui Victor este 85 N, nu 98,1 N. Aici se greșește cel mai des la teze: cine preia de la podeaua orizontală N = m · g, obține pe pantă greșit și frecarea.

Cu cât panta este mai abruptă, cu atât cosinusul este mai mic, cu atât sania apasă mai slab în zăpadă și cu atât este mai mică și frecarea. La un perete vertical este cos 90° = 0, iar reacțiunea normală dispare cu totul.

Sania fără frecare

Să începem cu o pantă perfect netedă, de pildă o sanie cu tălpici de oțel pe gheață. Neglijăm rezistența aerului. Reacțiunea normală anulează componenta ${\vec{F}}_{2}$ și rămâne o singură forță de-a lungul pantei, F₁. Conform principiului fundamental al dinamicii (a doua lege a lui Newton), ea este egală cu masa înmulțită cu accelerația:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

Împărțim la masă:

$a = g \cdot \sin α$

Masa s-a simplificat. O sanie goală și una cu Victor pe ea ar accelera la fel pe o pantă netedă, la fel cum un corp ușor și unul greu cad cu aceeași accelerație. O sanie cu masă mai mare este trasă în jos, ce-i drept, de o forță mai mare, dar în aceeași măsură pornește mai greu.

Pentru o pantă cu înclinarea de 30°:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Exact jumătate din accelerația gravitațională. Se potrivesc și cazurile extreme: pe pământ orizontal este sin α = 0 și sania nu pornește singură, la un perete vertical este sin 90° = 1 și a = g, adică cădere liberă.

Sania cu frecare

Pe zăpada adevărată sania este însă frânată de frecare. Forța de frecare $\vec{F_{f}}$ este îndreptată de-a lungul pantei în sus, împotriva mișcării, și este proporțională cu reacțiunea normală. Pe pantă în formulă nu intră însă toată greutatea, ci doar o parte a ei, G · cos α, adică reacțiunea normală:

$F_{f} = μ \cdot N = μ \cdot G \cdot \cos α$

Pentru tălpici pe zăpadă bătătorită luăm μ = 0,1. Tălpicile de oțel sau de plastic alunecă pe zăpadă mult mai bine decât, să zicem, cauciucul. Sania lui Victor este frânată de forța

$F_{f} = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

Toate forțele care acționează asupra saniei pe pantă: greutatea G⃗ cu componentele ei, reacțiunea normală N⃗ și forța de frecare F⃗_f, desenată pentru o frecare mai mare decât are o sanie pe zăpadă

Forța rezultantă de-a lungul pantei este componenta F₁ micșorată cu frecarea, aproximativ 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, iar accelerația este

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

În general: principiul fundamental al dinamicii de-a lungul pantei se scrie

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

iar dacă împărțim ecuația la masă, obținem formula accelerației pe o pantă cu frecare:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Și aici masa s-a simplificat. După înlocuirea 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) iese din nou 4,06 m/s².

Pe o pantă mai lină, cu înclinarea de 10°, este sin 10° ≈ 0,174 și cos 10° ≈ 0,985, deci

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

Înclinarea este de trei ori mai mică, dar accelerația este de peste cinci ori mai mică. Frecarea ia aici cea mai mare parte din componenta de-a lungul pantei. Iar pe o pantă cu înclinarea de 5° paranteza ar ieși negativă: o sanie pornită ar încetini până s-ar opri. De ce rămâne apoi pe loc, explică secțiunea următoare.

Când rămâne corpul pe loc

Victor și frățiorul lui urcă sania înapoi și se odihnesc o vreme pe un tronson mai lin al drumului. Sania stă acolo și nu coboară. O ține frecarea statică, care este întotdeauna exact atât de mare cât să echilibreze forța ce trage sania în jos, aici componenta F₁. Cel mult poate fi μ_s · N, unde μ_s este coeficientul de frecare statică. Sania rămâne deci pe loc atâta timp cât

$G \cdot \sin α \leq μ_{s} \cdot G \cdot \cos α .$

Raportul dintre sinus și cosinus se numește tangentă, $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ . Într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre cateta opusă și cea alăturată. Greutatea se simplifică, iar după împărțirea la cosinus rămâne

$tg α \leq μ_{s} .$

Dacă un corp alunecă sau nu pe pantă nu depinde de masă, ci doar de înclinare și de suprafață. Unghiul cu tangenta cunoscută îl obții pe calculator cu tasta tan⁻¹.

Pe o pantă cu înclinarea de 5° este tg5° ≈ 0,087, mai puțin de 0,1, iar frecarea statică este și mai mare decât cea de alunecare. O sanie oprită acolo nu mai pornește singură. Formula cu accelerație negativă descrie doar mersul în jos.

De aici rezultă un experiment simplu. Pune un cub de lemn dintr-un set de construcție pe o scândură și ridică încet un capăt al ei. Pentru lemn pe lemn este μ_s ≈ 0,5, deci cubul se pune în mișcare când tgα ajunge la 0,5, adică aproximativ la 27°.

La fel este cu o mașină parcată, cu frâna trasă. Pe asfalt uscat rămâne pe loc chiar și pe o stradă foarte abruptă. Coeficientul de frecare statică pe polei este însă doar în jur de 0,1, iar tgα = 0,1 corespunde unei înclinări de puțin sub 6°. Un asemenea deal găsești aproape în fiecare oraș, iar mașina alunecă la vale pe gheață, fie ea ușoară sau grea.

Frecarea de alunecare este mai mică decât cea statică. La o înclinare de aproximativ 20° cubul stă de aceea singur pe loc, dar după un mic bobârnac pornește și accelerează mai departe, pentru că tg20° ≈ 0,36 este mai mult decât coeficientul de alunecare μ = 0,3.

Problemă de la teză pas cu pas

O ladă cu mere, cu masa de 20 kg, se află pe o scândură de lemn care leagă oblic platforma unei camionete de pământ. Scândura are lungimea de 2 m și face cu pământul un unghi de 35°. Coeficientul de frecare la alunecare al lemnului pe lemn este 0,3, cel de frecare statică 0,5. Pornește lada singură? Ce accelerație va avea și cu ce viteză ajunge pe pământ?

Scriem datele problemei. Se dă: m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ = 0,3, μ_s = 0,5, g = 9,81 m/s². Se cere: a și v. Unitățile sunt cele de bază, nu avem nimic de transformat.

Desenăm forțele. Sunt aceleași ca la sanie.

Pornește? tg35° ≈ 0,70 este mai mult decât μ_s = 0,5. Frecarea statică nu ține lada.

Descompunem greutatea. Ca să ne facem o idee în cifre: G = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 și cos 35° ≈ 0,8192. De-a lungul scândurii lada este trasă de F₁ ≈ 112,5 N, în scândură o apasă F₂ ≈ 160,7 N. Mai departe însă calculăm cu litere, iar numerele le înlocuim abia la sfârșit.

Adunăm forțele de-a lungul scândurii. Perpendicular pe scândură forțele se echilibrează, deci N = m · g · cos α, iar forța de frecare este F_f = μ · m · g · cos α. De-a lungul scândurii trage în jos F₁, iar în sus frecarea:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

Exprimăm accelerația. După împărțirea la masă:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Viteza la capăt. Lada pornește din repaus și accelerează uniform, deci v² = 2 · a · s și

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Înlocuim. Accelerația o lăsăm în calculator nerotunjită:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Verificare: accelerația este mai mică decât g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² fără frecare, cum trebuie.

Lada pornește singură, accelerează cu aproximativ 3,22 m/s² și ajunge pe pământ cu viteza de aproximativ 3,6 m/s, aproape 13 km/h. Merele ar merita ca cineva să prindă lada jos.

Pe planul înclinat ajunge deci să descompunem greutatea, iar mai departe se calculează ca pe pământ orizontal: perpendicular pe suport echilibru, de-a lungul lui principiul fundamental al dinamicii. Toate corpurile au mers însă până acum în linie dreaptă.

De ce este nevoie ca o sanie sau o mașină să facă o curbă arată articolul următor, Forța centripetă.

« Anterior: Frecarea

Următor: Forța centripetă »