Skråplan

Vetle setter kjelken øverst i en snødekt bakke og slipper den. Kjelken kommer i gang og får stadig større fart på veien. Nedover drar bare Jorda, og tyngdekraften peker loddrett nedover, ikke på skrå langs bakken. Hvorfor faller den ikke rett ned, men glir langs bakken? Og hvorfor glir den saktere ned en slak bakke enn en bratt? Begge deler forklares med ett knep: vi splitter tyngdekraften i to komponenter.

En bakke, en rutsjebane, en rampe og en skrå planke heter i fysikk skråplan. Hvor mye det heller, angir vinkelen α det danner med det vannrette underlaget.

Splitting av tyngdekraften

Tyngdekraften $\vec{G}$ erstatter vi med to krefter som til sammen virker likt. Den ene peker nedover langs bakken, den andre vinkelrett inn i bakken. Tyngdekraften blir da diagonalen i et rektangel konstruert av begge komponentene, som ved enhver splitting av en kraft.

Splitting av tyngdekraften G⃗, som virker på kjelken, i komponenten F⃗_1 langs bakken og komponenten F⃗_2 vinkelrett på bakken

Den blå stiplede komponenten ${\vec{F}}_{1}$ drar kjelken nedover bakken, mens den andre, ${\vec{F}}_{2}$ , presser den ned i snøen. Den setter ikke noe i bevegelse alene, for snøen slipper ikke kjelken gjennom. Av hele tyngdekraften er det altså bare en del F₁ som setter kjelken i gang, og det svarer på det første spørsmålet.

Hvor store er komponentene? Tyngdekraften, komponenten ${\vec{F}}_{2}$ og det grå stiplede linjestykket fra spissen av ${\vec{F}}_{2}$ til spissen av $\vec{G}$ danner en rettvinklet trekant med rett vinkel ved spissen av ${\vec{F}}_{2}$ . Tyngdekraften er hypotenusen i den, og vinkelen ved tyngdepunktet mellom den og komponenten ${\vec{F}}_{2}$ er på bildet merket α, akkurat som helningen på bakken. Hvorfor det er slik, viser vi om litt. Først husker vi sinus og cosinus: sinus til en vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motstående katet og hypotenusen, cosinus forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen. Overfor vinkelen α ligger den stiplede kateten som er like lang som F₁, den hosliggende kateten er F₂, så

$\sin α = \frac{F_{1}}{G}, \cos α = \frac{F_{2}}{G} .$

Begge likhetene multipliserer vi med tyngdekraften:

$\begin{aligned} F_{1} & = G \cdot \sin α \\ F_{2} & = G \cdot \cos α \end{aligned}$

Det gjenstår den lovede begrunnelsen. Tyngdekraften står vinkelrett på det vannrette underlaget, komponenten ${\vec{F}}_{2}$ står vinkelrett på bakken. Se for deg at vi dreier både underlaget og bakken en rett vinkel. Av underlaget blir det en loddrett linje, av bakken en normal til bakken, og vinkelen mellom dem endrer seg ikke ved dreiingen. Vinkelen mellom tyngdekraften og normalen til bakken er derfor den samme som vinkelen mellom underlaget og bakken. Det gjelder nemlig at to spisse vinkler med innbyrdes vinkelrette ben er like store.

Den som ikke liker å dreie, kan regne. Vi forlenger tyngdekraften loddrett ned til underlaget. Den loddrette linjen, underlaget og bakken danner en rettvinklet trekant med vinkelen α nede ved underlaget, så ved bakken har den vinkelen 90° − α. Normalen til bakken danner en rett vinkel med bakken, og avviker derfor fra den loddrette linjen med 90° − (90° − α) = α.

At det er riktig, kontrollerer vi med ytterpunktene. På vannrett underlag er α = 0°, sin α = 0 og cos α = 1. Komponenten langs bakken forsvinner, og hele tyngdekraften presser mot underlaget, akkurat som den skal. Jo brattere bakke, desto større sinus og desto hardere drar det kjelken nedover. Det er svaret på det andre spørsmålet.

La oss prøve med kjelken til Vetle med massen 10 kg i en bakke med helningen 30°. Tyngdekraften er

$G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

Vi setter inn sin 30° = 0,5 og cos 30° ≈ 0,866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Pass på, 49,05 N + 85 N er ikke 98,1 N. Komponentene legger vi nemlig sammen som piler, ikke som tall.

På prøver skjer det ofte at noen bytter om sinus og cosinus. Du trenger ikke huske hvilken som hører hvor, det holder å tenke på vannrett underlag. Der må komponenten langs bakken forsvinne, og null ved 0° gir sinus, ikke cosinus. Komponenten langs bakken er altså den med sinus.

Normalkraft i en bakke

Snøen virker på kjelken med normalkraften $\vec{N}$ , og den står alltid vinkelrett på underlaget, her altså vinkelrett ut fra bakken. Vinkelrett på bakken beveger ikke kjelken seg, den synker verken ned eller letter. Kreftene i denne retningen er derfor i likevekt, og normalkraften utligner komponenten ${\vec{F}}_{2}$ :

$N = G \cdot \cos α$

I en bakke er normalkraften mindre enn tyngdekraften. For kjelken til Vetle er den 85 N, ikke 98,1 N. Her gjøres det oftest feil på prøver: den som overtar N = m · g fra det vannrette gulvet, får friksjonen feil i bakken også.

Jo brattere bakke, desto mindre cosinus, desto svakere presser kjelken mot snøen og desto mindre er også friksjonen. Ved en loddrett vegg er cos 90° = 0 og normalkraften forsvinner helt.

Kjelke uten friksjon

Vi begynner med en helt glatt bakke, for eksempel en kjelke med stålmeier på is. Luftmotstanden ser vi bort fra. Normalkraften utligner komponenten ${\vec{F}}_{2}$ , og den eneste kraften langs bakken som blir igjen, er F₁. Ifølge kraftloven er den lik massen ganger akselerasjonen:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

Vi deler på massen:

$a = g \cdot \sin α$

Massen forkortet seg. En tom kjelke og en kjelke med Vetle på ville akselerert like fort nedover en glatt bakke, akkurat som lette og tunge legemer faller med samme akselerasjon. En kjelke med større masse blir riktignok dratt nedover av en større kraft, men den er like mye vanskeligere å sette i gang.

For en bakke med helningen 30°:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Nøyaktig halvparten av tyngdeakselerasjonen. Ytterpunktene stemmer også: på vannrett underlag er sin α = 0, og kjelken kommer ikke i gang av seg selv, ved en loddrett vegg er sin 90° = 1 og a = g, altså fritt fall.

Kjelke med friksjon

På virkelig snø bremses imidlertid kjelken av friksjon. Friksjonskraften $\vec{R}$ peker langs bakken oppover, mot bevegelsen, og er proporsjonal med normalkraften. I en bakke hører ikke hele tyngdekraften hjemme i formelen, bare delen G · cos α, altså normalkraften:

$R = μ \cdot N = μ \cdot G \cdot \cos α$

For meier på tråkket snø tar vi μ = 0,1. Meier av stål eller plast glir mye bedre på snø enn for eksempel gummi. Kjelken til Vetle bremses av kraften

$R = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

Alle kreftene som virker på kjelken i bakken: tyngdekraft G⃗ med komponentene, normalkraft N⃗ og friksjonskraft R⃗, tegnet for større friksjon enn kjelken har på snø

Resultanten langs bakken er komponenten F₁ redusert med friksjonen, omtrent 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, og akselerasjonen er

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

Generelt: kraftloven langs bakken lyder

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

og når vi deler likningen på massen, får vi formelen for akselerasjon i en bakke med friksjon:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Også her forkortet massen seg. Etter innsetting av 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) får vi igjen 4,06 m/s².

I en slakere bakke med helningen 10° er sin 10° ≈ 0,174 og cos 10° ≈ 0,985, så

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

Helningen er tre ganger mindre, men akselerasjonen mer enn fem ganger. Friksjonen tar her det meste av komponenten langs bakken. Og i en bakke med helningen 5° ville parentesen bli negativ: en kjelke i fart ville bremset til den stoppet. Hvorfor den så blir stående, forklarer neste avsnitt.

Når legemet blir stående

Vetle og lillebroren drar kjelken opp igjen, og på et slakere stykke av veien hviler de litt. Kjelken står der og glir ikke. Den holdes av statisk friksjon, som alltid er akkurat så stor at den utligner kraften som drar kjelken nedover, her komponenten F₁. Høyst kan den være μ_s · N, der μ_s er det statiske friksjonstallet. Kjelken blir derfor stående så lenge

$G \cdot \sin α \leq μ_{s} \cdot G \cdot \cos α .$

Forholdet mellom sinus og cosinus kalles tangens, $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ . I en rettvinklet trekant er det forholdet mellom motstående og hosliggende katet. Tyngdekraften forkortes, og etter at vi har delt på cosinus, blir det igjen

$\tan α \leq μ_{s} .$

Om et legeme i en bakke glir ned, avgjøres ikke av massen, men bare av helningen og underlaget. Vinkelen til en kjent tangens finner du med knappen tan⁻¹ på kalkulatoren.

I en bakke med helningen 5° er tan 5° ≈ 0,087, mindre enn 0,1, og statisk friksjon er dessuten større enn glidefriksjon. En kjelke som har stoppet, kommer derfor ikke i gang igjen av seg selv der. Formelen med negativ akselerasjon beskriver bare turen nedover.

Herfra følger et enkelt forsøk. Sett en trekloss fra byggesettet på en planke og løft den ene enden langsomt. For tre på tre er μ_s ≈ 0,5, så klossen kommer i bevegelse når tan α når 0,5, altså ved omtrent 27°.

På samme måte er det med en parkert bil med bremsede hjul. På tørr asfalt står den fast selv i en ganske bratt gate. Det statiske friksjonstallet på isete føre er imidlertid bare omkring 0,1, og tan α = 0,1 svarer til en helning på knapt 6°. En slik bakke finner du i nesten hver by, og bilen glir ned på isen, enten den er lett eller tung.

Glidefriksjon er mindre enn statisk friksjon. Ved en helning på omtrent 20° blir derfor klossen stående av seg selv, men etter et dytt kommer den i gang og akselererer videre, fordi tan 20° ≈ 0,36 er mer enn glidefriksjonstallet μ = 0,3.

Prøveoppgave steg for steg

En eplekasse med massen 20 kg ligger på en treplanke som forbinder lasteplanet på en bil på skrå med bakken. Planken er 2 m lang og danner vinkelen 35° med bakken. Friksjonstallet for glidning for tre på tre er 0,3, det statiske 0,5. Kommer kassen i gang av seg selv? Hvilken akselerasjon får den, og hvor fort kommer den ned på bakken?

Vi skriver opp oppgaven. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ = 0,3, μ_s = 0,5, g = 9,81 m/s². Vi leter etter a og v. Enhetene er grunnenheter, vi trenger ikke regne om noe.

Vi tegner kreftene. De er de samme som for kjelken.

Kommer den i gang? tan 35° ≈ 0,70 er mer enn μ_s = 0,5. Statisk friksjon holder ikke kassen.

Vi splitter tyngdekraften. For å få et bilde i tall: G = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 og cos 35° ≈ 0,8192. Langs planken drar F₁ ≈ 112,5 N i kassen, mot planken presser F₂ ≈ 160,7 N den. Videre regner vi imidlertid med bokstaver og setter inn tallene først helt til slutt.

Vi legger sammen kreftene langs planken. Vinkelrett på planken er kreftene i likevekt, så N = m · g · cos α og friksjonskraften er R = μ · m · g · cos α. Langs planken drar F₁ nedover og friksjonen oppover:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

Vi løser ut akselerasjonen. Etter å ha delt på massen:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Fart på slutten. Kassen starter fra ro og akselererer konstant, så v² = 2 · a · s og

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Vi setter inn. Akselerasjonen lar vi stå uavrundet i kalkulatoren:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Kontroll: akselerasjonen er mindre enn g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² uten friksjon, slik den skal være.

Kassen kommer i gang av seg selv, akselererer med omtrent 3,22 m/s² og kommer ned på bakken med farten omtrent 3,6 m/s, nesten 13 km/h. Eplene fortjener at noen tar imot dem nede.

På et skråplan holder det altså å splitte tyngdekraften, og så regner man som på vannrett underlag: likevekt vinkelrett på underlaget, kraftloven langs det. Alle legemene har imidlertid hittil gått langs en rett linje.

Hva som skal til for at kjelken eller bilen skal svinge, viser neste artikkel, Sentripetalkraft.

« Forrige: Friksjon

Neste: Sentripetalkraft »