Plan incliné

Louis pose sa luge au sommet d’une colline enneigée et la lâche. La luge démarre et prend de la vitesse en chemin. Seule la Terre la tire vers le bas, et le poids est dirigé verticalement vers le bas, pas en biais le long de la pente. Pourquoi la luge ne tombe-t-elle pas perpendiculairement au sol, mais descend-elle le long de la colline ? Et pourquoi descend-elle plus lentement une pente douce qu’une pente raide ? Une seule astuce explique les deux : nous décomposons le poids en deux composantes.

Une pente, un toboggan, une rampe ou une planche inclinée s’appellent en physique un plan incliné. Son inclinaison est donnée par l’angle α qu’il forme avec le sol horizontal.

Décomposition du poids

Nous remplaçons le poids $\overrightarrow{P}$ par deux forces qui agissent ensemble de la même façon. L’une est dirigée le long de la pente vers le bas, l’autre perpendiculairement à la pente, en direction de la pente. Le poids est ainsi la diagonale du rectangle construit sur les deux composantes, comme pour toute décomposition d’une force.

La composante bleue en pointillés ${\overrightarrow{F}}_1$ tire la luge vers le bas de la pente, tandis que l’autre, ${\overrightarrow{F}}_2$, l’enfonce dans la neige. Seule, elle ne déplace rien, car la neige ne laisse pas passer la luge. Du poids entier, seule une partie F₁ met donc la luge en mouvement, ce qui répond à la première question.

Quelles sont les valeurs des composantes ? Le poids, la composante ${\overrightarrow{F}}_2$ et le segment gris en pointillés qui va de la pointe de ${\overrightarrow{F}}_2$ à la pointe de $\overrightarrow{P}$ forment un triangle rectangle avec l’angle droit à la pointe de ${\overrightarrow{F}}_2$. Le poids en est l’hypoténuse, et l’angle qu’il forme, au centre de gravité, avec la composante ${\overrightarrow{F}}_2$ est noté α sur la figure, comme l’inclinaison de la pente. Pourquoi il en est ainsi, nous le montrerons dans un instant. Rappelons d’abord le sinus et le cosinus : le sinus d’un angle dans un triangle rectangle est le rapport du côté opposé à l’hypoténuse, le cosinus le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse. En face de l’angle α se trouve le côté en pointillés, de même longueur que F₁, le côté adjacent est F₂, donc

$$\sin \alpha =\frac{F_1}{P},\cos \alpha =\frac{F_2}{P}.$$

Nous multiplions les deux égalités par le poids :

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =P\cdot \sin \alpha \\ F_2& =P\cdot \cos \alpha \end{array}$$

Reste la justification promise. Le poids est perpendiculaire au sol horizontal, la composante ${\overrightarrow{F}}_2$ est perpendiculaire à la pente. Imagine que nous tournons le sol et la pente d’un angle droit. Le sol devient une verticale, la pente une perpendiculaire à la pente, et l’angle entre elles ne change pas dans la rotation. L’angle entre le poids et la perpendiculaire à la pente est donc le même que l’angle entre le sol et la pente. En effet, deux angles aigus dont les côtés sont deux à deux perpendiculaires sont égaux.

Si la rotation ne te dit rien, tu peux calculer. Prolongeons le poids verticalement vers le bas jusqu’au sol. La verticale, le sol et la pente forment un triangle rectangle d’angle α en bas, au niveau du sol, et d’angle 90° − α au niveau de la pente. La perpendiculaire à la pente forme avec la pente un angle droit, et elle s’écarte donc de la verticale de 90° − (90° − α) = α.

Vérifions sur les cas extrêmes que c’est correct. Sur le sol horizontal, α = 0°, sin α = 0 et cos α = 1. La composante le long de la pente disparaît et tout le poids appuie sur le support, exactement comme il se doit. Plus la pente est raide, plus le sinus est grand et plus la luge est tirée fort vers le bas. C’est la réponse à la deuxième question.

Essayons avec la luge de Louis, de masse 10 kg, sur une pente inclinée de 30°. Le poids est

$$P=m\cdot g=10\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=98,1\mathrm{N}.$$

Nous remplaçons sin 30° = 0,5 et cos 30° ≈ 0,866 :

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =98,1\mathrm{N}\cdot 0,5=49,05\mathrm{N}\\ F_2& =98,1\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}\approx 85\mathrm{N}\end{array}$$

Attention, 49,05 N + 85 N ne fait pas 98,1 N. Les composantes s’additionnent en effet comme des flèches, pas comme des nombres.

En contrôle, il arrive souvent qu’on intervertisse le sinus et le cosinus. Tu n’as pas besoin de retenir lequel va où, il suffit de penser au sol horizontal. Là, la composante le long de la pente doit disparaître, et c’est le sinus qui donne zéro pour 0°, pas le cosinus. La composante le long de la pente est donc celle avec le sinus.

Réaction normale sur la pente

La neige exerce sur la luge une réaction normale $\overrightarrow{R_N}$, et celle-ci est toujours perpendiculaire au support, ici donc perpendiculaire à la pente, vers l’extérieur. Perpendiculairement à la pente, la luge ne bouge pas, elle ne s’enfonce pas et ne décolle pas. Les forces dans cette direction sont donc en équilibre et la réaction normale équilibre la composante ${\overrightarrow{F}}_2$ :

$$R_N=P\cdot \cos \alpha$$

Sur la pente, la réaction normale est plus petite que le poids. Pour la luge de Louis, elle vaut 85 N, pas 98,1 N. C’est ici qu’on se trompe le plus souvent en contrôle : celui qui reprend la relation R_N = m · g du sol horizontal obtient aussi des frottements faux sur la pente.

Plus la pente est raide, plus le cosinus est petit, plus la luge appuie faiblement sur la neige et plus les frottements sont petits. Pour un mur vertical, cos 90° = 0 et la réaction normale disparaît complètement.

Luge sans frottements

Commençons par une pente parfaitement lisse, par exemple une luge à patins d’acier sur la glace. Nous négligeons la résistance de l’air. La réaction normale annule la composante ${\overrightarrow{F}}_2$ et il ne reste qu’une seule force le long de la pente, F₁. D’après la deuxième loi de Newton, elle est égale à la masse fois l’accélération :

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha$$

Nous divisons par la masse :

$$a=g\cdot \sin \alpha$$

La masse s’est simplifiée. Une luge vide et une luge avec Louis accéléreraient de la même façon sur une pente lisse, de même que les corps légers et lourds tombent avec la même accélération. Une luge de plus grande masse est certes tirée par une force plus grande, mais elle démarre plus difficilement dans la même mesure.

Pour une pente inclinée de 30° :

$$a=9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 0,5\approx 4,9{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Exactement la moitié de l’intensité de la pesanteur. Les cas extrêmes sont aussi cohérents : sur le sol horizontal, sin α = 0 et la luge ne démarre pas toute seule, pour un mur vertical, sin 90° = 1 et a = g, c’est-à-dire une chute libre.

Luge avec frottements

Sur de la vraie neige, pourtant, les frottements freinent la luge. La force de frottement $\overrightarrow{f}$ est dirigée le long de la pente vers le haut, contre le mouvement, et elle est proportionnelle à la réaction normale. Mais sur une pente, ce n’est pas le poids entier qui intervient dans la formule, seulement sa partie P · cos α, c’est-à-dire la réaction normale :

$$f=\mu \cdot R_N=\mu \cdot P\cdot \cos \alpha$$

Pour des patins sur de la neige tassée, nous prenons μ = 0,1. Des patins en acier ou en plastique glissent bien mieux sur la neige que du caoutchouc, par exemple. La luge de Louis est freinée par la force

$$f=0,1\cdot 85\mathrm{N}\approx 8,5\mathrm{N}.$$

La résultante le long de la pente est la composante F₁ diminuée des frottements, environ 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, et l’accélération est

$$a=\frac{40,6\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}\approx 4,06{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

De façon générale, la deuxième loi de Newton le long de la pente s’écrit

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha -\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha ,$$

et quand nous divisons l’équation par la masse, nous obtenons la formule de l’accélération sur une pente avec frottements :

$$a=g\cdot (\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha )$$

Ici aussi, la masse s’est simplifiée. En remplaçant 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866), on trouve de nouveau 4,06 m/s².

Sur une pente plus douce, inclinée de 10°, on a sin 10° ≈ 0,174 et cos 10° ≈ 0,985, donc

$$\begin{array}{rl}a& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (\mathrm{0,174}-0,1\cdot \mathrm{0,985})\\ & \approx 0,74{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

L’inclinaison est trois fois plus petite, mais l’accélération plus de cinq fois. Les frottements enlèvent ici la plus grande partie de la composante le long de la pente. Et sur une pente inclinée de 5°, la parenthèse serait négative : une luge lancée ralentirait jusqu’à s’arrêter. Pourquoi elle reste alors immobile, la section suivante l’explique.

Quand un corps reste immobile

Louis et son petit frère remontent la luge et se reposent un moment sur un tronçon de chemin plus doux. La luge y reste immobile et ne descend pas. Elle est retenue par le frottement statique, qui est toujours exactement assez grand pour équilibrer la force qui tire la luge vers le bas, ici la composante F₁. Il peut valoir au plus μ_s · R_N, où μ_s est le coefficient de frottement statique. La luge reste donc immobile tant que

$$P\cdot \sin \alpha \le {\mu }_s\cdot P\cdot \cos \alpha .$$

Le quotient du sinus et du cosinus s’appelle la tangente, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. Dans un triangle rectangle, c’est le rapport du côté opposé au côté adjacent. Le poids se simplifie et, après division par le cosinus, il reste

$$\tan \alpha \le {\mu }_s.$$

Que le corps glisse ou non sur la pente ne dépend pas de la masse, mais seulement de l’inclinaison et de la surface. Pour retrouver l’angle à partir d’une tangente connue, utilise sur la calculatrice la touche tan⁻¹.

Sur une pente inclinée de 5°, tan 5° ≈ 0,087, moins que 0,1, et le frottement statique est encore plus grand que celui de glissement. Une luge arrêtée ne redémarre donc pas toute seule. La formule à accélération négative ne décrit que la descente.

On en tire une expérience simple. Pose un cube de bois d’un jeu de construction sur une planche et soulève lentement l’une de ses extrémités. Pour le bois sur le bois, μ_s ≈ 0,5, le cube se met donc en mouvement quand tan α atteint 0,5, soit à peu près à 27°.

C’est la même chose pour une voiture garée, freins serrés. Sur l’asphalte sec, elle est retenue même dans une rue très raide. Mais le coefficient de frottement statique n’est que d’environ 0,1 sur le verglas, et tan α = 0,1 correspond à une inclinaison d’un peu moins de 6°. Des côtes comme celle-là, on en trouve dans presque toutes les villes, et la voiture glisse sur la glace, qu’elle soit légère ou lourde.

Le frottement de glissement est plus petit que le frottement statique. Pour une inclinaison d’environ 20°, le cube reste donc immobile tout seul, mais après une pichenette il part et continue à accélérer, parce que tan 20° ≈ 0,36 est plus grand que le coefficient de frottement de glissement μ = 0,3.

Un exercice de contrôle pas à pas

Une caisse de pommes de masse 20 kg repose sur une planche de bois qui relie en biais la plate-forme d’une camionnette au sol. La planche mesure 2 m de long et forme avec le sol un angle de 35°. Le coefficient de frottement de glissement du bois sur le bois est de 0,3, le coefficient statique de 0,5. La caisse part-elle toute seule ? Quelle sera son accélération et à quelle vitesse arrive-t-elle au sol ?

Écrivons les données. m = 20 kg, α = 35°, d = 2 m, μ = 0,3, μ_s = 0,5, g = 9,81 m/s². On cherche a et v. Les unités sont des unités de base, nous n’avons rien à convertir.

Dessinons les forces. Ce sont les mêmes que pour la luge.

Part-elle ? tan 35° ≈ 0,70 est plus grand que μ_s = 0,5. Le frottement statique ne retient pas la caisse.

Décomposons le poids. Pour fixer les idées avec des nombres : P = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 et cos 35° ≈ 0,8192. Le long de la planche, la caisse est tirée par F₁ ≈ 112,5 N, contre la planche elle est pressée par F₂ ≈ 160,7 N. Mais nous continuons à calculer avec des lettres et ne remplaçons les nombres qu’à la fin.

Additionnons les forces le long de la planche. Perpendiculairement à la planche, les forces s’équilibrent, donc R_N = m · g · cos α et la force de frottement est f = μ · m · g · cos α. Le long de la planche, F₁ tire vers le bas et les frottements vers le haut :

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha -\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha$$

Exprimons l’accélération. Après division par la masse :

$$a=g\cdot (\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha )$$

Vitesse à l’arrivée. La caisse part du repos et accélère uniformément, donc v² = 2 · a · d et

$$v=\sqrt{2\cdot a\cdot d}.$$

Remplaçons. Nous gardons l’accélération non arrondie dans la calculatrice :

$$\begin{array}{rl}a& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (\sin 35°-0,3\cdot \cos 35°)\\ & \approx 3,22{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& \approx \sqrt{2\cdot \mathrm{3,216}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2\mathrm{m}}\\ & \approx 3,6\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Vérification : l’accélération est plus petite que g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² sans frottements, comme il se doit.

La caisse part toute seule, elle accélère d’environ 3,22 m/s² et arrive au sol à une vitesse d’environ 3,6 m/s, presque 13 km/h. Les pommes mériteraient que quelqu’un rattrape la caisse en bas.

Sur un plan incliné, il suffit donc de décomposer le poids et de calculer ensuite comme sur le sol horizontal : perpendiculairement au support l’équilibre, le long du support la deuxième loi de Newton. Mais jusqu’ici, tous les corps se déplaçaient en ligne droite.

Ce qu’il faut pour qu’une luge ou une voiture tourne, l’article suivant le montre : Force centripète.