Plano inclinado

Vítor coloca o trenó numa colina coberta de neve e o solta. O trenó sai em movimento e, no caminho, ganha velocidade. Enquanto isso, só a Terra o puxa para baixo, e a força peso aponta verticalmente para baixo, não obliquamente pela encosta. Por que ele não cai perpendicularmente ao chão, mas desce ao longo da colina? E por que numa encosta suave ele desce mais devagar do que numa íngreme? As duas coisas se explicam por um truque: decompomos a força peso em duas componentes.

A encosta, o escorregador, a rampa e a tábua inclinada se chamam, na física, plano inclinado. O ângulo α que ele forma com o chão horizontal indica o quanto ele é inclinado.

Decomposição da força peso

Substituímos a força peso $\vec{P}$ por duas forças que, juntas, agem do mesmo modo. Uma aponta ao longo da encosta para baixo, a outra perpendicularmente para dentro da encosta. A força peso sai assim como a diagonal de um retângulo construído com as duas componentes, como em toda decomposição de força.

Decomposição da força peso P⃗, que age sobre o trenó, na componente F⃗_1 ao longo da encosta e na componente F⃗_2 perpendicular à encosta

A componente azul tracejada ${\vec{F}}_{1}$ puxa o trenó para baixo pela encosta, enquanto a outra, ${\vec{F}}_{2}$ , o pressiona contra a neve. Por si só ela não move nada, porque a neve não deixa o trenó passar. Da força peso inteira, portanto, só a parte F₁ põe o trenó em movimento, o que responde à primeira pergunta.

Quais são os módulos das componentes? A força peso, a componente ${\vec{F}}_{2}$ e o segmento cinza tracejado da ponta de ${\vec{F}}_{2}$ até a ponta de $\vec{P}$ formam um triângulo retângulo com o ângulo reto na ponta de ${\vec{F}}_{2}$ . A força peso é nele a hipotenusa e o ângulo no centro de massa entre ela e a componente ${\vec{F}}_{2}$ está na figura indicado por α, como a inclinação da encosta. Por que é assim, mostraremos daqui a pouco. Primeiro lembremos o seno e o cosseno: o seno de um ângulo num triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Oposto ao ângulo α está o cateto tracejado, de mesmo comprimento que F₁, o cateto adjacente é F₂, então

$sen α = \frac{F_{1}}{P}, \cos α = \frac{F_{2}}{P} .$

Multiplicamos as duas igualdades pela força peso:

$\begin{aligned} F_{1} & = P \cdot sen α \\ F_{2} & = P \cdot \cos α \end{aligned}$

Falta a justificativa prometida. A força peso é perpendicular ao chão horizontal, a componente ${\vec{F}}_{2}$ é perpendicular à encosta. Imagine que giramos o chão e a encosta um ângulo reto. O chão vira a vertical, a encosta vira a perpendicular à encosta, e o ângulo entre elas, com o giro, não muda. O ângulo entre a força peso e a perpendicular à encosta é, por isso, igual ao ângulo entre o chão e a encosta. Vale, afinal, que dois ângulos agudos com lados perpendiculares entre si são iguais.

Quem não gosta de giros pode calcular. Prolonguemos a força peso verticalmente para baixo até o chão. A vertical, o chão e a encosta formam um triângulo retângulo com o ângulo α embaixo, junto ao chão, então junto à encosta ele tem o ângulo 90° − α. A perpendicular à encosta forma com a encosta um ângulo reto e, por isso, se desvia da vertical em 90° − (90° − α) = α.

Conferimos nos casos extremos que isso está certo. No chão horizontal, α = 0°, senα = 0 e cos α = 1. A componente ao longo da encosta desaparece e toda a força peso comprime o apoio, exatamente como deve ser. Quanto mais íngreme a encosta, maior o seno e mais forte o trenó é puxado para baixo. Essa é a resposta à segunda pergunta.

Experimentemos com o trenó do Vítor, de massa 10 kg, numa encosta com inclinação de 30°. A força peso é

$P = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

Substituímos sen30° = 0,5 e cos 30° ≈ 0,866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Atenção, 49,05 N + 85 N não é 98,1 N. Afinal, somamos as componentes como setas, não como números.

Numa prova costuma acontecer de alguém trocar o seno e o cosseno. Você não precisa lembrar qual vai para onde, basta pensar no chão horizontal. Ali a componente ao longo da encosta precisa desaparecer, e zero em 0° quem dá é o seno, não o cosseno. A componente ao longo da encosta é, portanto, a do seno.

Força normal na encosta

A neve age sobre o trenó com a força normal $\vec{N}$ , e ela é sempre perpendicular ao apoio, aqui, portanto, perpendicular à encosta, para fora. Perpendicularmente à encosta o trenó não se move, não afunda nem sai voando. As forças nessa direção estão, por isso, em equilíbrio e a força normal compensa a componente ${\vec{F}}_{2}$ :

$N = P \cdot \cos α$

Na encosta, a força normal é menor que a força peso. Para o trenó do Vítor é 85 N, não 98,1 N. Aqui se erra com mais frequência nas provas: quem transporta do piso horizontal a relação N = m · g calcula errado, na encosta, também o atrito.

Quanto mais íngreme a encosta, menor o cosseno, mais fraco o trenó pressiona a neve e menor é também o atrito. Numa parede vertical, cos 90° = 0 e a força normal desaparece por completo.

Trenó sem atrito

Comecemos por uma encosta perfeitamente lisa, por exemplo um trenó com lâminas de aço sobre gelo. Desprezamos a resistência do ar. A força normal compensa a componente ${\vec{F}}_{2}$ e sobra uma única força ao longo da encosta, F₁. Pela segunda lei de Newton, ela é igual à massa vezes a aceleração:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot sen α$

Dividimos pela massa:

$a = g \cdot sen α$

A massa se cancelou. O trenó vazio e o trenó com o Vítor acelerariam do mesmo jeito na encosta lisa, assim como um corpo leve e um pesado caem com a mesma aceleração. O trenó de maior massa é puxado para baixo por uma força maior, é verdade, só que, na mesma medida, arranca com mais dificuldade.

Para uma encosta de inclinação 30°:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Exatamente a metade da aceleração da gravidade. Os casos extremos também conferem: no chão horizontal, senα = 0 e o trenó não arranca sozinho, numa parede vertical, sen90° = 1 e a = g, ou seja, queda livre.

Trenó com atrito

Na neve de verdade, porém, o trenó é freado pelo atrito. A força de atrito $\vec{F_{at}}$ aponta ao longo da encosta para cima, contra o movimento, e é proporcional à força normal. Na encosta, porém, não entra na fórmula a força peso inteira, só a parte dela P · cos α, isto é, a força normal:

$F_{at} = μ \cdot N = μ \cdot P \cdot \cos α$

Para lâminas em neve compactada tomamos μ = 0,1. Lâminas de aço ou de plástico deslizam na neve bem melhor do que, por exemplo, borracha. O trenó do Vítor é freado pela força

$F_{at} = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

Todas as forças que agem sobre o trenó na encosta: força peso P⃗ com as componentes, força normal N⃗ e força de atrito F⃗_at, desenhadas para um atrito maior do que o do trenó na neve

A resultante ao longo da encosta é a componente F₁ diminuída do atrito, cerca de 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, e a aceleração é

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

Em geral: a segunda lei ao longo da encosta diz

$m \cdot a = m \cdot g \cdot sen α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

e, quando dividimos a equação pela massa, obtemos a fórmula da aceleração na encosta com atrito:

$a = g \cdot (sen α - μ \cdot \cos α)$

Também aqui a massa se cancelou. Depois de substituir 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) sai de novo 4,06 m/s².

Numa encosta mais suave, com inclinação de 10°, sen10° ≈ 0,174 e cos 10° ≈ 0,985, então

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

A inclinação é três vezes menor, mas a aceleração mais de cinco vezes. O atrito aqui tira a maior parte da componente ao longo da encosta. E numa encosta com inclinação de 5° o parêntese sairia negativo: o trenó em movimento desaceleraria até parar. Por que então ele fica parado, explica a próxima seção.

Quando o corpo fica parado

Vítor e o irmãozinho puxam o trenó de volta para cima e, num trecho mais suave do caminho, descansam um pouco. O trenó fica ali e não desce. Quem o segura é o atrito estático, que é sempre exatamente tão grande quanto é preciso para compensar a força que puxa o trenó para baixo, aqui a componente F₁. No máximo ele pode ser μ_e · N, onde μ_e é o coeficiente de atrito estático. O trenó, portanto, fica parado enquanto

$P \cdot sen α \leq μ_{e} \cdot P \cdot \cos α .$

A razão entre o seno e o cosseno se chama tangente, $tg α = \frac{sen α}{\cos α}$ . Num triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o adjacente. A força peso se cancela e, depois de dividir pelo cosseno, sobra

$tg α \leq μ_{e} .$

Se o corpo na encosta desliza ou não, não é a massa que decide, mas só a inclinação e a superfície. A calculadora devolve o ângulo a partir de uma tangente conhecida com a tecla tan⁻¹.

Numa encosta de inclinação 5°, tg5° ≈ 0,087, menos que 0,1, e o atrito estático é ainda maior que o cinético. O trenó parado ali, por isso, não volta a sair sozinho. A fórmula com aceleração negativa descreve só a descida.

Daqui sai um experimento simples. Ponha um cubinho de madeira de brinquedo sobre uma tábua e levante lentamente uma ponta dela. Para madeira sobre madeira, μ_e ≈ 0,5, então o cubinho se põe em movimento quando tgα atinge 0,5, ou seja, mais ou menos a 27°.

O mesmo vale para um carro estacionado com as rodas travadas. Em asfalto seco, mesmo uma rua bem íngreme o segura. No gelo, porém, o coeficiente de atrito estático é de só cerca de 0,1 e tgα = 0,1 corresponde a uma inclinação de menos de 6°. Você encontra uma ladeira assim em quase toda cidade e o carro desliza pelo gelo, seja leve ou pesado.

O atrito cinético é menor que o estático. Com inclinação em torno de 20°, por isso, o cubinho fica parado sozinho, mas, depois de um toque, sai e continua acelerando, porque tg20° ≈ 0,36 é mais que o cinético μ = 0,3.

Exemplo de prova passo a passo

Uma caixa de maçãs de massa 20 kg está sobre uma tábua de madeira que liga obliquamente a carroceria de uma caminhonete ao chão. A tábua tem 2 m de comprimento e forma com o chão um ângulo de 35°. O coeficiente de atrito cinético da madeira sobre madeira é 0,3, o estático 0,5. A caixa sai sozinha? Qual será a aceleração dela e com que velocidade chega ao chão?

Anotamos os dados. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ = 0,3, μ_e = 0,5, g = 9,81 m/s². Procuramos a e v. As unidades são as fundamentais, não precisamos converter nada.

Desenhamos as forças. São as mesmas do trenó.

Ela sai? tg35° ≈ 0,70 é mais que μ_e = 0,5. O atrito estático não segura a caixa.

Decompomos a força peso. Para ter ideia em números: P = m · g = 196,2 N, sen35° ≈ 0,5736 e cos 35° ≈ 0,8192. Ao longo da tábua a caixa é puxada por F₁ ≈ 112,5 N, contra a tábua é pressionada por F₂ ≈ 160,7 N. Mais adiante, porém, calculamos com letras e só substituímos os números no fim.

Somamos as forças ao longo da tábua. Perpendicularmente à tábua as forças se equilibram, então N = m · g · cos α e a força de atrito é F_at = μ · m · g · cos α. Ao longo da tábua puxa para baixo F₁ e para cima o atrito:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot sen α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

Isolamos a aceleração. Depois de dividir pela massa:

$a = g \cdot (sen α - μ \cdot \cos α)$

Velocidade no fim. A caixa parte do repouso e acelera uniformemente, então v² = 2 · a · s e

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Substituímos. Deixamos a aceleração na calculadora sem arredondar:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (sen 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Conferência: a aceleração é menor que g · sen35° ≈ 5,6 m/s² sem atrito, como deve ser.

A caixa sai sozinha, acelera cerca de 3,22 m/s² e chega ao chão com velocidade de cerca de 3,6 m/s, quase 13 km/h. As maçãs mereciam que alguém as segurasse lá embaixo.

No plano inclinado, portanto, basta decompor a força peso e depois se calcula como no chão horizontal: perpendicularmente ao apoio o equilíbrio, ao longo dele a segunda lei. Todos os corpos, porém, até agora andaram em linha reta.

O próximo artigo, Força centrípeta, mostra o que é preciso para o trenó ou o carro fazerem uma curva.

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