Lutande plan

Oliver ställer pulkan på en snöig kulle och släpper den. Pulkan sätter i gång och får allt mer fart på vägen ner. Det som drar den nedåt är bara jorden, och tyngdkraften pekar lodrätt nedåt, inte snett längs sluttningen. Varför faller pulkan inte rakt mot marken, utan åker längs backen? Och varför glider den långsammare i en svag sluttning än i en brant? Båda frågorna besvaras med ett enda knep: vi delar upp tyngdkraften i två komposanter.

En backe, en rutschkana, en ramp och en lutande planka kallas i fysiken lutande plan. Hur mycket planet lutar anger vinkeln α som det bildar med den vågräta marken.

Uppdelning av tyngdkraften

Vi ersätter tyngdkraften $\vec{F_{g}}$ med två krafter som tillsammans verkar likadant. Den ena pekar längs sluttningen nedåt, den andra vinkelrätt in mot sluttningen. Tyngdkraften blir då diagonalen i en rektangel som byggs av de två komposanterna, som vid varje kraftuppdelning.

Uppdelning av tyngdkraften F⃗_g som verkar på pulkan i komposanten F⃗_1 längs sluttningen och komposanten F⃗_2 vinkelrätt mot sluttningen

Den blå streckade komposanten ${\vec{F}}_{1}$ drar pulkan nedför sluttningen, medan den andra, ${\vec{F}}_{2}$ , trycker den mot snön. Den flyttar ingenting av sig själv, eftersom snön inte släpper igenom pulkan. Av hela tyngdkraften är det alltså bara en del, F₁, som får pulkan att sätta i gång, och det är svaret på den första frågan.

Hur stora är komposanterna? Tyngdkraften, komposanten ${\vec{F}}_{2}$ och den grå streckade linjen från spetsen av ${\vec{F}}_{2}$ till spetsen av $\vec{F_{g}}$ bildar en rätvinklig triangel med den räta vinkeln vid spetsen av ${\vec{F}}_{2}$ . Tyngdkraften är hypotenusan i den, och vinkeln vid tyngdpunkten mellan den och komposanten ${\vec{F}}_{2}$ är i figuren markerad som α, precis som sluttningens lutningsvinkel. Varför det är så visar vi om en stund. Först en påminnelse om sinus och cosinus: sinus för en vinkel i en rätvinklig triangel är kvoten mellan motstående katet och hypotenusan, cosinus kvoten mellan närliggande katet och hypotenusan. Mitt emot vinkeln α ligger den streckade katetern som är lika lång som F₁, den närliggande katetern är F₂, och alltså är

$\sin α = \frac{F_{1}}{F_{g}}, \cos α = \frac{F_{2}}{F_{g}} .$

Vi multiplicerar båda likheterna med tyngdkraften:

$\begin{aligned} F_{1} & = F_{g} \cdot \sin α \\ F_{2} & = F_{g} \cdot \cos α \end{aligned}$

Nu återstår den utlovade motiveringen. Tyngdkraften är vinkelrät mot den vågräta marken, komposanten ${\vec{F}}_{2}$ är vinkelrät mot sluttningen. Tänk dig att vi vrider både marken och sluttningen en rät vinkel. Marken blir en lodlinje, sluttningen blir normalen mot sluttningen, och vinkeln mellan dem ändras inte när vi vrider. Vinkeln mellan tyngdkraften och normalen mot sluttningen är därför lika stor som vinkeln mellan marken och sluttningen. Det gäller nämligen att två spetsiga vinklar med parvis vinkelräta skänklar är lika stora.

Om du inte gillar att vrida kan du räkna i stället. Vi förlänger tyngdkraften lodrätt nedåt ner till marken. Lodlinjen, marken och sluttningen bildar en rätvinklig triangel med vinkeln α nere vid marken, så vid sluttningen är vinkeln 90° − α. Normalen mot sluttningen bildar en rät vinkel med sluttningen, och den avviker därför från lodlinjen med 90° − (90° − α) = α.

Att det stämmer kontrollerar vi på ytterfallen. På vågrät mark är α = 0°, sin α = 0 och cos α = 1. Komposanten längs sluttningen försvinner och hela tyngdkraften trycker mot underlaget, precis som den ska. Ju brantare sluttning, desto större sinus och desto kraftigare drar det pulkan nedåt. Det är svaret på den andra frågan.

Vi provar med Olivers pulka med massan 10 kg i en sluttning med lutningsvinkeln 30°. Tyngdkraften är

$F_{g} = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

Vi sätter in sin 30° = 0,5 och cos 30° ≈ 0,866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Obs! 49,05 N + 85 N är inte 98,1 N. Komposanterna adderas nämligen som pilar, inte som tal.

På provet händer det ofta att någon byter plats på sinus och cosinus. Du behöver inte lära dig vilken som hör vart, det räcker att tänka på vågrät mark. Där måste komposanten längs sluttningen försvinna, och noll vid 0° ger sinus, inte cosinus. Komposanten längs sluttningen är alltså den med sinus.

Normalkraften i en sluttning

Snön verkar på pulkan med normalkraften $\vec{F_{N}}$ , och den är alltid vinkelrät mot underlaget, här alltså vinkelrätt ut från sluttningen. Vinkelrätt mot sluttningen rör sig pulkan inte, den sjunker inte ner och lyfter inte heller. Krafterna i den riktningen är därför i jämvikt, och normalkraften tar ut komposanten ${\vec{F}}_{2}$ :

$F_{N} = F_{g} \cdot \cos α$

I en sluttning är normalkraften mindre än tyngdkraften. För Olivers pulka är den 85 N, inte 98,1 N. Här görs de flesta felen på prov: den som tar F_N = m · g från ett vågrätt golv och använder den i en sluttning får fel friktion också.

Ju brantare sluttning, desto mindre cosinus, desto svagare trycker pulkan mot snön och desto mindre är friktionen. Vid en lodrät vägg är cos 90° = 0 och normalkraften försvinner helt.

Pulka utan friktion

Vi börjar med en alldeles slät sluttning, till exempel en pulka med stålmedar på is. Luftmotståndet försummar vi. Normalkraften tar ut komposanten ${\vec{F}}_{2}$ och kvar blir en enda kraft längs sluttningen, F₁. Enligt kraftlagen är den lika med massan gånger accelerationen:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

Vi delar med massan:

$a = g \cdot \sin α$

Massan förkortades bort. En tom pulka och en pulka med Oliver i skulle accelerera lika mycket nedför en slät sluttning, på samma sätt som en lätt och en tung kropp faller med samma acceleration. En pulka med större massa dras visserligen nedåt av en större kraft, men den är i samma mån svårare att få i gång.

För en sluttning med lutningsvinkeln 30°:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Det är precis hälften av tyngdaccelerationen. Ytterfallen stämmer också: på vågrät mark är sin α = 0 och pulkan sätter inte i gång av sig själv, vid en lodrät vägg är sin 90° = 1 och a = g, alltså fritt fall.

Pulka med friktion

På verklig snö bromsar friktionen pulkan. Friktionskraften $\vec{F_{μ}}$ pekar längs sluttningen uppåt, mot rörelsen, och är proportionell mot normalkraften. I en sluttning ska dock inte hela tyngdkraften in i formeln, bara dess del F_g · cos α, alltså normalkraften:

$F_{μ} = μ \cdot F_{N} = μ \cdot F_{g} \cdot \cos α$

För medar på hårdtrampad snö tar vi μ = 0,1. Medar av stål eller plast glider på snö mycket bättre än till exempel gummi. Olivers pulka bromsas av kraften

$F_{μ} = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

Alla krafter som verkar på pulkan i sluttningen: tyngdkraften F⃗_g med sina komposanter, normalkraften F⃗_N och friktionskraften F⃗_μ, ritad för större friktion än pulkan har på snö

Resultanten längs sluttningen är komposanten F₁ minskad med friktionen, ungefär 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, och accelerationen är

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

Allmänt: kraftlagen längs sluttningen lyder

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

och när vi delar ekvationen med massan får vi formeln för accelerationen i en sluttning med friktion:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Även här förkortades massan bort. Om vi sätter in 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) får vi återigen 4,06 m/s².

I en svagare sluttning med lutningsvinkeln 10° är sin 10° ≈ 0,174 och cos 10° ≈ 0,985, så

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

Lutningen är tre gånger mindre, men accelerationen mer än fem gånger. Friktionen tar här det mesta av komposanten längs sluttningen. Och i en sluttning med lutningsvinkeln 5° skulle parentesen bli negativ: en pulka som redan rör sig skulle bromsas tills den stannar. Varför den sedan blir stående förklarar nästa avsnitt.

När en kropp blir stående

Oliver och hans lillebror drar upp pulkan igen och vilar en stund på en svagare del av vägen. Pulkan står där och glider inte ner. Den hålls av vilofriktionen, som alltid är precis så stor att den tar ut kraften som drar pulkan nedåt, här komposanten F₁. Som mest kan den vara μ_s · F_N, där μ_s är vilofriktionstalet. Pulkan blir alltså stående så länge

$F_{g} \cdot \sin α \leq μ_{s} \cdot F_{g} \cdot \cos α .$

Kvoten mellan sinus och cosinus kallas tangens, $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ . I en rätvinklig triangel är det kvoten mellan motstående och närliggande katet. Tyngdkraften förkortas bort, och när vi delar med cosinus blir det kvar

$\tan α \leq μ_{s} .$

Om en kropp glider nedför en sluttning avgörs inte av massan, utan bara av lutningen och underlaget. Vinkeln för ett känt tangensvärde får du fram på räknaren med knappen tan⁻¹.

I en sluttning med lutningsvinkeln 5° är tan 5° ≈ 0,087, alltså mindre än 0,1, och vilofriktionen är dessutom större än glidfriktionen. En pulka som har stannat där sätter sig därför inte i rörelse igen av sig själv. Formeln med negativ acceleration beskriver bara färden nedåt.

Av det följer ett enkelt experiment. Ställ en träkloss från ett byggset på en planka och lyft ena änden långsamt. För trä mot trä är μ_s ≈ 0,5, så klossen börjar röra sig när tan α når 0,5, alltså vid ungefär 27°.

Likadant är det med en parkerad bil med handbromsen åtdragen. På torr asfalt håller friktionen den även i en riktigt brant gata. Men vilofriktionstalet är på isig väg bara omkring 0,1, och tan α = 0,1 motsvarar en lutningsvinkel på knappt 6°. En sådan backe finns i nästan varje stad, och bilen glider ner på isen, vare sig den är lätt eller tung.

Glidfriktionen är mindre än vilofriktionen. Vid en lutningsvinkel på omkring 20° blir därför klossen stående av sig själv, men om du knackar till den sätter den i gång och fortsätter att accelerera, eftersom tan 20° ≈ 0,36 är större än glidfriktionstalet μ = 0,3.

Ett provexempel steg för steg

En låda med äpplen med massan 20 kg ligger på en träplanka som sluttar från flaket på en bil ner till marken. Plankan är 2 m lång och bildar vinkeln 35° med marken. Glidfriktionstalet för trä mot trä är 0,3 och vilofriktionstalet 0,5. Sätter sig lådan i rörelse av sig själv? Vilken acceleration får den och med vilken hastighet kommer den ner till marken?

Vi skriver upp uppgiften. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ = 0,3, μ_s = 0,5, g = 9,81 m/s². Vi söker a och v. Enheterna är redan grundenheter, så vi behöver inte räkna om något.

Vi ritar krafterna. De är desamma som för pulkan.

Sätter den sig i rörelse? tan 35° ≈ 0,70 är större än μ_s = 0,5. Vilofriktionen håller inte kvar lådan.

Vi delar upp tyngdkraften. För att få en uppfattning i siffror: F_g = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 och cos 35° ≈ 0,8192. Längs plankan drar F₁ ≈ 112,5 N lådan nedåt, mot plankan trycker F₂ ≈ 160,7 N den. Vi fortsätter ändå att räkna med bokstäver och sätter in talen först sist.

Vi adderar krafterna längs plankan. Vinkelrätt mot plankan är krafterna i jämvikt, så F_N = m · g · cos α och friktionskraften är F_μ = μ · m · g · cos α. Längs plankan drar F₁ nedåt och friktionen uppåt:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

Vi löser ut accelerationen. Efter division med massan:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Hastigheten vid änden. Lådan startar från vila och accelererar likformigt, så v² = 2 · a · s och

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Vi sätter in. Accelerationen låter vi stå kvar oavrundad i räknaren:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Kontroll: accelerationen är mindre än g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² utan friktion, som den ska.

Lådan sätter sig i rörelse av sig själv, accelererar med ungefär 3,22 m/s² och kommer ner till marken med en hastighet på ungefär 3,6 m/s, nästan 13 km/h. Äpplena förtjänar att någon tar emot lådan där nere.

På ett lutande plan räcker det alltså att dela upp tyngdkraften, och sedan räknar vi som på vågrät mark: vinkelrätt mot underlaget jämvikt, längs det kraftlagen. Alla kroppar har dock hittills rört sig längs en rät linje.

Vad som krävs för att en pulka eller en bil ska svänga visar nästa artikel, Centripetalkraft.

« Föregående: Friktion

Nästa: Centripetalkraft »