Hellend vlak

Bram zet zijn slee op een besneeuwde heuvel en laat hem los. De slee komt in beweging en wint onderweg snelheid. Omlaag wordt hij daarbij alleen door de aarde getrokken en de zwaartekracht wijst verticaal omlaag, niet schuin langs de helling. Waarom valt hij niet loodrecht naar de grond, maar glijdt hij langs de helling omlaag? En waarom glijdt hij van een flauwe helling langzamer naar beneden dan van een steile? Beide verklaren we met één truc: we ontbinden de zwaartekracht in twee componenten.

Een helling, een glijbaan, een oprit en een schuine plank heten in de natuurkunde een hellend vlak. Hoe sterk het helt, geeft de hoek α aan die het maakt met de horizontale grond.

Ontbinden van de zwaartekracht

De zwaartekracht $\vec{F_{z}}$ vervangen we door twee krachten die samen hetzelfde effect hebben. De ene wijst langs de helling omlaag, de andere loodrecht op de helling. De zwaartekracht is zo de diagonaal van een rechthoek die uit beide componenten is opgebouwd, zoals bij elke ontbinding van een kracht.

Ontbinding van de zwaartekracht F⃗_z die op de slee werkt in een component F⃗_1 langs de helling en een component F⃗_2 loodrecht op de helling

De blauwe gestippelde component ${\vec{F}}_{1}$ trekt de slee langs de helling omlaag, terwijl de andere, ${\vec{F}}_{2}$ , hem in de sneeuw drukt. Zelf zet ze niets in beweging, want de sneeuw laat de slee niet door. Van de hele zwaartekracht brengt dus alleen het deel F₁ de slee in beweging, wat de eerste vraag beantwoordt.

Hoe groot zijn de componenten? De zwaartekracht, de component ${\vec{F}}_{2}$ en het grijze gestippelde lijnstuk van de punt van ${\vec{F}}_{2}$ naar de punt van $\vec{F_{z}}$ vormen een rechthoekige driehoek met de rechte hoek bij de punt van ${\vec{F}}_{2}$ . De zwaartekracht is daarin de schuine zijde en de hoek bij het zwaartepunt tussen haar en de component ${\vec{F}}_{2}$ is in de afbeelding aangegeven als α, net als de hellingshoek. Waarom dat zo is, laten we zo zien. Eerst frissen we sinus en cosinus op: de sinus van een hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde, de cosinus de verhouding van de aanliggende rechthoekszijde en de schuine zijde. Tegenover hoek α ligt de gestippelde rechthoekszijde die even lang is als F₁, de aanliggende rechthoekszijde is F₂, dus

$\sin α = \frac{F_{1}}{F_{z}}, \cos α = \frac{F_{2}}{F_{z}} .$

Beide gelijkheden vermenigvuldigen we met de zwaartekracht:

$\begin{aligned} F_{1} & = F_{z} \cdot \sin α \\ F_{2} & = F_{z} \cdot \cos α \end{aligned}$

Blijft de beloofde verklaring. De zwaartekracht staat loodrecht op de horizontale grond, de component ${\vec{F}}_{2}$ loodrecht op de helling. Stel je voor dat we de grond en de helling over een rechte hoek draaien. De grond wordt een verticaal, de helling een loodlijn op de helling, en de hoek ertussen verandert door het draaien niet. De hoek tussen de zwaartekracht en de loodlijn op de helling is daarom gelijk aan de hoek tussen de grond en de helling. Er geldt immers dat twee scherpe hoeken met onderling loodrechte benen even groot zijn.

Wie niet van draaien houdt, kan rekenen. Laten we de zwaartekracht verticaal omlaag verlengen tot de grond. De verticaal, de grond en de helling vormen een rechthoekige driehoek met hoek α onderaan bij de grond, dus bij de helling heeft hij een hoek 90° − α. De loodlijn op de helling maakt met de helling een rechte hoek, en wijkt daarom van de verticaal af met 90° − (90° − α) = α.

Dat het klopt, controleren we met uiterste gevallen. Op horizontale grond is α = 0°, sin α = 0 en cos α = 1. De component langs de helling verdwijnt en de hele zwaartekracht drukt op de ondergrond, precies zoals het hoort. Hoe steiler de helling, hoe groter de sinus en hoe sterker het de slee omlaag trekt. Dat is het antwoord op de tweede vraag.

Laten we het proberen met Brams slee met een massa van 10 kg op een helling met een hellingshoek van 30°. De zwaartekracht is

$F_{z} = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

We vullen sin 30° = 0,5 en cos 30° ≈ 0,866 in:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Pas op, 49,05 N + 85 N is niet 98,1 N. Componenten tellen we immers op als pijlen, niet als getallen.

In een toets gebeurt het vaak dat iemand sinus en cosinus verwisselt. Je hoeft niet te onthouden welke waar hoort, het volstaat te denken aan horizontale grond. Daar moet de component langs de helling verdwijnen, en nul bij 0° geeft de sinus, niet de cosinus. De component langs de helling is dus die met de sinus.

Normaalkracht op een helling

De sneeuw werkt op de slee met een normaalkracht $\vec{F_{N}}$ , en die staat altijd loodrecht op de ondergrond, hier dus loodrecht op de helling naar buiten. Loodrecht op de helling beweegt de slee niet, hij zakt er niet in en vliegt er niet vanaf. De krachten in deze richting zijn daarom in evenwicht en de normaalkracht compenseert de component ${\vec{F}}_{2}$ :

$F_{N} = F_{z} \cdot \cos α$

Op een helling is de normaalkracht kleiner dan de zwaartekracht. Voor Brams slee is het 85 N, niet 98,1 N. Hier worden in toetsen de meeste fouten gemaakt: wie van de horizontale vloer F_N = m · g overneemt, krijgt op een helling ook de wrijving fout.

Hoe steiler de helling, hoe kleiner de cosinus, hoe zwakker de slee in de sneeuw drukt en hoe kleiner ook de wrijving. Bij een verticale wand is cos 90° = 0 en verdwijnt de normaalkracht helemaal.

Een slee zonder wrijving

We beginnen met een volkomen gladde helling, bijvoorbeeld een slee met stalen glijders op ijs. De luchtweerstand verwaarlozen we. De normaalkracht compenseert de component ${\vec{F}}_{2}$ en er blijft één kracht langs de helling over, F₁. Volgens de tweede wet van Newton is ze gelijk aan massa keer versnelling:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

We delen door de massa:

$a = g \cdot \sin α$

De massa viel weg. Een lege slee en een slee met Bram erop zouden op een gladde helling even snel versnellen, net zoals lichte en zware voorwerpen met dezelfde versnelling vallen. Een slee met een grotere massa wordt weliswaar met een grotere kracht omlaag getrokken, maar hij komt in dezelfde mate moeilijker op gang.

Voor een helling met een hellingshoek van 30°:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Precies de helft van de valversnelling. Ook de uiterste gevallen kloppen: op horizontale grond is sin α = 0 en gaat de slee niet uit zichzelf rijden, bij een verticale wand is sin 90° = 1 en a = g, dus vrije val.

Een slee met wrijving

Op echte sneeuw wordt de slee echter door wrijving afgeremd. De wrijvingskracht $\vec{F_{w}}$ wijst langs de helling omhoog, tegen de beweging in, en is evenredig met de normaalkracht. Op een helling hoort in de formule echter niet de hele zwaartekracht, maar alleen haar deel F_z · cos α, dus de normaalkracht:

$F_{w} = f \cdot F_{N} = f \cdot F_{z} \cdot \cos α$

Voor glijders op platgereden sneeuw nemen we f = 0,1. Stalen of plastic glijders glijden veel beter over sneeuw dan bijvoorbeeld rubber. Brams slee wordt afgeremd door de kracht

$F_{w} = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

Alle krachten die op de slee op de helling werken: de zwaartekracht F⃗_z met componenten, de normaalkracht F⃗_N en de wrijvingskracht F⃗_w, getekend voor meer wrijving dan een slee op sneeuw heeft

De resulterende kracht langs de helling is de component F₁ verminderd met de wrijving, ongeveer 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, en de versnelling is

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

In het algemeen luidt de tweede wet langs de helling

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - f \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

en als we de vergelijking door de massa delen, krijgen we de formule voor de versnelling op een helling met wrijving:

$a = g \cdot (\sin α - f \cdot \cos α)$

Ook hier viel de massa weg. Na invullen van 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) komt weer 4,06 m/s² uit.

Op een flauwere helling met een hellingshoek van 10° is sin 10° ≈ 0,174 en cos 10° ≈ 0,985, dus

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

De hellingshoek is drie keer zo klein, maar de versnelling meer dan vijf keer zo klein. De wrijving neemt hier het grootste deel van de component langs de helling weg. En bij een hellingshoek van 5° zou het haakje negatief uitkomen: een slee die al rijdt, zou vertragen tot hij stilstaat. Waarom hij dan blijft staan, verklaart de volgende paragraaf.

Wanneer een voorwerp blijft staan

Bram en zijn broertje trekken de slee weer omhoog en rusten even uit op een flauwer stuk van de weg. De slee staat daar en glijdt niet weg. Hij wordt op zijn plaats gehouden door de statische wrijving, die altijd precies zo groot is dat ze de kracht compenseert die de slee omlaag trekt, hier de component F₁. Hoogstens kan ze f_s · F_N zijn, waarbij f_s de statische wrijvingscoëfficiënt is. De slee blijft dus staan zolang

$F_{z} \cdot \sin α \leq f_{s} \cdot F_{z} \cdot \cos α .$

De verhouding van sinus en cosinus heet tangens, $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ . In een rechthoekige driehoek is het de verhouding van de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde. De zwaartekracht valt weg en na delen door de cosinus blijft over

$\tan α \leq f_{s} .$

Of een voorwerp op een helling gaat glijden, hangt niet van de massa af, maar alleen van de hellingshoek en het oppervlak. De hoek bij een bekende tangens geeft de rekenmachine met de toets tan⁻¹.

Op een helling met een hellingshoek van 5° is tan 5° ≈ 0,087, minder dan 0,1, en de statische wrijving is nog groter dan de schuifwrijving. Een stilstaande slee gaat daar dus niet uit zichzelf weer rijden. De formule met negatieve versnelling beschrijft alleen het afdalen.

Hieruit volgt een eenvoudig experiment. Zet een houten blokje uit een bouwdoos op een plank en til een uiteinde langzaam op. Voor hout op hout is f_s ≈ 0,5, dus het blokje komt in beweging als tan α de waarde 0,5 bereikt, dus ongeveer bij 27°.

Zo is het ook bij een geparkeerde auto met geremde wielen. Op droog asfalt houdt zelfs een behoorlijk steile straat hem vast. De statische wrijvingscoëfficiënt is op ijzel echter maar ongeveer 0,1 en tan α = 0,1 komt overeen met een hellingshoek van nog geen 6°. Zo'n helling vind je in bijna elke stad en de auto glijdt over het ijs weg, of hij nu licht of zwaar is.

Schuifwrijving is kleiner dan statische. Bij een hellingshoek van ongeveer 20° blijft het blokje daarom uit zichzelf staan, maar na een tikje gaat het glijden en blijft versnellen, omdat tan 20° ≈ 0,36 meer is dan de schuifwrijving f = 0,3.

Een toetsopgave stap voor stap

Een kist appels met een massa van 20 kg ligt op een houten plank die de laadbak van een auto schuin met de grond verbindt. De plank is 2 m lang en maakt met de grond een hoek van 35°. De wrijvingscoëfficiënt voor schuifwrijving van hout op hout is 0,3, voor statische wrijving 0,5. Gaat de kist uit zichzelf glijden? Welke versnelling heeft hij en hoe snel komt hij op de grond aan?

We schrijven de gegevens op. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, f = 0,3, f_s = 0,5, g = 9,81 m/s². We zoeken a en v. De eenheden zijn basiseenheden, we hoeven niets om te rekenen.

We tekenen de krachten. Ze zijn dezelfde als bij de slee.

Gaat hij glijden? tan 35° ≈ 0,70 is meer dan f_s = 0,5. De statische wrijving houdt de kist niet tegen.

We ontbinden de zwaartekracht. Voor een beeld in getallen: F_z = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 en cos 35° ≈ 0,8192. Langs de plank trekt F₁ ≈ 112,5 N de kist, in de plank drukt F₂ ≈ 160,7 N hem. Verder rekenen we echter met letters en de getallen vullen we pas aan het eind in.

We tellen de krachten langs de plank op. Loodrecht op de plank heffen de krachten elkaar op, dus F_N = m · g · cos α en de wrijvingskracht is F_w = f · m · g · cos α. Langs de plank trekt F₁ omlaag en de wrijving omhoog:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - f \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

We werken de formule om naar de versnelling. Na delen door de massa:

$a = g \cdot (\sin α - f \cdot \cos α)$

Snelheid aan het eind. De kist start uit stilstand en versnelt eenparig, dus v² = 2 · a · s en

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

We vullen in. De versnelling laten we in de rekenmachine onafgerond:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Controle: de versnelling is kleiner dan g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² zonder wrijving, zoals het hoort.

De kist gaat uit zichzelf glijden, versnelt met ongeveer 3,22 m/s² en komt op de grond aan met een snelheid van ongeveer 3,6 m/s, bijna 13 km/h. De appels zouden verdienen dat iemand de kist onderaan opvangt.

Op een hellend vlak volstaat het dus de zwaartekracht te ontbinden en verder reken je als op horizontale grond: loodrecht op de ondergrond evenwicht, langs de ondergrond de tweede wet. Alle voorwerpen reden tot nu toe echter langs een rechte lijn.

Wat nodig is om een slee of een auto een bocht te laten maken, laat het volgende artikel zien, Middelpuntzoekende kracht.

« Vorige: Wrijving

Volgende: Middelpuntzoekende kracht »