Piano inclinato

Lorenzo mette la slitta in cima a una collina innevata e la lascia andare. La slitta parte e strada facendo prende velocità. A tirarla verso il basso è solo la Terra e la forza peso è diretta verticalmente verso il basso, non obliquamente lungo il pendio. Perché la slitta non cade perpendicolarmente al suolo, ma scivola lungo la collina? E perché da un pendio dolce scende più lentamente che da uno ripido? Entrambe le cose le spiega un solo trucco: scomponiamo la forza peso in due componenti.

Un pendio, uno scivolo, una rampa e un’asse inclinata in fisica si chiamano piano inclinato. Quanto è inclinato lo indica l’angolo α che forma con il suolo orizzontale.

Scomposizione della forza peso

Sostituiamo la forza peso $\vec{F_{P}}$ con due forze che insieme hanno lo stesso effetto. Una è diretta lungo il pendio verso il basso, l’altra perpendicolarmente al pendio. La forza peso risulta così la diagonale del rettangolo costruito sulle due componenti, come in ogni scomposizione di una forza.

Scomposizione della forza peso F⃗_P, che agisce sulla slitta, nella componente F⃗_1 lungo il pendio e nella componente F⃗_2 perpendicolare al pendio

La componente blu tratteggiata ${\vec{F}}_{1}$ tira la slitta lungo il pendio verso il basso, mentre l’altra, ${\vec{F}}_{2}$ , la spinge nella neve. Da sola non sposta nulla, perché la neve non lascia passare la slitta. Dell’intera forza peso a mettere in moto la slitta è quindi solo una parte, F₁, e questa è la risposta alla prima domanda.

Quanto sono grandi le componenti? La forza peso, la componente ${\vec{F}}_{2}$ e il segmento grigio tratteggiato dalla punta di ${\vec{F}}_{2}$ alla punta di $\vec{F_{P}}$ formano un triangolo rettangolo con l’angolo retto in corrispondenza della punta di ${\vec{F}}_{2}$ . La forza peso ne è l’ipotenusa e l’angolo in corrispondenza del baricentro, tra essa e la componente ${\vec{F}}_{2}$ , nella figura è indicato con α, come l’inclinazione del pendio. Perché sia così, lo mostriamo tra poco. Prima ricordiamo seno e coseno: il seno di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e l’ipotenusa, il coseno il rapporto tra il cateto adiacente e l’ipotenusa. Di fronte all’angolo α sta il cateto tratteggiato, lungo quanto F₁, il cateto adiacente è F₂, quindi

$sen α = \frac{F_{1}}{F_{P}}, \cos α = \frac{F_{2}}{F_{P}} .$

Moltiplichiamo entrambe le uguaglianze per la forza peso:

$\begin{aligned} F_{1} & = F_{P} \cdot sen α \\ F_{2} & = F_{P} \cdot \cos α \end{aligned}$

Resta la giustificazione promessa. La forza peso è perpendicolare al suolo orizzontale, la componente ${\vec{F}}_{2}$ è perpendicolare al pendio. Immagina di ruotare sia il suolo sia il pendio di un angolo retto. Il suolo diventa una verticale, il pendio una perpendicolare al pendio, e l’angolo tra loro con la rotazione non cambia. L’angolo tra la forza peso e la perpendicolare al pendio è quindi uguale all’angolo tra il suolo e il pendio. Infatti due angoli acuti con i lati perpendicolari tra loro sono uguali.

Chi non ama le rotazioni può ricorrere al calcolo. Prolunghiamo la forza peso verticalmente verso il basso fino al suolo. La verticale, il suolo e il pendio formano un triangolo rettangolo con l’angolo α in basso, sul suolo, quindi l’angolo sul pendio è 90° − α. La perpendicolare al pendio forma con il pendio un angolo retto e dalla verticale si discosta perciò di 90° − (90° − α) = α.

Che sia giusto lo verifichiamo nei casi estremi. Sul suolo orizzontale è α = 0°, senα = 0 e cos α = 1. La componente lungo il pendio sparisce e tutta la forza peso preme sull’appoggio, esattamente come deve. Più ripido è il pendio, maggiore è il seno e più forte la slitta è tirata verso il basso. Questa è la risposta alla seconda domanda.

Proviamo con la slitta di Lorenzo di massa 10 kg su un pendio con inclinazione di 30°. La forza peso è

$F_{P} = m \cdot g = 10 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} = 98, 1 N .$

Sostituiamo sen30° = 0,5 e cos 30° ≈ 0,866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98, 1 N \cdot 0, 5 = 49, 05 N \\ F_{2} & = 98, 1 N \cdot 0,866 \approx 85 N \end{aligned}$

Attenzione, 49,05 N + 85 N non fa 98,1 N. Le componenti infatti si sommano come frecce, non come numeri.

In un compito in classe capita spesso che qualcuno scambi seno e coseno. Non devi ricordarti quale va dove, basta pensare al suolo orizzontale. Lì la componente lungo il pendio deve sparire, e zero a 0° lo dà il seno, non il coseno. La componente lungo il pendio è quindi quella con il seno.

Forza normale sul pendio

La neve agisce sulla slitta con la forza normale $\vec{F_{N}}$ , che è sempre perpendicolare all’appoggio, qui quindi perpendicolare al pendio verso l’esterno. In direzione perpendicolare al pendio la slitta non si muove, non affonda e non si stacca. Le forze in questa direzione sono perciò in equilibrio e la forza normale equilibra la componente ${\vec{F}}_{2}$ :

$F_{N} = F_{P} \cdot \cos α$

Sul pendio la forza normale è minore della forza peso. Per la slitta di Lorenzo è 85 N, non 98,1 N. È qui che nei compiti si sbaglia più spesso: chi dal pavimento orizzontale si porta dietro F_N = m · g, sul pendio sbaglia anche l’attrito.

Più ripido è il pendio, più piccolo è il coseno, più debolmente la slitta preme sulla neve e minore è anche l’attrito. Su una parete verticale è cos 90° = 0 e la forza normale sparisce del tutto.

Slitta senza attrito

Cominciamo da un pendio perfettamente liscio, per esempio una slitta con pattini d’acciaio sul ghiaccio. Trascuriamo la resistenza dell’aria. La forza normale annulla la componente ${\vec{F}}_{2}$ e rimane un’unica forza lungo il pendio, F₁. Secondo il secondo principio della dinamica è uguale alla massa per l’accelerazione:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot sen α$

Dividiamo per la massa:

$a = g \cdot sen α$

La massa si è semplificata. Una slitta vuota e una con Lorenzo sopra accelererebbero lungo il pendio liscio allo stesso modo, come un corpo leggero e uno pesante cadono con la stessa accelerazione. Una slitta di massa maggiore è tirata verso il basso da una forza maggiore, ma nella stessa misura fa più fatica a mettersi in moto.

Per un pendio con inclinazione di 30°:

$a = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 0, 5 \approx 4, 9 {m / s}^{2}$

Esattamente la metà dell’accelerazione di gravità. Tornano anche i casi estremi: sul suolo orizzontale è senα = 0 e la slitta non parte da sola, su una parete verticale è sen90° = 1 e a = g, cioè caduta libera.

Slitta con attrito

Sulla neve vera, però, la slitta è frenata dall’attrito. La forza di attrito $\vec{F_{a}}$ è diretta lungo il pendio verso l’alto, contro il moto, ed è proporzionale alla forza normale. Sul pendio nella formula non va tutta la forza peso, ma solo la sua parte F_P · cos α, cioè la forza normale:

$F_{a} = μ \cdot F_{N} = μ \cdot F_{P} \cdot \cos α$

Per i pattini su neve battuta prendiamo μ = 0,1. I pattini d’acciaio o di plastica scivolano sulla neve molto meglio, per esempio, della gomma. La slitta di Lorenzo è frenata dalla forza

$F_{a} = 0, 1 \cdot 85 N \approx 8, 5 N .$

Tutte le forze che agiscono sulla slitta sul pendio: forza peso F⃗_P con le sue componenti, forza normale F⃗_N e forza di attrito F⃗_a, disegnata per un attrito maggiore di quello della slitta sulla neve

La risultante lungo il pendio è la componente F₁ diminuita dell’attrito, circa 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, e l’accelerazione è

$a = \frac{40, 6 N}{10 kg} \approx 4, 06 {m / s}^{2} .$

In generale: il secondo principio lungo il pendio dice

$m \cdot a = m \cdot g \cdot sen α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

e dividendo l’equazione per la massa otteniamo la formula dell’accelerazione su un pendio con attrito:

$a = g \cdot (sen α - μ \cdot \cos α)$

Anche qui la massa si è semplificata. Sostituendo 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) risulta di nuovo 4,06 m/s².

Su un pendio più dolce con inclinazione di 10° è sen10° ≈ 0,174 e cos 10° ≈ 0,985, quindi

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (0,174 - 0, 1 \cdot 0,985) \\ \approx 0, 74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

L’inclinazione è tre volte minore, ma l’accelerazione più di cinque volte. L’attrito qui si porta via la maggior parte della componente lungo il pendio. E su un pendio con inclinazione di 5° la parentesi verrebbe negativa: la slitta già in moto rallenterebbe fino a fermarsi. Perché poi resti ferma lo spiega il prossimo paragrafo.

Quando il corpo resta fermo

Lorenzo e il fratellino riportano la slitta in cima e su un tratto più dolce del percorso si riposano un momento. La slitta lì sta ferma e non scende. La trattiene l’attrito statico, che è sempre grande esattamente quanto serve per equilibrare la forza che tira la slitta verso il basso, qui la componente F₁. Al massimo può valere μ_s · F_N, dove μ_s è il coefficiente di attrito statico. La slitta quindi resta ferma finché

$F_{P} \cdot sen α \leq μ_{s} \cdot F_{P} \cdot \cos α .$

Il rapporto tra seno e coseno si chiama tangente, $\tan α = \frac{sen α}{\cos α}$ . In un triangolo rettangolo è il rapporto tra il cateto opposto e quello adiacente. La forza peso si semplifica e dopo aver diviso per il coseno resta

$\tan α \leq μ_{s} .$

Se un corpo scivolerà sul pendio non lo decide la massa, ma solo l’inclinazione e la superficie. Sulla calcolatrice l’angolo con una tangente nota si ottiene con il tasto tan⁻¹.

Su un pendio con inclinazione di 5° è tan 5° ≈ 0,087, meno di 0,1, e l’attrito statico è ancora maggiore di quello dinamico. La slitta ferma lì quindi non riparte da sola. La formula con l’accelerazione negativa descrive solo la discesa.

Da qui nasce un semplice esperimento. Appoggia un cubetto di legno di un gioco di costruzioni su un’asse e solleva lentamente un’estremità. Per legno su legno è μ_s ≈ 0,5, quindi il cubetto si mette in moto quando tan α raggiunge 0,5, cioè all’incirca a 27°.

Lo stesso vale per un’auto parcheggiata con le ruote frenate. Sull’asfalto asciutto la trattiene anche una strada molto ripida. Il coefficiente di attrito statico su una strada ghiacciata, però, è solo intorno a 0,1 e tan α = 0,1 corrisponde a un’inclinazione di meno di 6°. Una salita così la trovi in quasi ogni città e l’auto sul ghiaccio scivola giù, che sia leggera o pesante.

L’attrito dinamico è minore di quello statico. Con un’inclinazione intorno a 20° il cubetto quindi sta fermo da solo, ma con un colpetto parte e continua ad accelerare, perché tan 20° ≈ 0,36 è più dell’attrito dinamico μ = 0,3.

Esercizio da compito in classe passo per passo

Una cassa di mele di massa 20 kg è appoggiata su un’asse di legno che collega in obliquo il pianale di un furgone con il suolo. L’asse è lunga 2 m e forma con il suolo un angolo di 35°. Il coefficiente di attrito dinamico di legno su legno è 0,3, quello statico 0,5. La cassa parte da sola? Che accelerazione avrà e con che velocità arriva a terra?

Scriviamo i dati. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ = 0,3, μ_s = 0,5, g = 9,81 m/s². Cerchiamo a e v. Le unità sono già quelle fondamentali, non dobbiamo convertire nulla.

Disegniamo le forze. Sono le stesse della slitta.

Parte? tan 35° ≈ 0,70 è più di μ_s = 0,5. L’attrito statico la cassa non la trattiene.

Scomponiamo la forza peso. Per farci un’idea con i numeri: F_P = m · g = 196,2 N, sen35° ≈ 0,5736 e cos 35° ≈ 0,8192. Lungo l’asse la cassa è tirata da F₁ ≈ 112,5 N, sull’asse è premuta da F₂ ≈ 160,7 N. Ma andiamo avanti con le lettere e i numeri li sostituiamo solo alla fine.

Sommiamo le forze lungo l’asse. Perpendicolarmente all’asse le forze si equilibrano, quindi F_N = m · g · cos α e la forza di attrito è F_a = μ · m · g · cos α. Lungo l’asse tira verso il basso F₁ e verso l’alto l’attrito:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot sen α - μ \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

Ricaviamo l’accelerazione. Dopo aver diviso per la massa:

$a = g \cdot (sen α - μ \cdot \cos α)$

Velocità alla fine. La cassa parte da ferma e accelera uniformemente, quindi v² = 2 · a · s e

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Sostituiamo. L’accelerazione la lasciamo nella calcolatrice non arrotondata:

$\begin{aligned} a & = 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (sen 35 ° - 0, 3 \cdot \cos 35 °) \\ \approx 3, 22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3,216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3, 6 m / s \end{aligned}$

Verifica: l’accelerazione è minore di g · sen35° ≈ 5,6 m/s² senza attrito, come deve essere.

La cassa parte da sola, ha un’accelerazione di circa 3,22 m/s² e arriva a terra con una velocità di circa 3,6 m/s, quasi 13 km/h. Per il bene delle mele, sarebbe meglio che in fondo qualcuno la afferrasse.

Su un piano inclinato basta dunque scomporre la forza peso e poi si calcola come sul suolo orizzontale: perpendicolarmente all’appoggio l’equilibrio, lungo di esso il secondo principio. Tutti i corpi, però, finora si muovevano su una retta.

Che cosa serve perché una slitta o un’auto curvino lo mostra il prossimo articolo, Forza centripeta.

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