Schiefe Ebene

Ben stellt seinen Schlitten auf einen verschneiten Hügel und lässt ihn los. Der Schlitten setzt sich in Bewegung und wird unterwegs immer schneller. Nach unten zieht ihn dabei nur die Erde, und die Gewichtskraft zeigt senkrecht nach unten, nicht schräg den Hang entlang. Warum fällt der Schlitten nicht senkrecht zum Boden, sondern fährt am Hügel entlang? Und warum rutscht er auf einem sanften Hang langsamer als auf einem steilen? Beides erklärt ein einziger Trick: Wir zerlegen die Gewichtskraft in zwei Komponenten.

Ein Hang, eine Rutsche, eine Rampe und ein schräges Brett heißen in der Physik schiefe Ebene. Wie stark sie geneigt ist, gibt der Winkel α an, den sie mit dem waagerechten Boden einschließt.

Zerlegung der Gewichtskraft

Die Gewichtskraft $\overrightarrow{F_G}$ ersetzen wir durch zwei Kräfte, die zusammen dieselbe Wirkung haben. Eine zeigt den Hang entlang nach unten, die andere senkrecht in den Hang hinein. Die Gewichtskraft ist dann die Diagonale eines Rechtecks, das aus beiden Komponenten gebildet wird, wie bei jeder Kräftezerlegung.

Die blaue gestrichelte Komponente ${\overrightarrow{F}}_1$, die Hangabtriebskraft, zieht den Schlitten den Hang hinunter, während die andere, ${\overrightarrow{F}}_2$, ihn in den Schnee drückt. Für sich allein bewegt sie nichts, weil der Schnee den Schlitten nicht durchlässt. Von der ganzen Gewichtskraft bringt also nur ein Teil, F₁, den Schlitten in Bewegung, und das beantwortet die erste Frage.

Wie groß sind die Komponenten? Die Gewichtskraft, die Komponente ${\overrightarrow{F}}_2$ und die graue gestrichelte Strecke von der Spitze von ${\overrightarrow{F}}_2$ zur Spitze von $\overrightarrow{F_G}$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an der Spitze von ${\overrightarrow{F}}_2$. Die Gewichtskraft ist darin die Hypotenuse, und der Winkel am Schwerpunkt zwischen ihr und der Komponente ${\overrightarrow{F}}_2$ ist in der Abbildung mit α bezeichnet, genauso wie die Neigung des Hangs. Warum das so ist, zeigen wir gleich. Erinnern wir uns zuerst an Sinus und Kosinus: Der Sinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, der Kosinus das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. Dem Winkel α gegenüber liegt die gestrichelte Kathete, die genauso lang ist wie F₁, die Ankathete ist F₂, also gilt

$$\sin \alpha =\frac{F_1}{F_G},\cos \alpha =\frac{F_2}{F_G}.$$

Wir multiplizieren beide Gleichungen mit der Gewichtskraft:

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =F_G\cdot \sin \alpha \\ F_2& =F_G\cdot \cos \alpha \end{array}$$

Es bleibt die versprochene Begründung. Die Gewichtskraft steht senkrecht auf dem waagerechten Boden, die Komponente ${\overrightarrow{F}}_2$ steht senkrecht auf dem Hang. Stell dir vor, wir drehen Boden und Hang um einen rechten Winkel. Aus dem Boden wird eine Senkrechte, aus dem Hang die Senkrechte zum Hang, und der Winkel zwischen ihnen ändert sich durch das Drehen nicht. Der Winkel zwischen der Gewichtskraft und der Senkrechten zum Hang ist deshalb genauso groß wie der Winkel zwischen Boden und Hang. Es gilt nämlich: Zwei spitze Winkel, deren Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen, sind gleich groß.

Wer vom Drehen nichts hält, kann rechnen. Verlängern wir die Gewichtskraft senkrecht nach unten bis zum Boden. Die Senkrechte, der Boden und der Hang bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel α unten am Boden, am Hang hat es also den Winkel 90° − α. Die Senkrechte zum Hang bildet mit dem Hang einen rechten Winkel und weicht deshalb von der Senkrechten um 90° − (90° − α) = α ab.

Dass das stimmt, prüfen wir an Grenzfällen. Auf waagerechtem Boden ist α = 0°, sin α = 0 und cos α = 1. Die Komponente längs des Hangs verschwindet, und die ganze Gewichtskraft drückt auf die Unterlage, genau wie es sein muss. Je steiler der Hang, desto größer der Sinus und desto stärker wird der Schlitten nach unten gezogen. Das ist die Antwort auf die zweite Frage.

Probieren wir es mit Bens Schlitten, der eine Masse von 10 kg hat, an einem Hang mit der Neigung 30°. Die Gewichtskraft ist

$$F_G=m\cdot g=10\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=98,1\mathrm{N}.$$

Wir setzen sin 30° = 0,5 und cos 30° ≈ 0,866 ein:

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =98,1\mathrm{N}\cdot 0,5=49,05\mathrm{N}\\ F_2& =98,1\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}\approx 85\mathrm{N}\end{array}$$

Achtung, 49,05 N + 85 N ist nicht 98,1 N. Die Komponenten addieren wir nämlich wie Pfeile, nicht wie Zahlen.

In Klassenarbeiten werden Sinus und Kosinus oft vertauscht. Du musst dir nicht merken, welcher wohin gehört, es genügt, an den waagerechten Boden zu denken. Dort muss die Komponente längs des Hangs verschwinden, und die Null bei 0° liefert der Sinus, nicht der Kosinus. Die Komponente längs des Hangs ist also die mit dem Sinus.

Normalkraft am Hang

Der Schnee wirkt auf den Schlitten mit der Normalkraft $\overrightarrow{F_N}$, und die steht immer senkrecht auf der Unterlage, hier also senkrecht zum Hang nach außen. Senkrecht zum Hang bewegt sich der Schlitten nicht, er sinkt weder ein noch hebt er ab. Die Kräfte in dieser Richtung sind deshalb im Gleichgewicht, und die Normalkraft gleicht die Komponente ${\overrightarrow{F}}_2$ aus:

$$F_N=F_G\cdot \cos \alpha$$

Am Hang ist die Normalkraft kleiner als die Gewichtskraft. Für Bens Schlitten sind es 85 N, nicht 98,1 N. Hier wird in Klassenarbeiten am häufigsten falsch gerechnet: Wer vom waagerechten Boden F_N = m · g übernimmt, erhält am Hang auch die Reibung falsch.

Je steiler der Hang, desto kleiner der Kosinus, desto schwächer drückt der Schlitten in den Schnee und desto kleiner ist auch die Reibung. An einer senkrechten Wand ist cos 90° = 0, und die Normalkraft verschwindet ganz.

Schlitten ohne Reibung

Beginnen wir mit einem vollkommen glatten Hang, etwa einem Schlitten mit Stahlkufen auf Eis. Den Luftwiderstand vernachlässigen wir. Die Normalkraft hebt die Komponente ${\overrightarrow{F}}_2$ auf, und längs des Hangs bleibt als einzige Kraft F₁ übrig. Nach der Grundgleichung der Mechanik ist sie gleich Masse mal Beschleunigung:

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha$$

Wir teilen durch die Masse:

$$a=g\cdot \sin \alpha$$

Die Masse hat sich herausgekürzt. Ein leerer Schlitten und ein Schlitten mit Ben würden auf dem glatten Hang gleich stark beschleunigen, ähnlich wie ein leichter und ein schwerer Körper mit derselben Beschleunigung fallen. Einen Schlitten mit größerer Masse zieht zwar eine größere Kraft hinunter, aber im gleichen Maß lässt er sich schwerer in Bewegung setzen.

Für einen Hang mit der Neigung 30° ergibt sich:

$$a=9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 0,5\approx 4,9{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Genau die Hälfte der Fallbeschleunigung. Auch die Grenzfälle passen: Auf waagerechtem Boden ist sin α = 0, und der Schlitten setzt sich von selbst nicht in Bewegung, an einer senkrechten Wand ist sin 90° = 1 und a = g, also freier Fall.

Schlitten mit Reibung

Auf echtem Schnee bremst den Schlitten aber die Reibung. Die Reibungskraft $\overrightarrow{F_R}$ zeigt den Hang entlang nach oben, gegen die Bewegung, und ist der Normalkraft proportional. Am Hang gehört aber nicht die ganze Gewichtskraft in die Formel, sondern nur ihr Anteil F_G · cos α, also die Normalkraft:

$$F_R=\mu \cdot F_N=\mu \cdot F_G\cdot \cos \alpha$$

Für Kufen auf festgefahrenem Schnee nehmen wir μ = 0,1. Stahl- oder Kunststoffkufen gleiten auf Schnee viel besser als zum Beispiel Gummi. Bens Schlitten bremst die Kraft

$$F_R=0,1\cdot 85\mathrm{N}\approx 8,5\mathrm{N}.$$

Die Resultierende längs des Hangs ist die Komponente F₁, vermindert um die Reibung, etwa 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, und die Beschleunigung beträgt

$$a=\frac{40,6\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}\approx 4,06{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Allgemein lautet die Grundgleichung der Mechanik längs des Hangs

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha -\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha ,$$

und wenn wir die Gleichung durch die Masse teilen, erhalten wir die Formel für die Beschleunigung am Hang mit Reibung:

$$a=g\cdot (\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha )$$

Auch hier hat sich die Masse herausgekürzt. Setzt man 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) ein, kommt wieder 4,06 m/s² heraus.

An einem sanfteren Hang mit der Neigung 10° ist sin 10° ≈ 0,174 und cos 10° ≈ 0,985, also

$$\begin{array}{rl}a& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (\mathrm{0,174}-0,1\cdot \mathrm{0,985})\\ & \approx 0,74{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

Die Neigung ist dreimal kleiner, die Beschleunigung aber mehr als fünfmal. Die Reibung nimmt hier den größten Teil der Komponente längs des Hangs weg. Und an einem Hang mit der Neigung 5° käme in der Klammer ein negativer Wert heraus: Der fahrende Schlitten würde langsamer werden, bis er stehen bleibt. Warum er dann liegen bleibt, erklärt der nächste Abschnitt.

Wann ein Körper liegen bleibt

Ben und sein Bruder ziehen den Schlitten wieder nach oben und ruhen sich auf einem flacheren Stück des Weges kurz aus. Der Schlitten steht dort und rutscht nicht ab. Ihn hält die Haftreibung, die immer genau so groß ist, dass sie die Kraft ausgleicht, die den Schlitten hinunterzieht, hier also die Komponente F₁. Höchstens kann sie μ_H · F_N sein, wobei μ_H die Haftreibungszahl ist. Der Schlitten bleibt also liegen, solange

$$F_G\cdot \sin \alpha \le {\mu }_H\cdot F_G\cdot \cos \alpha .$$

Den Quotienten aus Sinus und Kosinus nennt man Tangens, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. Im rechtwinkligen Dreieck ist das das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Die Gewichtskraft kürzt sich heraus, und nach dem Teilen durch den Kosinus bleibt

$$\tan \alpha \le {\mu }_H.$$

Ob ein Körper am Hang hinunterrutscht, entscheidet nicht die Masse, sondern nur die Neigung und die Beschaffenheit der Oberfläche. Den Winkel zu einem bekannten Tangens liefert dir auf dem Taschenrechner die Taste tan⁻¹.

An einem Hang mit der Neigung 5° ist tan 5° ≈ 0,087, weniger als 0,1, und die Haftreibung ist noch größer als die Gleitreibung. Der angehaltene Schlitten setzt sich dort deshalb nicht von selbst wieder in Bewegung. Die Formel mit der negativen Beschleunigung beschreibt nur die Fahrt abwärts.

Daraus ergibt sich ein einfacher Versuch. Stelle einen Holzklotz aus dem Baukasten auf ein Brett und hebe das eine Ende langsam an. Für Holz auf Holz ist μ_H ≈ 0,5, der Klotz setzt sich also in Bewegung, wenn tan α den Wert 0,5 erreicht, das heißt ungefähr bei 27°.

Genauso ist es bei einem geparkten Auto mit angezogener Handbremse. Auf trockenem Asphalt hält es auch eine ziemlich steile Straße. Die Haftreibungszahl liegt auf Glatteis aber nur bei etwa 0,1, und tan α = 0,1 entspricht einer Neigung von knapp 6°. So einen Hügel findest du in fast jeder Stadt, und das Auto rutscht auf dem Eis hinunter, egal ob es leicht oder schwer ist.

Die Gleitreibung ist kleiner als die Haftreibung. Bei einer Neigung von etwa 20° bleibt der Klotz deshalb von selbst liegen, rutscht aber nach einem Anstoß los und wird weiter schneller, weil tan 20° ≈ 0,36 mehr ist als die Gleitreibungszahl μ = 0,3.

Beispiel aus einer Klassenarbeit Schritt für Schritt

Eine Kiste Äpfel mit einer Masse von 20 kg liegt auf einem Holzbrett, das die Ladefläche eines Autos schräg mit dem Boden verbindet. Das Brett ist 2 m lang und schließt mit dem Boden einen Winkel von 35° ein. Die Gleitreibungszahl von Holz auf Holz beträgt 0,3, die Haftreibungszahl 0,5. Setzt sich die Kiste von selbst in Bewegung? Welche Beschleunigung hat sie, und wie schnell ist sie, wenn sie unten ankommt?

Wir schreiben die Angaben auf. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ = 0,3, μ_H = 0,5, g = 9,81 m/s². Gesucht sind a und v. Die Einheiten sind Basiseinheiten, wir müssen nichts umrechnen.

Wir zeichnen die Kräfte. Es sind dieselben wie beim Schlitten.

Rutscht sie los? tan 35° ≈ 0,70 ist mehr als μ_H = 0,5. Die Haftreibung hält die Kiste nicht.

Wir zerlegen die Gewichtskraft. Zur Veranschaulichung in Zahlen: F_G = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 und cos 35° ≈ 0,8192. Längs des Bretts zieht an der Kiste F₁ ≈ 112,5 N, in das Brett drückt sie F₂ ≈ 160,7 N. Weiter rechnen wir aber mit Buchstaben und setzen die Zahlen erst am Ende ein.

Wir addieren die Kräfte längs des Bretts. Senkrecht zum Brett heben sich die Kräfte auf, also ist F_N = m · g · cos α und die Reibungskraft F_R = μ · m · g · cos α. Längs des Bretts zieht F₁ nach unten und die Reibung nach oben:

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha -\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha$$

Wir lösen nach der Beschleunigung auf. Nach dem Teilen durch die Masse:

$$a=g\cdot (\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha )$$

Geschwindigkeit am Ende. Die Kiste startet aus der Ruhe und wird gleichmäßig beschleunigt, also gilt v² = 2 · a · s und

$$v=\sqrt{2\cdot a\cdot s}.$$

Wir setzen ein. Die Beschleunigung lassen wir im Taschenrechner ungerundet:

$$\begin{array}{rl}a& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (\sin 35°-0,3\cdot \cos 35°)\\ & \approx 3,22{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& \approx \sqrt{2\cdot \mathrm{3,216}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2\mathrm{m}}\\ & \approx 3,6\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Kontrolle: Die Beschleunigung ist kleiner als g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² ohne Reibung, wie es sein soll.

Die Kiste setzt sich von selbst in Bewegung, wird mit etwa 3,22 m/s² beschleunigt und kommt mit einer Geschwindigkeit von etwa 3,6 m/s unten an, fast 13 km/h. Die Äpfel hätten es verdient, dass sie unten jemand auffängt.

Auf der schiefen Ebene genügt es also, die Gewichtskraft zu zerlegen, und dann rechnet man wie auf waagerechtem Boden: senkrecht zur Unterlage Gleichgewicht, längs davon die Grundgleichung der Mechanik. Alle Körper sind bisher aber geradeaus gefahren.

Was nötig ist, damit ein Schlitten oder ein Auto eine Kurve fährt, zeigt der nächste Artikel, Zentripetalkraft.