Lejtő

Zsolt a behavazott domboldalra állítja a szánkót, és elengedi. A szánkó elindul, és menet közben egyre gyorsabb. Lefelé közben csak a Föld húzza, és a nehézségi erő függőlegesen lefelé mutat, nem ferdén a lejtő mentén. Miért nem esik függőlegesen lefelé, és miért csúszik inkább a domboldal mentén? És miért csúszik a szánkó lassabban egy enyhe lejtőn, mint egy meredeken? Mindkettőt megmagyarázza egyetlen trükk: a nehézségi erőt két összetevőre bontjuk.

A domboldalt, a csúszdát, a rámpát és a ferde deszkát a fizikában lejtőnek hívjuk. Azt, hogy mennyire meredek, az α szög adja meg, amelyet a vízszintes talajjal zár be.

A nehézségi erő felbontása

Az $\vec{F_{g}}$ nehézségi erőt két erővel helyettesítjük, amelyek együtt ugyanúgy hatnak. Az egyik a lejtő mentén lefelé mutat, a másik merőlegesen a lejtőbe. A nehézségi erő így a két összetevőből szerkesztett téglalap átlója lesz, mint minden erő felbontásánál.

A szánkóra ható F⃗_g nehézségi erő felbontása a lejtő menti F⃗_1 és a lejtőre merőleges F⃗_2 összetevőre

A kék szaggatott ${\vec{F}}_{1}$ összetevő a szánkót húzza lefelé a lejtőn, a másik, ${\vec{F}}_{2}$ pedig a hóba nyomja. Ez önmagában sehová sem mozdítja el, mert a hó nem engedi át a szánkót. A teljes nehézségi erőből tehát csak az F₁ rész indítja el a szánkót, és ez válaszol az első kérdésre.

Mekkorák az összetevők? A nehézségi erő, az ${\vec{F}}_{2}$ összetevő és a szürke szaggatott szakasz az ${\vec{F}}_{2}$ hegyétől az $\vec{F_{g}}$ hegyéig derékszögű háromszöget alkot, amelynek derékszöge az ${\vec{F}}_{2}$ hegyénél van. A nehézségi erő ebben az átfogó, és a súlypontnál lévő szög közte és az ${\vec{F}}_{2}$ összetevő között az ábrán α, ugyanúgy, mint a lejtő hajlásszöge. Hogy ez miért van így, mindjárt megmutatjuk. Előbb idézzük fel a szinuszt és a koszinuszt: a derékszögű háromszögben a szög szinusza a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosa, a koszinusza a szög melletti befogó és az átfogó hányadosa. Az α szöggel szemben a szaggatott befogó van, amely ugyanolyan hosszú, mint F₁, a mellette lévő befogó F₂, ezért

$\sin α = \frac{F_{1}}{F_{g}}, \cos α = \frac{F_{2}}{F_{g}} .$

Mindkét egyenlőséget megszorozzuk a nehézségi erővel:

$\begin{aligned} F_{1} & = F_{g} \cdot \sin α \\ F_{2} & = F_{g} \cdot \cos α \end{aligned}$

Hátravan az ígért indoklás. A nehézségi erő merőleges a vízszintes talajra, az ${\vec{F}}_{2}$ összetevő merőleges a lejtőre. Képzeld el, hogy a talajt és a lejtőt is derékszöggel elforgatjuk. A talajból függőleges lesz, a lejtőből a lejtőre merőleges egyenes, és a köztük lévő szög a forgatástól nem változik. A nehézségi erő és a lejtőre merőleges egyenes közötti szög ezért ugyanakkora, mint a talaj és a lejtő közötti szög. Ugyanis két hegyesszög, amelynek szárai páronként merőlegesek egymásra, egyenlő nagyságú.

Akinek nem fekszik az elforgatás, az számolhat is. Hosszabbítsuk meg a nehézségi erőt függőlegesen lefelé a talajig. A függőleges, a talaj és a lejtő derékszögű háromszöget alkot, amelynek lent a talajnál α a szöge, így a lejtőnél a szöge 90° − α. A lejtőre merőleges egyenes a lejtővel derékszöget zár be, ezért a függőlegestől 90° − (90° − α) = α szöggel tér el.

Hogy helyes-e, szélsőséges esetekkel ellenőrizzük. Vízszintes talajon α = 0°, sin α = 0 és cos α = 1. A lejtő menti összetevő eltűnik, és a teljes nehézségi erő az alátámasztást nyomja, pontosan úgy, ahogy kell. Minél meredekebb a lejtő, annál nagyobb a szinusz, és annál erősebben húzza lefelé a szánkót. Ez a válasz a második kérdésre.

Próbáljuk ki Zsolt 10 kg tömegű szánkójával egy 30° hajlásszögű lejtőn. A nehézségi erő

$F_{g} = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

Behelyettesítjük, sin 30° = 0,5 és cos 30° ≈ 0,866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Figyelem, 49,05 N + 85 N nem 98,1 N. Az összetevőket ugyanis nyilakként adjuk össze, nem számokként.

Dolgozatban gyakran előfordul, hogy valaki felcseréli a szinuszt és a koszinuszt. Nem kell megjegyezned, melyik hová való, elég a vízszintes talajra gondolni. Ott a lejtő menti összetevőnek el kell tűnnie, és 0° esetén nullát a szinusz ad, nem a koszinusz. A lejtő menti összetevő tehát a szinuszos.

Tartóerő a lejtőn

A hó a szánkóra az $\vec{F_{ny}}$ tartóerővel (nyomóerővel) hat, amely mindig merőleges az alátámasztásra, vagyis itt a lejtőre merőlegesen kifelé mutat. A lejtőre merőlegesen a szánkó nem mozdul, nem süllyed be, és nem is repül el. Az ebben az irányban ható erők ezért egyensúlyban vannak, és a tartóerő kiegyenlíti az ${\vec{F}}_{2}$ összetevőt:

$F_{ny} = F_{g} \cdot \cos α$

A lejtőn a tartóerő kisebb, mint a nehézségi erő. Zsolt szánkójánál ez 85 N, nem 98,1 N. Itt hibáznak a legtöbbet a dolgozatokban: aki a vízszintes padlóról átveszi az F_ny = m · g összefüggést, annak a lejtőn a súrlódás is rossz lesz.

Minél meredekebb a lejtő, annál kisebb a koszinusz, annál gyengébben nyomja a szánkó a havat, és annál kisebb a súrlódás is. Függőleges falnál cos 90° = 0, és a tartóerő teljesen eltűnik.

Szánkó súrlódás nélkül

Kezdjük a tökéletesen sima lejtővel, mondjuk jégen acéltalpú szánkóval. A légellenállást elhanyagoljuk. A tartóerő kiegyenlíti az ${\vec{F}}_{2}$ összetevőt, és egyetlen erő marad a lejtő mentén, az F₁. A dinamika alaptörvénye szerint ez a tömeg és a gyorsulás szorzata:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

Osztunk a tömeggel:

$a = g \cdot \sin α$

A tömeg kiesett. Az üres szánkó és a Zsolttal megrakott szánkó ugyanúgy gyorsulna a sima lejtőn, ahogy a könnyű és a nehéz test is ugyanazzal a gyorsulással esik. A nagyobb tömegű szánkót ugyan nagyobb erő húzza lefelé, de ugyanolyan mértékben nehezebben is indul.

A 30° hajlásszögű lejtőre:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Éppen a nehézségi gyorsulás fele. A szélsőséges esetek is stimmelnek: vízszintes talajon sin α = 0, és a szánkó magától nem indul el, függőleges falnál sin 90° = 1 és a = g, vagyis szabadesés.

Szánkó súrlódással

Valódi havon azonban a szánkót a súrlódás fékezi. Az $\vec{F_{s}}$ súrlódási erő a lejtő mentén felfelé mutat, a mozgással szemben, és arányos a tartóerővel. A lejtőn viszont a képletbe nem a teljes nehézségi erő kerül, csak az F_g · cos α része, vagyis a tartóerő:

$F_{s} = μ \cdot F_{ny} = μ \cdot F_{g} \cdot \cos α$

A letaposott havon csúszó talpakhoz μ = 0,1 értéket veszünk. Az acél vagy műanyag talp sokkal jobban csúszik a havon, mint például a gumi. Zsolt szánkóját ekkora súrlódási erő fékezi:

$F_{s} = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

A lejtőn lévő szánkóra ható összes erő: az F⃗_g nehézségi erő az összetevőivel, az F⃗_ny tartóerő és az F⃗_s súrlódási erő, a havon csúszó szánkónál nagyobb súrlódásra rajzolva

A lejtő menti eredő az F₁ összetevő a súrlódással csökkentve, körülbelül 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, a gyorsulás pedig

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

Általánosan: a dinamika alaptörvénye a lejtő mentén így szól:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

és ha az egyenletet elosztjuk a tömeggel, megkapjuk a súrlódásos lejtőn érvényes gyorsulás képletét:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Itt is kiesett a tömeg. A 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) behelyettesítése után ismét 4,06 m/s² jön ki.

Egy enyhébb, 10° hajlásszögű lejtőn sin 10° ≈ 0,174 és cos 10° ≈ 0,985, tehát

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

A hajlásszög háromszor kisebb, a gyorsulás viszont több mint ötször kisebb. A súrlódás itt elveszi a lejtő menti összetevő nagyobb részét. Egy 5° hajlású lejtőn pedig a zárójelben lévő kifejezés negatív lenne: a megindult szánkó lassulna, míg meg nem állna. Hogy utána miért marad állva, azt a következő rész magyarázza.

Mikor marad a test egy helyben

Zsolt az öccsével visszahúzza a szánkót a domb tetejére, és egy enyhébb szakaszon kicsit pihennek. A szánkó ott áll, és nem csúszik le. A tapadási súrlódás tartja, amely mindig éppen akkora, hogy kiegyenlítse a szánkót lefelé húzó erőt, itt az F₁ összetevőt. Legfeljebb μ₀ · F_ny lehet, ahol μ₀ a tapadási súrlódási együttható. A szánkó tehát addig marad egy helyben, amíg

$F_{g} \cdot \sin α \leq μ_{0} \cdot F_{g} \cdot \cos α .$

A szinusz és a koszinusz hányadosát tangensnek hívjuk, $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ . A derékszögű háromszögben ez a szöggel szemközti és a mellette lévő befogó hányadosa. A nehézségi erő kiesik, és a koszinusszal való osztás után ez marad:

$tg α \leq μ_{0} .$

Hogy a test lecsúszik-e a lejtőn, azt nem a tömeg dönti el, hanem csak a hajlásszög és a felület. Az ismert tangensből a szöget a számológépen a tan⁻¹ gomb adja vissza.

Egy 5° hajlású lejtőn tg5° ≈ 0,087, ami kisebb, mint 0,1, és a tapadási súrlódás még a csúszásinál is nagyobb. A megállított szánkó ott ezért magától nem indul el újra. A negatív gyorsulásos képlet csak a lefelé haladást írja le.

Innen egyszerű kísérlet adódik. Állíts egy fa építőkockát egy deszkára, és lassan emeld meg a deszka egyik végét. Fa és fa között μ₀ ≈ 0,5, ezért a kocka akkor indul el, amikor a tgα eléri a 0,5-öt, vagyis nagyjából 27° hajlásszögnél.

Ugyanígy van ez a lefékezett kerekű, parkoló autónál is. Száraz aszfalton még egy nagyon meredek utcán is megáll. A tapadási súrlódási együttható viszont jeges úton csak körülbelül 0,1, és a tgα = 0,1 nem egészen 6° hajlásnak felel meg. Ilyen domb szinte minden városban akad, és az autó a jégen lecsúszik, akár könnyű, akár nehéz.

A csúszási súrlódás kisebb, mint a tapadási. Körülbelül 20° hajlásnál ezért a kocka magától áll, de egy meglökés után elindul, és tovább gyorsul, mert tg20° ≈ 0,36 nagyobb, mint a csúszási μ = 0,3.

Dolgozatfeladat lépésről lépésre

Egy 20 kg tömegű almásláda egy fadeszkán fekszik, amely ferdén köti össze a teherautó platóját a talajjal. A deszka 2 m hosszú, és 35° nagyságú szöget zár be a talajjal. A csúszási súrlódási együttható fa fán 0,3, a tapadási 0,5. Elindul-e a láda magától? Mekkora lesz a gyorsulása, és milyen gyorsan ér le a földre?

Felírjuk az adatokat. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ = 0,3, μ₀ = 0,5, g = 9,81 m/s². Keressük az a gyorsulást és a v sebességet. A mértékegységek alapmértékegységek, nem kell átváltanunk semmit.

Lerajzoljuk az erőket. Ugyanazok, mint a szánkónál.

Elindul? tg35° ≈ 0,70 nagyobb, mint μ₀ = 0,5. A tapadási súrlódás nem tartja meg a ládát.

Felbontjuk a nehézségi erőt. A szemléletesség kedvéért számokkal: F_g = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 és cos 35° ≈ 0,8192. A deszka mentén a ládát az F₁ ≈ 112,5 N erő húzza, a deszkába az F₂ ≈ 160,7 N erő nyomja. A továbbiakban azonban betűkkel számolunk, és a számokat csak a végén helyettesítjük be.

Összeadjuk a deszka menti erőket. A deszkára merőlegesen az erők kiegyenlítik egymást, így F_ny = m · g · cos α, a súrlódási erő pedig F_s = μ · m · g · cos α. A deszka mentén lefelé az F₁ húz, felfelé a súrlódás:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

Kifejezzük a gyorsulást. A tömeggel való osztás után:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Sebesség a végén. A láda nyugalomból indul, és egyenletesen gyorsul, tehát v² = 2 · a · s és

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Behelyettesítünk. A gyorsulást a számológépben kerekítetlenül hagyjuk:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Ellenőrzés: a gyorsulás kisebb, mint a súrlódás nélküli g · sin 35° ≈ 5,6 m/s², ahogy lennie kell.

A láda magától elindul, körülbelül 3,22 m/s² gyorsulással gyorsul, és körülbelül 3,6 m/s sebességgel ér le a földre, ez majdnem 13 km/h. Az almák megérdemelnék, hogy valaki lent elkapja a ládát.

A lejtőn tehát elég felbontani a nehézségi erőt, és a továbbiakban úgy számolunk, mint vízszintes talajon: az alátámasztásra merőlegesen egyensúly, vele párhuzamosan a dinamika alaptörvénye. Az összes test eddig azonban egyenesen mozgott.

Hogy mi kell ahhoz, hogy a szánkó vagy az autó bekanyarodjon, azt a következő, Centripetális erő című cikk mutatja meg.

« Előző: Súrlódás

Következő: Centripetális erő »