Kalteva taso

Väinö asettaa kelkan lumiselle mäelle ja päästää irti. Kelkka lähtee liikkeelle ja kiihtyy matkalla. Alas sitä vetää vain Maa, ja paino osoittaa pystysuoraan alas, ei vinosti rinnettä pitkin. Miksi kelkka ei putoa kohtisuoraan maahan vaan kulkee mäkeä pitkin? Ja miksi loivasta rinteestä päästään alas hitaammin kuin jyrkästä? Molemmat selittyvät yhdellä kikalla: paino jaetaan kahteen komponenttiin.

Rinnettä, liukumäkeä, ramppia ja vinoa lautaa kutsutaan fysiikassa kaltevaksi tasoksi. Kuinka jyrkkä se on, kertoo kulma α, jonka se muodostaa vaakasuoran maan kanssa.

Painon jakaminen komponentteihin

Korvataan paino $\bar{G}$ kahdella voimalla, jotka yhdessä vaikuttavat samoin. Toinen osoittaa rinnettä pitkin alas, toinen kohtisuoraan rinnettä vasten. Paino on silloin näiden kahden komponentin muodostaman suorakulmion lävistäjä, kuten kaikessa voiman jakamisessa.

Kelkkaan vaikuttavan painon Ḡ jako rinteen suuntaiseen komponenttiin F̄_1 ja rinnettä vastaan kohtisuoraan komponenttiin F̄_2

Sininen katkoviivalla piirretty komponentti ${\bar{F}}_{1}$ vetää kelkkaa alas rinnettä pitkin, kun taas toinen, ${\bar{F}}_{2}$ , painaa sitä lumeen. Se ei yksinään siirrä mihinkään, koska lumi ei päästä kelkkaa lävitseen. Koko painosta kelkkaa liikkeelle panee siis vain osa F₁, mikä vastaa ensimmäiseen kysymykseen.

Kuinka suuret komponentit ovat? Paino, komponentti ${\bar{F}}_{2}$ ja harmaa katkoviivasuora komponentin ${\bar{F}}_{2}$ kärjestä painon $\bar{G}$ kärkeen muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka suora kulma on komponentin ${\bar{F}}_{2}$ kärjessä. Paino on siinä hypotenuusa, ja sen ja komponentin ${\bar{F}}_{2}$ välinen kulma painopisteessä on kuvassa merkitty α:ksi, samoin kuin rinteen kaltevuus. Miksi näin on, näytetään hetken päästä. Kerrataan ensin sini ja kosini: suorakulmaisen kolmion kulman sini on vastakkaisen kateetin ja hypotenuusan suhde, kosini viereisen kateetin ja hypotenuusan suhde. Kulman α vastakkaisella puolella on katkoviivakateetti, joka on yhtä pitkä kuin F₁, viereinen kateetti on F₂, joten

$\sin α = \frac{F_{1}}{G}, \cos α = \frac{F_{2}}{G} .$

Kerrotaan molemmat yhtälöt painolla:

$\begin{aligned} F_{1} & = G \cdot \sin α \\ F_{2} & = G \cdot \cos α \end{aligned}$

Jäljellä on luvattu perustelu. Paino on kohtisuorassa vaakasuoraa maata vastaan, komponentti ${\bar{F}}_{2}$ on kohtisuorassa rinnettä vastaan. Kuvittele, että sekä maata että rinnettä käännetään suorakulman verran. Maasta tulee pystysuora, rinteestä rinteen normaali, ja niiden välinen kulma ei kääntämisessä muutu. Painon ja rinteen normaalin välinen kulma on siksi yhtä suuri kuin maan ja rinteen välinen kulma. Kahden terävän kulman, joiden kyljet ovat toisiaan vastaan kohtisuorat, on nimittäin oltava yhtä suuret.

Jos kääntäminen ei miellytä, voi laskea. Jatketaan painoa pystysuoraan alas maahan asti. Pystysuora, maa ja rinne muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka kulma maan kohdalla on α, joten rinteen kohdalla kulma on 90° − α. Rinteen normaali muodostaa rinteen kanssa suoran kulman, ja pystysuorasta se poikkeaa siksi 90° − (90° − α) = α.

Tarkistetaan, että tämä on oikein, ääritapauksissa. Vaakasuoralla maalla α = 0°, sin α = 0 ja cos α = 1. Rinteen suuntainen komponentti häviää ja koko paino painaa alustaa, juuri niin kuin pitääkin. Mitä jyrkempi rinne, sitä suurempi sini ja sitä voimakkaammin kelkkaa vetää alas. Se on vastaus toiseen kysymykseen.

Kokeillaan Väinön kelkalla, jonka massa on 10 kg, rinteessä, jonka kaltevuus on 30°. Paino on

$G = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

Sijoitetaan sin 30° = 0,5 ja cos 30° ≈ 0,866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Huomaa, että 49,05 N + 85 N ei ole 98,1 N. Komponentit nimittäin lasketaan yhteen nuolina, ei lukuina.

Kokeessa käy usein niin, että sini ja kosini vaihtuvat keskenään. Sinun ei tarvitse muistaa, kumpi on kumpi, riittää kun ajattelet vaakasuoraa maata. Siellä rinteen suuntaisen komponentin täytyy hävitä, ja nollan saa kulmalla 0° sini, ei kosini. Rinteen suuntaisessa komponentissa on siis sini.

Tukivoima rinteessä

Lumi vaikuttaa kelkkaan tukivoimalla $\bar{N}$ , ja se on aina kohtisuorassa alustaa vastaan, tässä siis kohtisuoraan rinteestä ulospäin. Rinnettä vastaan kohtisuorassa suunnassa kelkka ei liiku, se ei uppoa eikä lennä pois. Tämän suunnan voimat ovat siksi tasapainossa ja tukivoima kumoaa komponentin ${\bar{F}}_{2}$ :

$N = G \cdot \cos α$

Rinteessä tukivoima on pienempi kuin paino. Väinön kelkalle se on 85 N, ei 98,1 N. Tässä tehdään kokeissa useimmin virhe: joka ottaa vaakasuoralta lattialta kaavan N = m · g, saa rinteessä väärin myös kitkan.

Mitä jyrkempi rinne, sitä pienempi kosini, sitä heikommin kelkka painaa lunta ja sitä pienempi on myös kitka. Pystysuoralla seinällä cos 90° = 0 ja tukivoima häviää kokonaan.

Kelkka ilman kitkaa

Aloitetaan täysin liukkaasta rinteestä, vaikkapa teräsjalaksisella kelkalla jäällä. Ilmanvastus jätetään huomiotta. Tukivoima kumoaa komponentin ${\bar{F}}_{2}$ ja jäljelle jää vain yksi rinteen suuntainen voima, F₁. Dynamiikan peruslain mukaan se on massa kertaa kiihtyvyys:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

Jaetaan massalla:

$a = g \cdot \sin α$

Massa supistui pois. Tyhjä kelkka ja Väinön kanssa kulkeva kelkka kiihtyisivät liukkaassa rinteessä yhtä paljon, samoin kuin kevyt ja raskas kappale putoavat samalla kiihtyvyydellä. Kelkkaa, jonka massa on suurempi, vetää alas kyllä suurempi voima, mutta se lähtee samassa suhteessa huonommin liikkeelle.

Rinteelle, jonka kaltevuus on 30°:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Täsmälleen puolet putoamiskiihtyvyydestä. Myös ääritapaukset täsmäävät: vaakasuoralla maalla sin α = 0 eikä kelkka lähde itsestään liikkeelle, pystysuoralla seinällä sin 90° = 1 ja a = g, eli vapaa pudotus.

Kelkka kitkan kanssa

Todellisella lumella kelkkaa kuitenkin jarruttaa kitka. Kitkavoima $\bar{F_{μ}}$ osoittaa rinnettä pitkin ylös, liikettä vastaan, ja on verrannollinen tukivoimaan. Rinteessä kaavaan ei kuitenkaan kuulu koko paino vaan vain sen osa G · cos α, eli tukivoima:

$F_{μ} = μ \cdot N = μ \cdot G \cdot \cos α$

Tallatulla lumella olevien jalasten kitkakertoimeksi otetaan μ = 0,1. Teräs- tai muovijalakset liukuvat lumella paljon paremmin kuin vaikkapa kumi. Väinön kelkkaa jarruttaa voima

$F_{μ} = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

Kaikki rinteessä olevaan kelkkaan vaikuttavat voimat: paino Ḡ komponentteineen, tukivoima N̄ ja kitkavoima F̄_μ, piirretty suuremmalle kitkalle kuin kelkalla on lumella

Resultantti rinteen suunnassa on komponentti F₁ kitkan verran pienennettynä, noin 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, ja kiihtyvyys on

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

Yleisesti: dynamiikan peruslaki rinteen suunnassa on

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

ja kun yhtälö jaetaan massalla, saadaan kiihtyvyyden kaava rinteessä kitkan kanssa:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Tässäkin massa supistui pois. Sijoittamalla 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) saadaan taas 4,06 m/s².

Loivemmassa rinteessä, jonka kaltevuus on 10°, on sin 10° ≈ 0,174 ja cos 10° ≈ 0,985, joten

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

Kaltevuus on kolme kertaa pienempi, mutta kiihtyvyys yli viisi kertaa pienempi. Kitka vie tässä suurimman osan rinteen suuntaisesta komponentista. Ja rinteessä, jonka kaltevuus on 5°, sulkulauseke olisi negatiivinen: liikkeelle lähtenyt kelkka hidastuisi, kunnes pysähtyisi. Miksi se sitten jää paikalleen, selviää seuraavassa kohdassa.

Milloin kappale pysyy paikallaan

Väinö ja pikkuveli vetävät kelkan takaisin ylös ja lepäävät hetken loivemmalla osuudella. Kelkka seisoo siellä eikä liu'u alas. Sitä pitää paikallaan lepokitka, joka on aina juuri niin suuri, että se kumoaa kelkkaa alas vetävän voiman, tässä komponentin F₁. Enintään se voi olla μ₀ · N, missä μ₀ on lepokitkakerroin. Kelkka pysyy siis paikallaan niin kauan kuin

$G \cdot \sin α \leq μ_{0} \cdot G \cdot \cos α .$

Sinin ja kosinin osamäärää sanotaan tangentiksi, $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ . Suorakulmaisessa kolmiossa se on vastakkaisen ja viereisen kateetin suhde. Paino supistuu pois, ja kosinilla jaettuna jäljelle jää

$\tan α \leq μ_{0} .$

Siihen, liukuuko kappale rinteessä alas, ei vaikuta massa vaan ainoastaan kaltevuus ja pinta. Kulman saa tunnetusta tangentista takaisin laskimen tan⁻¹-näppäimellä.

Rinteessä, jonka kaltevuus on 5°, on tan 5° ≈ 0,087, vähemmän kuin 0,1, ja lepokitka on vielä liikekitkaakin suurempi. Pysähtynyt kelkka ei siksi lähde siellä uudelleen liikkeelle itsestään. Kaava negatiivisella kiihtyvyydellä kuvaa vain alas liukumista.

Tästä seuraa yksinkertainen koe. Aseta puinen rakennuspalikka laudalle ja nosta laudan toista päätä hitaasti. Puulle puulla on μ₀ ≈ 0,5, joten palikka lähtee liikkeelle, kun tan α saavuttaa arvon 0,5, eli suunnilleen kulmalla 27°.

Samoin on pysäköidyn, jarrutetuilla pyörillä olevan auton kanssa. Kuivalla asfaltilla sen pitää paikallaan jopa hyvin jyrkkä katu. Lepokitkakerroin on kuitenkin jäällä vain noin 0,1, ja tan α = 0,1 vastaa vajaan 6°:n kaltevuutta. Sellaisen mäen löytää melkein jokaisesta kaupungista, ja auto liukuu jäällä alas, olipa se kevyt tai painava.

Liikekitka on lepokitkaa pienempi. Kaltevuudella noin 20° palikka siksi pysyy itsestään paikallaan, mutta napautuksesta se lähtee liikkeelle ja kiihtyy edelleen, koska tan 20° ≈ 0,36 on enemmän kuin liikekitkakerroin μ = 0,3.

Koetehtävä vaihe vaiheelta

Omenalaatikko, jonka massa on 20 kg, on puisella laudalla, joka yhdistää vinosti auton lavan ja maan. Lauta on 2 m pitkä ja muodostaa maan kanssa kulman 35°. Puun liikekitkakerroin puulla on 0,3 ja lepokitkakerroin 0,5. Lähteekö laatikko itsestään liikkeelle? Mikä on sen kiihtyvyys ja kuinka nopeasti se saapuu maahan?

Kirjoitetaan tehtävänanto. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ = 0,3, μ₀ = 0,5, g = 9,81 m/s². Haetaan a ja v. Yksiköt ovat perusyksiköt, mitään ei tarvitse muuttaa.

Piirretään voimat. Ne ovat samat kuin kelkalla.

Lähteekö liikkeelle? tan 35° ≈ 0,70 on enemmän kuin μ₀ = 0,5. Lepokitka ei pidä laatikkoa paikallaan.

Jaetaan paino komponentteihin. Luvuilla havainnollistettuna: G = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 ja cos 35° ≈ 0,8192. Lautaa pitkin laatikkoa vetää F₁ ≈ 112,5 N ja lautaa vasten sitä painaa F₂ ≈ 160,7 N. Jatkossa lasketaan kuitenkin kirjaimilla ja luvut sijoitetaan vasta lopuksi.

Lasketaan voimat laudan suunnassa yhteen. Laudan suhteen kohtisuorassa suunnassa voimat ovat tasapainossa, joten N = m · g · cos α ja kitkavoima on F_μ = μ · m · g · cos α. Laudan suunnassa alas vetää F₁ ja ylös kitka:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

Ratkaistaan kiihtyvyys. Massalla jaettuna:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot \cos α)$

Nopeus lopussa. Laatikko lähtee levosta ja kiihtyy tasaisesti, joten v² = 2 · a · s ja

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Sijoitetaan. Kiihtyvyys jätetään laskimeen pyöristämättä:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Tarkistus: kiihtyvyys on pienempi kuin g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² ilman kitkaa, kuten pitääkin.

Laatikko lähtee itsestään liikkeelle, kiihtyy noin 3,22 m/s² ja saapuu maahan nopeudella noin 3,6 m/s, melkein 13 km/h. Omenat tarvitsisivat jonkun ottamaan laatikon kiinni alhaalla.

Kaltevalla tasolla riittää siis jakaa paino komponentteihin ja sen jälkeen lasketaan kuten vaakasuoralla maalla: alustaa vastaan kohtisuorassa tasapaino, sen suunnassa dynamiikan peruslaki. Kaikki kappaleet ovat kuitenkin tähän asti kulkeneet suoraa linjaa.

Mitä tarvitaan, jotta kelkka tai auto kääntyisi, selviää seuraavassa artikkelissa, Keskeisvoima.

« Edellinen: Kitka

Seuraava: Keskeisvoima »