Mozgás és nyugalom

Képzeld el, hogy a Budapestről Pécsre tartó vonaton ülsz, és olvasol. Mozogsz? A szemben ülő útitársad azt mondaná, hogy nem. Az egész úton ugyanazon a helyen ülsz, tőle egy méterre, és egyszer sem mozdultál el. A dombóvári peronon álló néni viszont azt állítaná, hogy éppen 160 km/h sebességgel repülsz el mellette. És mindkettőjüknek igaza van.

Fent a peronról nézzük a vonatot, lent a vagonból. A két piros nyíl ugyanazt a mozgást mutatja, csak mindig máshonnan nézve.

Ezt a csalódást ismeri mindenki, aki ült már az állomáson egy álló vonaton: a szomszéd vágányon álló vonat lassan elindul, és egy pillanatra neked úgy tűnik, hogy te indulsz el. Csak amikor az állomás épületére nézel, jössz rá, hogy állsz. A szemnek egyszerűen kell valami, amihez a mozgást viszonyíthatja.

Vonatkoztatási rendszer

Hogy egy test mozog-e, vagy nyugalomban van, azt önmagában nem lehet megállapítani. Mindig hozzá kell tenni, hogy mihez képest. Azt a testet, amelyhez a mozgást viszonyítjuk, vonatkoztatási testnek nevezzük. A vonaton ülő útitársad számára ez a vagon, a peronon álló néni számára a Föld.

A test nyugalomban van, ha a vonatkoztatási testhez képest nem változtatja a helyzetét. A vagonhoz képest nyugalomban vagy, a Földhöz képest mozogsz. A peronon álló néni ezzel szemben a Földhöz képest áll, hozzád képest viszont 160 km/h sebességgel hátrafelé távolodik. A mozgás és a nyugalom is viszonylagos, vagyis attól függ, honnan nézzük.

Hogy a helyzetet számokkal le lehessen írni, a vonatkoztatási testhez koordináta-rendszert rögzítünk. Kiválasztunk egy pontot, amelyet origónak nevezünk, és belőle x és y tengelyt húzunk, mint amikor a matematikában grafikont rajzolsz. Az állomáson az origó lehetne például a forgalmista mellett, az x tengely a sínek mentén, az y tengely pedig rájuk merőlegesen. A test helyzetét ekkor két szám adja meg: milyen messze van az egyik tengely irányában, és milyen messze a másik irányában. A vonaton az origót választhatjuk például a vagon ajtajánál. A vonatkoztatási testet a koordináta-rendszerrel és az időt mérő órával együtt vonatkoztatási rendszernek nevezzük.

A helyzetedet a vagonban, a fekete pontot, így a piros távolság az x tengely mentén és a kék távolság az y tengely mentén határozza meg.

A mindennapi életben a vonatkoztatási rendszert szinte mindig a Föld adja, ezért gyakran meg sem említjük. Amikor azt mondjuk, hogy az autó 90 km/h sebességgel megy, vagy hogy a ház áll, a Földhöz képest értjük. De még a „mozdulatlan” ház sem áll teljesen. A Föld a tengelye körül forog, így egy közép-európai ház egy nap alatt körülbelül 26 000 km hosszú kört ír le. Egy óra alatt tehát több mint 1000 km utat tesz meg. Ehhez jön, hogy a Föld körülbelül 30 km/s sebességgel kering a Nap körül. Mire befejezed ezt a mondatot, a Földdel, a házzal és a kanapéval együtt elrepülsz vagy százötven kilométert. A Nap sem áll, ő a Galaxis középpontja körül kering. Olyan test, amely „igazából”, vagyis a vonatkoztatási test megadása nélkül nyugalomban van, egyszerűen nem létezik.

Tömegpont

Az autó, amely az M6-os autópályán halad Budapest és Pécs között, körülbelül 4,5 m hosszú. A teljes útvonal nagyjából 205 km. Ha az egész autópályát vonalként rajzolnád le papírra 20 cm hosszúságban, az autó ezen az ábrán körülbelül 4 µm lenne, tizenhatszor kisebb a hajszál vastagságánál. Ha azt akarjuk tudni, mikor ér az autó Pécsre, nem számít, milyen hosszú, hol van a kormánya, és nyitva van-e az ablaka. Elképzelhetjük egyetlen pontként, amely a térképen halad.

Az ilyen egyszerűsítést tömegpontnak nevezzük. Ez olyan test, amelynek a méreteit az adott helyzetben elhanyagolhatjuk. Pontra cseréljük, amelynek meghagyjuk az egész test tömegét. A fizikában a tömegpontokkal sokkal könnyebb számolni, mint a valódi testekkel, amelyek foroghatnak, elhajolhatnak vagy megváltoztathatják az alakjukat.

Hogy egy testet tömegpontnak tekinthetünk-e, azt azonban nem maga a test dönti el, hanem a kérdés, amelyet felteszünk. Parkoláskor ugyanaz az autó már nem tömegpont. Ott éppen a méretei számítanak: befér-e két másik autó közé, és hány centiméter marad a járdaszegélyig. A Föld viszont a Nap körüli keringésnél tömegpont. Az átmérője, körülbelül 12 700 km, elhanyagolható a Naptól mért 150 000 000 km távolsághoz képest. Ha viszont a nappalok és az éjszakák váltakozása érdekel minket, számolnunk kell azzal, hogy forgó gömb, és ponttal nem helyettesíthetjük.

A hosszú úton balra elég az autót ponttal helyettesíteni, parkoláskor jobbra a méretei döntenek.

Pálya

Azt a vonalat, amelyet a tömegpont mozgás közben leír, pályának nevezzük. Néha látjuk is: a repülőgép magasan az égen fehér kondenzcsíkot hagy maga után, a síelő nyomot a hóban. A pálya lehet egyenes, kör vagy bármilyen más görbe.

A mozgáshoz és a nyugalomhoz hasonlóan a pálya is a vonatkoztatási rendszertől függ. Nézzük a kerékpár első kerekének szelepét. Amikor a kerékpáros menet közben lenéz az első kerékre, azt látja, hogy a kerék a helyén forog, a szelep pedig körbejár. A pályája kör. A barátnőd, aki a járdán áll, és nézi, ahogy a kerékpáros elhalad mellette, nem lát semmilyen kört. A kerék előre gurul, a szelep vele együtt halad, így íveket ír le egymás után.

Az ábrán fent a kerék látható a kerékpáros szemszögéből, vagyis a kerék vázához kötött vonatkoztatási rendszerben. A narancssárga szelep a piros körön kering. Lent ugyanaz a kerék látható a talajhoz kötött vonatkoztatási rendszerben. A szürke szaggatott kör azt mutatja, hol volt a kerék, amikor a szelep lent állt az úton. Mire a kerék egyszer körbefordul, a szelep egy piros ívet rajzol. Az ábra két fele ugyanannak a szelepnek ugyanazt a mozgását mutatja, csak két különböző vonatkoztatási rendszerből. Az animáció lépésről lépésre mutatja: a kerék fent forog, lent egyszerre gördül, és a szelep közben mindkét nyomot egyszerre rajzolja.

A görbét, amelyet a szelep a járdáról nézve rajzol, cikloisnak nevezzük. A csúcsai lent vannak, azokon a helyeken, ahol a szelep érinti az utat. A kerék nem csúszik az úton, hanem legördül rajta, ezért az a pont, amely éppen a talajt érinti, egy pillanatra áll. A szelep ott megáll, majd rögtön emelkedni kezd, eleinte szinte függőlegesen felfelé. Pontosabban a szelep a felnin ül, néhány centivel közelebb a középponthoz, mint a gumi felülete, ezért nem érinti az utat, és a görbéje lent csúcsok helyett csak élesen elhajlik. Közel pontos cikloist rajzolna például egy kavics, amely beszorult a gumiabroncs mintázatába.

Mennyit tesz meg a kerék egy fordulat alatt? Ha nem csúszik, a teljes kerülete legördül az úton, mint a mérőszalagról a méter. Az r sugarú kör kerülete 2π · r, ahol π ≈ 3,14, így a kerék középpontja egy fordulat alatt éppen 2π · r távolságot tesz meg. A kerékpárkerék kerülete valamivel több, mint 2 m, így egy kilométeren majdnem ötszáz fordulatot tesz.

Ugyanez az elv érvényes a vonaton is. Ha a vonat állandó sebességgel megy egyenes pályán, és te a vagonban elejtesz egy almát, az közvetlenül a lábadhoz esik, függőlegesen lefelé. A peronon álló néni azt látja, hogy az alma esik, és közben a vonattal együtt előre halad, így neki ferde íven repül.

Balra az alma esése látható úgy, ahogy te látod a vagonban, jobbra úgy, ahogy a peronon álló néni látja.

Út

A pálya hosszát, amelyet a test megtesz, útnak nevezzük, és s a jele. Az út skalár, vagyis szám mértékegységgel. Az autó kilométer-számlálója méri: hozzáadja az autó által megtett minden métert, akár egyenesen megy, akár kanyarodik, akár tolat. Az út ezért az idővel soha nem csökken. Hazaérve senki sem vonja le tőled a megtett kilométereket.

Elmozdulás

Péter turista kiindult a turistaházból, 3 km utat tett meg keletre, majd 4 km utat északra. Összesen 7 km utat gyalogolt, de a háztól csak 5 km távolságra volt. A nyíl onnan, ahol elindult, addig, ahol megérkezett, az elmozdulása. Most már pontosan meg tudjuk nevezni mindkét mennyiséget: az út 7 km volt, az elmozdulás nagysága 5 km.

Az elmozdulást ügyesen fel lehet írni vektorokkal. A test helyzetét a vonatkoztatási rendszerben nyíllal adjuk meg, amely az origóból oda vezet, ahol a test éppen van. Ezt a nyilat helyvektornak nevezzük, és $\overrightarrow{r}$ a jele.

Az ábrán a fekete vonal a pálya, narancssárgával pedig két hely van megjelölve, amelyen a test egymás után áthaladt. A kék nyilak a helyvektorok: az ${\overrightarrow{r}}_1$ megmutatja, hol volt a test az elején, az ${\overrightarrow{r}}_2$ pedig, hol volt a végén. Pirossal ki van emelve a pálya köztük lévő szakasza, vagyis az út, amelyet a test megtett. A zöld nyíl, amely az első helyről a másodikra vezet, az elmozdulás.

Az elmozdulás megmondja, mennyit változott a helyzet. Egy fizikai mennyiség változását a jele elé írt nagy görög Δ betűvel (delta) jelöljük, ezért az elmozdulást így írjuk:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Úgy olvassuk, hogy „delta er”, és az egész együtt egyetlen jel, nem szorzat. Miért változás? Nézd az ábrát. A kék ${\overrightarrow{r}}_1$ nyíl és utána a zöld nyíl együtt a kék ${\overrightarrow{r}}_2$ nyilat adja. A vektoroknál így működik: a második nyíl ott kezdődik, ahol az első véget ér:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Mindkét oldalból kivonjuk az ${\overrightarrow{r}}_1$ vektort:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Az elmozdulás a végső és a kezdeti helyzet különbsége. Ha az O origót máshová tennénk, mindkét kék nyíl megváltozna, de a zöld ugyanaz maradna. Az elmozdulás tehát nem függ attól, hová választjuk az origót, csak attól, hol kezdett a test, és hol fejezte be. Az elmozdulás nagyságát, vagyis a zöld nyíl hosszát $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$ alakban írjuk.

Az út és az elmozdulás között két különbség van. Az út skalár, az elmozdulás vektor, amelynek iránya is van. És az út a teljes útvonalat számolja, az elmozdulás csak a kezdetet és a véget. Akár kerülő úton ment Péter, akár útközben háromszor visszament az otthon felejtett telefonjáért, az elmozdulása ugyanaz marad. Két pont legrövidebb összekötője a szakasz, ezért az elmozdulás nagysága soha nem haladja meg az utat, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Csak akkor egyenlők, ha a test egyenes mentén mozog, és egyszer sem fordul vissza.

Egy kör a pálya körül

Az iskolai sportpályát kör alakú futópálya veszi körül, amely 400 m hosszú. Júlia elindul a rajtvonalról, és lefutja az egész kört. Mekkora utat tett meg, és mekkora az elmozdulása?

Az út egyértelmű, az egész pálya 400 m hosszú, tehát s = 400 m. Júlia azonban pontosan oda érkezett meg, ahonnan elindult. A kezdet és a vég egybeesik, és az a nyíl, amely egy pontból ugyanabba a pontba vezet, nulla hosszúságú. Ez a nullvektor:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Júlia négyszáz métert futott, és mégis nulla az elmozdulása. Ha egész idő alatt meg sem mozdult volna a rajtvonaltól, az elmozdulás ugyanennyi lenne. Az utat és az elmozdulást tehát soha ne keverd össze.

Most Júlia csak fél kört fut. Az út a 400 m fele, vagyis s = 200 m. Júlia a kör másik oldalán, pontosan a rajttal szemben fejezte be. Az elmozdulás zöld nyila a kör középpontján át vezet, ezért a hossza az átmérő, vagyis az r sugár kétszerese. A sugarat a kerületből számoljuk ki. A kör kerülete 2π · r, és tudjuk, hogy 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Az elmozdulás nagysága a sugár kétszerese. A számlálóban lévő kettes egyszerűsödik a nevezőben lévő kettessel:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

A π helyére körülbelül 3,14-et írunk:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3,14}\approx 127\mathrm{m}$$

Fél kör után Júlia körülbelül 127 m távolságra van a rajttól, pedig 200 m utat futott. A pálya sugara egyébként ennek a fele, körülbelül 63,7 m.

És mi a helyzet negyed körrel? Az út a 400 m negyede, vagyis s = 100 m. Az elmozdulás ezúttal nem a középponton át vezet, hanem ferdén.

A rajtot és Júlia új helyét is összekötjük a kör középpontjával. A két kék sugár merőleges egymásra, mert Júlia a kör negyedét futotta le, és az elmozdulással derékszögű háromszöget alkotnak. A sugarak a befogók, az elmozdulás az átfogó. Használjuk a Pitagorasz-tételt, mint Péter sétájánál:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Gyököt vonunk. Az r² gyöke r, tehát

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Behelyettesítjük a 63,7 m sugarat és a $\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$ értéket:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \mathrm{1,414}\cdot 63,7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

A három eset együtt:

Míg az út folyamatosan nő, az elmozdulás nagysága először nő, aztán megint csökken egészen nulláig. A rajttól Júlia a kör felénél van a legtávolabb, a végén pedig megint a rajtnál áll.

A mozgások fajtái

A mozgásokat két szempont szerint csoportosítjuk. Az első a pálya alakja. Ha a pálya egyenes, egyenes vonalú mozgásról beszélünk. Így mozog a lift, vagy a fáról lehulló alma. Ha a pálya görbe, görbe vonalú mozgásról van szó. A görbe vonalú mozgások közül a legfontosabb a körmozgás, például a körhintán vagy az óramutató hegyén.

A második szempont az, hogy milyen gyorsan mozog a test. Ha egyenlő idők alatt mindig ugyanakkora utat tesz meg (minden másodperc alatt ugyanannyit, de minden tizedmásodperc vagy századmásodperc alatt is), a mozgás egyenletes. Így megy a mozgólépcső a metróban vagy a felpörgetett körhinta. Ha az egyenlő idők alatt megtett utak különböznek, a test tehát gyorsul vagy lassul, a mozgás nem egyenletes. Az alma esés közben gyorsul, a lift elindulásnál gyorsul, az emelet előtt fékez, a dugóban az autó egy ideig kúszik, aztán megáll.

A két szempontot tetszés szerint kombinálhatjuk:

Vigyázat, ez a felosztás is a vonatkoztatási rendszertől függ. A szelep a kerékpáros szemszögéből, aki állandó sebességgel halad, egyenletesen mozog a körpályán. A járdáról nézve a mozgása görbe vonalú és nem egyenletes: az úton szinte megáll, fent pedig majdnem kétszer olyan gyorsan száguld, mint a kerék középpontja. Fent ugyanis a kerék előre irányuló mozgásához hozzáadódik a szelep középpont körüli mozgása, amely ott szintén előre mutat, lent viszont hátrafelé, és a kerék mozgását szinte kioltja. A szelep ugyanaz marad, csak másik helyről nézzük.

Az egyenletes és a nem egyenletes mozgást eddig csak abból ismertük fel, hogy a test egyenlő idők alatt milyen utakat tesz meg. Hiányzik egy szám, amely megmondaná, milyen gyorsan megy a mozgólépcső, és mennyivel gyorsabban száguld a szelep fent, mint lent. Ez a szám a sebesség, és ezzel a következő cikk foglalkozik, a Sebesség.