Похила площина

Тарас ставить санки на засніжений пагорб і відпускає їх. Санки рушають і дорогою набирають швидкість. Вниз їх тягне лише Земля, а сила тяжіння напрямлена вертикально вниз, а не навскіс уздовж схилу. Чому ж санки не падають перпендикулярно до землі, а їдуть уздовж пагорба? І чому з пологого схилу вони з'їжджають повільніше, ніж зі стрімкого? Обидва питання пояснює один прийом: силу тяжіння розкладаємо на дві складові.

Схил, гірка, рампа й навскісна дошка у фізиці називаються похилою площиною. Наскільки вона нахилена, показує кут α, який вона утворює з горизонтальною землею.

Розкладання сили тяжіння

Силу тяжіння $\overrightarrow{F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}}$ замінимо двома силами, які разом діють так само. Одна напрямлена вздовж схилу вниз, друга — перпендикулярно до схилу в його бік. Сила тяжіння тоді виходить як діагональ прямокутника, побудованого на обох складових, як і за будь-якого розкладання сили.

Синя штрихова складова ${\overrightarrow{F}}_1$ тягне санки вниз по схилу, а друга, ${\overrightarrow{F}}_2$, притискає їх до снігу. Сама по собі вона санки нікуди не зрушить, бо сніг санки не пропустить. Отже, з усієї сили тяжіння санки розганяє лише частина F₁, і це відповідь на перше питання.

Які модулі складових? Сила тяжіння, складова ${\overrightarrow{F}}_2$ і сірий штриховий відрізок від кінця ${\overrightarrow{F}}_2$ до кінця $\overrightarrow{F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}}$ утворюють прямокутний трикутник із прямим кутом біля кінця ${\overrightarrow{F}}_2$. Сила тяжіння в ньому є гіпотенузою, а кут біля центра мас між нею та складовою ${\overrightarrow{F}}_2$ на рисунку позначений α, так само як і нахил схилу. Чому це так, покажемо за хвилину. Спершу пригадаймо синус і косинус: синус кута в прямокутному трикутнику — це відношення протилежного катета до гіпотенузи, косинус — відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Навпроти кута α лежить штриховий катет, такий самий за довжиною, як F₁, прилеглий катет — це F₂, тому

$$\sin \alpha =\frac{F_1}{F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}},\cos \alpha =\frac{F_2}{F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}}.$$

Обидві рівності помножимо на силу тяжіння:

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}\cdot \sin \alpha \\ F_2& =F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}\cdot \cos \alpha \end{array}$$

Лишилося обіцяне пояснення. Сила тяжіння перпендикулярна до горизонтальної землі, складова ${\overrightarrow{F}}_2$ перпендикулярна до схилу. Уяви, що ми повернули і землю, і схил на прямий кут. Земля стане вертикаллю, схил — перпендикуляром до схилу, а кут між ними від повороту не зміниться. Тому кут між силою тяжіння та перпендикуляром до схилу такий самий, як кут між землею та схилом. Адже два гострі кути з попарно перпендикулярними сторонами рівні.

Хто не любить повороти, може порахувати. Продовжимо силу тяжіння вертикально вниз до землі. Вертикаль, земля й схил утворюють прямокутний трикутник із кутом α унизу біля землі, тож біля схилу кут дорівнює 90° − α. Перпендикуляр до схилу утворює зі схилом прямий кут, а від вертикалі тому відхиляється на 90° − (90° − α) = α.

Що це правильно, перевіримо на крайніх випадках. На горизонтальній землі α = 0°, sin α = 0 і cos α = 1. Складова вздовж схилу зникає, і вся сила тяжіння тисне на опору, саме так, як має бути. Чим стрімкіший схил, тим більший синус і тим сильніше санки тягне вниз. Це відповідь на друге питання.

Спробуймо на санках Тараса масою 10 кг на схилі з кутом нахилу 30°. Сила тяжіння дорівнює

$$F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}=m\cdot g=10\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot 9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2=98,1\mathrm{Н}.$$

Підставимо sin 30° = 0,5 і cos 30° ≈ 0,866:

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =98,1\mathrm{Н}\cdot 0,5=49,05\mathrm{Н}\\ F_2& =98,1\mathrm{Н}\cdot \mathrm{0,866}\approx 85\mathrm{Н}\end{array}$$

Зверни увагу: 49,05 Н + 85 Н не дорівнює 98,1 Н. Складові ми додаємо як стрілки, а не як числа.

На контрольній часто плутають синус і косинус. Не треба запам'ятовувати, що де, досить подумати про горизонтальну землю. Там складова вздовж схилу має зникнути, а нуль при 0° дає синус, а не косинус. Отже, складова вздовж схилу — та, що із синусом.

Сила реакції опори на схилі

Сніг діє на санки силою нормальної реакції опори $\overrightarrow{N}$, і вона завжди перпендикулярна до опори, тут — перпендикулярно до схилу назовні. Перпендикулярно до схилу санки не рухаються: не провалюються в сніг і не злітають. Тому сили в цьому напрямку зрівноважені, і сила реакції опори врівноважує складову ${\overrightarrow{F}}_2$:

$$N=F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}\cdot \cos \alpha$$

На схилі сила реакції опори менша за силу тяжіння. Для санок Тараса це 85 Н, а не 98,1 Н. Саме тут на контрольних помиляються найчастіше: хто з горизонтальної підлоги переносить N = m · g, на схилі отримає неправильне значення й для тертя.

Чим стрімкіший схил, тим менший косинус, тим слабше санки тиснуть на сніг і тим менше тертя. Для вертикальної стіни cos 90° = 0, і сила реакції опори зникає зовсім.

Санки без тертя

Почнімо з ідеально гладкого схилу, наприклад із санками зі сталевими полозами на льоду. Опором повітря знехтуємо. Сила реакції опори зрівноважить складову ${\overrightarrow{F}}_2$, і залишиться єдина сила вздовж схилу, F₁. За другим законом Ньютона вона дорівнює масі, помноженій на прискорення:

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha$$

Поділимо на масу:

$$a=g\cdot \sin \alpha$$

Маса скоротилася. Порожні санки й санки з Тарасом по гладкому схилу розганялися б однаково, так само як легке й важке тіло падають з однаковим прискоренням. Важчі санки тягне вниз більша сила, але їх настільки ж важче розігнати.

Для схилу з кутом нахилу 30°:

$$a=9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot 0,5\approx 4,9{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2$$

Рівно половина прискорення вільного падіння. Крайні випадки теж сходяться: на горизонтальній землі sin α = 0, і санки самі не рушать, для вертикальної стіни sin 90° = 1 і a = g, тобто вільне падіння.

Санки з тертям

Та на справжньому снігу санки гальмує тертя. Сила тертя $\overrightarrow{F_{\mathrm{т}\mathrm{е}\mathrm{р}}}$ напрямлена вздовж схилу вгору, проти руху, і пропорційна силі реакції опори. Але на схилі у формулу входить не вся сила тяжіння, а лише її частина F_тяж · cos α, тобто сила реакції опори:

$$F_{\mathrm{т}\mathrm{е}\mathrm{р}}=\mu \cdot N=\mu \cdot F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}\cdot \cos \alpha$$

Для полозів на втоптаному снігу візьмемо μ = 0,1. Сталеві чи пластикові полози ковзають по снігу набагато краще, ніж, скажімо, гума. Санки Тараса гальмує сила

$$F_{\mathrm{т}\mathrm{е}\mathrm{р}}=0,1\cdot 85\mathrm{Н}\approx 8,5\mathrm{Н}.$$

Рівнодійна вздовж схилу — це складова F₁, зменшена на тертя, приблизно 49,05 Н − 8,5 Н ≈ 40,6 Н, а прискорення дорівнює

$$a=\frac{40,6\mathrm{Н}}{10\mathrm{к}\mathrm{г}}\approx 4,06{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2.$$

У загальному вигляді другий закон Ньютона вздовж схилу має вигляд

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha -\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha ,$$

а коли поділимо рівняння на масу, отримаємо формулу прискорення на схилі з тертям:

$$a=g\cdot (\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha )$$

І тут маса скоротилася. Після підстановки 9,81 м/с² · (0,5 − 0,1 · 0,866) знову виходить 4,06 м/с².

На пологішому схилі з кутом нахилу 10° маємо sin 10° ≈ 0,174 і cos 10° ≈ 0,985, тому

$$\begin{array}{rl}a& =9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot (\mathrm{0,174}-0,1\cdot \mathrm{0,985})\\ & \approx 0,74{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2.\end{array}$$

Нахил утричі менший, а прискорення більш ніж у п'ять разів. Тертя тут забирає більшу частину складової вздовж схилу. А на схилі з кутом нахилу 5° дужка вийшла б від'ємною: санки, що розігналися, сповільнювалися б, аж поки не зупинилися б. Чому вони тоді залишаються стояти, пояснює наступний розділ.

Коли тіло залишається на місці

Тарас із молодшим братом затягують санки назад нагору й на пологішій ділянці шляху трохи перепочивають. Санки там стоять і не з'їжджають. Їх тримає тертя спокою, яке завжди рівно таке, щоб зрівноважити силу, що тягне санки вниз, тут — складову F₁. Щонайбільше воно може дорівнювати μ₀ · N, де μ₀ — коефіцієнт тертя спокою. Отже, санки залишаються на місці, доки

$$F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}\cdot \sin \alpha \le {\mu }_0\cdot F_{\mathrm{т}\mathrm{я}\mathrm{ж}}\cdot \cos \alpha .$$

Відношення синуса до косинуса називається тангенсом, $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. У прямокутному трикутнику це відношення протилежного катета до прилеглого. Сила тяжіння скорочується, і після ділення на косинус залишається

$$\mathrm{tg}\alpha \le {\mu }_0.$$

Чи з'їде тіло зі схилу, вирішує не маса, а лише нахил і поверхня. Кут за відомим тангенсом на калькуляторі повертає кнопка tg⁻¹.

На схилі з кутом нахилу 5° маємо tg5° ≈ 0,087, менше за 0,1, а тертя спокою ще більше за тертя ковзання. Тому зупинені санки там самі знову не рушать. Формула з від'ємним прискоренням описує лише рух униз.

Звідси випливає простий дослід. Постав дерев'яний кубик з конструктора на дошку й повільно піднімай один її кінець. Для дерева по дереву μ₀ ≈ 0,5, тому кубик почне рухатися, коли tgα досягне 0,5, тобто приблизно при 27°.

Так само буває із запаркованим автомобілем із загальмованими колесами. На сухому асфальті його втримає навіть дуже крута вулиця. Але коефіцієнт тертя спокою на ожеледиці лише близько 0,1, а tgα = 0,1 відповідає нахилу неповних 6°. Такий пагорб знайдеться майже в кожному місті, і автомобіль по льоду з'їде, чи то легкий, чи важкий.

Тертя ковзання менше за тертя спокою. Тому за кута нахилу близько 20° кубик сам стоїть, але після поштовху рушає й далі розганяється, бо tg20° ≈ 0,36 більше за μ = 0,3 для ковзання.

Задача з контрольної крок за кроком

Ящик з яблуками масою 20 кг лежить на дерев'яній дошці, що похило з'єднує кузов вантажівки із землею. Дошка завдовжки 2 м і утворює із землею кут 35°. Коефіцієнт тертя ковзання дерева по дереву дорівнює 0,3, а тертя спокою — 0,5. Чи зсунеться ящик сам? Яке в нього буде прискорення і з якою швидкістю він доїде до землі?

Запишемо умову. Дано: m = 20 кг, α = 35°, s = 2 м, μ = 0,3, μ₀ = 0,5, g = 9,81 м/с². Знайти: a і v. Одиниці основні, нічого переводити не треба.

Намалюємо сили. Вони такі самі, як у санок.

Чи зсунеться? tg35° ≈ 0,70 більше за μ₀ = 0,5. Тертя спокою ящик не втримає.

Розкладемо силу тяжіння. Для наочності в числах: F_тяж = m · g = 196,2 Н, sin 35° ≈ 0,5736 і cos 35° ≈ 0,8192. Уздовж дошки ящик тягне F₁ ≈ 112,5 Н, до дошки його притискає F₂ ≈ 160,7 Н. Але далі ми рахуємо з літерами, а числа підставляємо аж наприкінці.

Додамо сили вздовж дошки. Перпендикулярно до дошки сили зрівноважені, тому N = m · g · cos α, а сила тертя дорівнює F_тер = μ · m · g · cos α. Уздовж дошки вниз тягне F₁, а вгору діє тертя:

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha -\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha$$

Виразимо прискорення. Після ділення на масу:

$$a=g\cdot (\sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha )$$

Швидкість наприкінці. Ящик рушає зі стану спокою й розганяється рівноприскорено, тому v² = 2 · a · s і

$$v=\sqrt{2\cdot a\cdot s}.$$

Підставимо. Прискорення на калькуляторі не округлюємо:

$$\begin{array}{rl}a& =9,81{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot (\sin 35°-0,3\cdot \cos 35°)\\ & \approx 3,22{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\\ v& \approx \sqrt{2\cdot \mathrm{3,216}{\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot 2\mathrm{м}}\\ & \approx 3,6\mathrm{м}/\mathrm{с}\end{array}$$

Перевірка: прискорення менше за g · sin 35° ≈ 5,6 м/с² без тертя, як і має бути.

Відповідь: ящик зсунеться сам, розганятиметься з прискоренням приблизно 3,22 м/с² і доїде до землі зі швидкістю приблизно 3,6 м/с, майже 13 км/год. Хтось унизу мав би підстрахувати ящик з яблуками.

Отже, на похилій площині досить розкласти силу тяжіння, а далі рахуємо як на горизонтальній землі: перпендикулярно до опори рівновага, уздовж неї — другий закон Ньютона. Але всі тіла досі їхали по прямій.

Що потрібно, щоб санки чи автомобіль повернули, показує наступна стаття, Доцентрова сила.